山東省濟南市章丘四中2026屆高三上數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時，，則（）A．2 B． C．1 D．2．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．4．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．5．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．6．設(shè)，命題“存在，使方程有實根”的否定是()A．任意，使方程無實根B．任意，使方程有實根C．存在，使方程無實根D．存在，使方程有實根7．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．9．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知拋物線：，直線與分別相交于點，與的準(zhǔn)線相交于點，若，則（）A．3 B． C． D．12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓內(nèi)一定點，經(jīng)過引一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為________________．14．在數(shù)列中，，，曲線在點處的切線經(jīng)過點，下列四個結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結(jié)論的編號是______.15．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.16．在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點，求證：為的中點.18．（12分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）19．（12分）設(shè)橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.20．（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.21．（12分）隨著時代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷，參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性；請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)？自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822．（10分）已知等比數(shù)列中，，是和的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．2、B【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項，又由，所以．故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力.6、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實根”的否定是“任意，使方程無實根”.故選：A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，，則.因為平面，平面，所以.又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以.故選：C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.8、C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時.【詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【點睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡單題目.9、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以，因為的遞增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.10、B【解析】

利用換元法設(shè)，則等價為有且只有一個實數(shù)根，分三種情況進行討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則有且只有一個實數(shù)根.當(dāng)時，當(dāng)時，，由即，解得，結(jié)合圖象可知，此時當(dāng)時，得，則是唯一解，滿足題意；當(dāng)時，此時當(dāng)時，，此時函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，此時最小值為，結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，此時.綜上所述：或.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)方程根的個數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.11、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖，過A,M作準(zhǔn)線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.12、D【解析】

討論，，三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；如圖所示畫出函數(shù)圖像，則，故.故選：.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，利用點差法可求得直線的斜率，進而可求得直線的點斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，由于點為弦的中點，則，得，由題意得，兩式相減得，所以，直線的斜率為，所以，弦所在的直線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用弦的中點求弦所在直線的方程，一般利用點差法，也可以利用韋達定理設(shè)而不求法來解答，考查計算能力，屬于中等題.14、①③④【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點處的切線方程，由此求得與的遞推關(guān)系式，進而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個結(jié)論中正確的結(jié)論編號.【詳解】∵，∴曲線在點處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結(jié)論的編號是①③④.故答案為：①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，根據(jù)，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設(shè)，，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題．16、【解析】

取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面，，由勾股定理求得，可得為三棱錐外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中，取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.由，得，，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（2）因為平面與交于點，所以平面.因為分別為的中點，所以∥.又因為平面，平面，所以∥平面.又因為平面，平面平面，所以∥，又因為是的中點，所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.18、（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當(dāng)P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人．【詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點睛】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（Ⅰ）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，因為橢圓離心率為，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，則，設(shè)，由得，解得，或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，，設(shè)，所以，，因為，所以，所以，解得，所以直線的方程為，設(shè)，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于難題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】（1），，由得，不等式兩邊平方得，即，解得或.因此，不等式的解