第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年云南省多校聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（1月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，則?U(A∪B)=(

)A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}2.若復(fù)數(shù)z=1+ai2+i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=(

)A.3 B.5 C.?3 D.?53.已知向量a=(1,2)，b=(m,4)，若(a?bA.4 B.5 C.25 4.函數(shù)f(x)=2cosx的部分圖象大致為(

)A. B.

C. D.5.“sinα=sinβ”是“cosα=cosβ”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.某校食堂新供應(yīng)了四種不同的午餐套餐，小王同學(xué)計(jì)劃周一到周五都從新供應(yīng)的四種套餐中選擇一種就餐，且在這五天里將這四種套餐都嘗一遍，則不同的方案共有(

)A.120種 B.144種 C.240種 D.288種7.已知直線l：x?y+m=0與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓N：(x+1)2+(y?3)2=4交于C，D兩點(diǎn)，且A.4 B.3 C.2 D.18.現(xiàn)有十個(gè)盒子，總質(zhì)量為35千克，這十個(gè)盒子的質(zhì)量按從大到小的順序排列，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且排在前三位的三個(gè)盒子的總質(zhì)量不低于排在后三位的三個(gè)盒子的總質(zhì)量的兩倍，則質(zhì)量最重的盒子最少是(

)A.2千克 B.3千克 C.5千克 D.7千克二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和SnA.a1=1 B.a2=?2

C.an=?2n?110.已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，且α∩β=m，α∩γ=n，β∩γ=l，則下列命題正確的是(

)A.若m//n，則m//l

B.若α⊥γ，β⊥γ，則m⊥n

C.若α⊥γ，β⊥γ，則n⊥l

D.若α，β，γ兩兩相互垂直，則m，n，l兩兩垂直11.已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論正確的是(

)A.若f(x)=f(1x)，則x=1是f(x)的極值點(diǎn)

B.若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(1x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減

C.若函數(shù)g(x)=f(x)+f(1x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減

D.若f(x)在(0,1)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若函數(shù)f(x)=tan(x?φ)(0≤φ<π)在(?π3,2π313.已知函數(shù)f(x)=aeax?1(a>0)沒(méi)有零點(diǎn)，則a=

14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F2為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為12．

(1)求C的方程；

(2)若直線x=my+4與C交于A，B兩點(diǎn)，與x16.(本小題15分)

如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等邊三角形，AB=AC，E是AD的中點(diǎn)．

(1)證明：CE⊥BD．

(2)求二面角E?BC?D的正弦值．17.(本小題15分)

如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=120°．

(1)若PB=1，求△BCP的面積；

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA的值．18.(本小題17分)

甲、乙、丙三人打臺(tái)球，約定：第一局甲、乙對(duì)打，丙輪空；此后每局的勝者與輪空者進(jìn)行下一局對(duì)打.假設(shè)甲、乙、丙三人打臺(tái)球的水平相同，每局臺(tái)球的結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求前三局中甲恰好參與了兩局的概率；

(2)求第n局有甲參與的概率；

(3)求第n局是甲、乙對(duì)打的概率．19.(本小題17分)

(1)求函數(shù)y=sinx(cosx?1)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若存在β使得對(duì)任意α，都有cos(α+β)(cosβ?1)≤b，求b的最小值；

(3)已知0≤α≤π,0≤β≤π2，且α+2β≤π，求cos(α+β)(cosβ?1)參考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.D

6.C

7.C

8.C

9.BCD

10.ABD

11.BCD

12.π613.1

14.3

15.解：(1)由題意可得c=1ca=12a2=b2+c2，

解得a2=4，b2=3，

因此C的方程為x24+y23=1；

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x24+y23=1x=my+4，得(3m216.解：(1)證明：因?yàn)锳B⊥平面ACD，CE?平面ACD，所以AB⊥CE．

在等邊△ACD中，E是AD的中點(diǎn)，所以CE⊥AD，

因?yàn)锳B∩AD=A，AB，AD?平面ABD，

所以CE⊥平面ABD，

因?yàn)锽D?平面ABD，

所以CE⊥BD；

(2)不妨設(shè)AB=AC=2，AB⊥平面ACD，AB?平面ABC，

則平面ACD⊥平面ABC，在等邊△ACD中，作DO⊥AC，則DO⊥平面ABC，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,1,3)，E(0,12,32)，

所以BC=(?2,2,0)，BE=(?2,12,32)，BD=(?2,1,3)，

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n⊥BCn⊥BE，則n?BC=?217.解：(1)在△BCP中，∠BPC=120°，PB=1，

由余弦定理得cos∠BPC=PB2+PC2?BC22PC?PB，

即?12=1+PC2?42PC，即PC2+PC?3=0，

解得PC=13?12(負(fù)值已舍去)，

可得S△BCP=12PB?PCsin∠BPC=12×1×13?12×32=39?38；

(2)設(shè)∠PBA=α18.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)A=“前三局中甲恰好參與了兩局”，分兩種情況討論：

①甲第二局輪空，即第一局甲負(fù)，此時(shí)第三局一定有甲參與，其概率為12．

②甲第三局輪空，此時(shí)第二局甲負(fù)，第一局甲勝，其概率為12×12=14

故P(A)=12+14=34．

(2)根據(jù)題意，記第n局有甲參與的概率為Pn，則第n+1局有甲參與的概率為Pn+1

若第n局有甲參與，則第n+1局有甲參與的概率為12；

若第n局沒(méi)有甲參與，則第n+1局一定有甲參與，所以Pn+1=12Pn+(1?Pn)，

即Pn+1?23=?12(Pn?23)，

因?yàn)镻1=1，所以P1?23=13，故數(shù)列{Pn?23}是首項(xiàng)為13，公比為?19.解：(1)y′=cosx(cosx?1)?sin2x=2cos2x?cosx?1=(2cosx+1)(cosx?1)．

令y′>0，得cosx<?12，解得x∈(2π3+2kπ,4π3+2kπ),k∈Z．

故y=sinx(cosx?1)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2π3+2kπ,4π3+2kπ)(k∈Z)．

(2)cos(α+β)∈[?1,1]，若cosβ?1=0，則cos(α+β)(cosβ?1)=0．

若cosβ?1<0，則cos(α+β)(cosβ?1)∈[cosβ?1,1?cosβ]，

所以cos(α+β)(cosβ?1)的最大值的最小值為0，即b的最小值為0．

(3)令函數(shù)f(β)=cos(α+β)(cosβ?1),0≤β≤π2?α2，

f′(β)=sin(α+β)?sin(α+2β)．

①當(dāng)π2≤α≤π時(shí)，π2≤α+β≤α+2β≤π，sin(α+β)≥