專題02直線與平面所成角(線面角）(典型例題+題型歸類練)目錄角度1：求線面角角度2:已知線面角求參數(shù)角度3：求線面角最值一、必備秘籍1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為；（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時，它們的所成角為0.結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.3、向量法設(shè)直線的方向向量為，平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則，.二、典型例題角度1：求線面角例題1．（2022·浙江·紹興市教育教學研究院高二期末）如圖，已知四棱錐平面，(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.第（2）問解題思路第1步：建立坐標系：以為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立直角坐標系第2步：讀坐標：，，第3步：求向量第4步：求平面的法向量由，得，可取第5步：根據(jù)公式求線面角：感悟升華：①注重計算②求法向量賦值時，不能給變量賦0（但是解出是0是可以的）③法向量是解題的核心，本題中，求出法向量可以代入檢驗法向量是否正確④線面角公式最后形式是求正弦，注意避免記憶錯誤【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)由題意平面，所以平面，平面，∴，又，所以平面.(2)法一：由可知平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，又由（1）知平面，設(shè)直線與平面所成角為，由題可得，所以.法二：如圖，以為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立直角坐標系，則，，∴，設(shè)平面的法向量為，由，得，可取設(shè)直線與平面所成角為，所以.角度2:已知線面角求參數(shù)例題2．（2022·陜西渭南·高二期末（理））如圖，在長方體中，，，是線段上的動點．(1)求證：；(2)是否存在點，使得直線與平面所成角為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．第（2）問解題思路第1步：建立坐標系：以為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立直角坐標系第2步：假設(shè)存在點，（由于在軸上，可直接設(shè)）第3步：讀坐標，，，，第4步：讀向量，，．第5步：求法向量：第6步：利用線面角公式求參數(shù)：，解得．感悟升華：①注重計算②對于是否存在點問題，如果點在坐標軸上，可以直接設(shè)點坐標，如果點不在坐標軸上，不建議設(shè)點坐標，建議用形式表達③對于含參的問題，求法向量時如果賦值后有分數(shù)，可以通過同乘分母的最小公倍數(shù)，得到整式，便于后面的計算；④法向量是解題的核心，本題中，求出法向量可以代入檢驗法向量是否正確④利用線面角公式求參數(shù)，計算量比較大，計算注意認真.【答案】(1)證明見解析(2)存在，.（1）如圖，連接，DB，在長方體中，∵底面ABCD，底面ABCD，∴．又，，∴平面，又平面，（2）假設(shè)存在這樣的點E，使得直線AC與平面所成角為45°．設(shè)，如圖，以D為原點，直線DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，．∴，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，．∴平面的一個法向量為．∴，解得．∴存在這樣的點E，當時，直線AC與平面所成角為45°．例題3．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，且，平面，為的中點，為棱上一點．(1)求證：平面平面；(2)若為的中點，，是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．第（2）問解題思路第1步：建立坐標系：以為坐標原點，直線，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系第2步：假設(shè)存在點，，（由于不在坐標軸上，建議統(tǒng)一設(shè)為：的形式）第3步：讀坐標，，，，第4步：讀向量，，．第5步：求法向量：令，得平面的一個法向量第6步：利用線面角公式求參數(shù)：，解得或，即存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．感悟升華：①注重計算②對于是否存在點問題，如果點在坐標軸上，可以直接設(shè)點坐標，如果點不在坐標軸上，不建議設(shè)點坐標，建議用形式表達③對于含參的問題，求法向量時如果賦值后有分數(shù)，可以通過同乘分母的最小公倍數(shù)，得到整式，便于后面的計算；④法向量是解題的核心，本題中，求出法向量可以代入檢驗法向量是否正確④利用線面角公式求參數(shù)，計算量比較大，計算注意認真.【答案】(1)證明見解析(2)存在；或(1)證明：連接，因為底面為菱形，，所以是正三角形，是的中點，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．(2)由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標原點，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量，則即令，得平面的一個法向量．設(shè)與平面所成的角為，則，解得或，即存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．角度3：求線面角最值例題4．（2022·福建省永春第一中學高二階段練習）如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點，為線段上的動點，，.(1)若，試證；(2)在（1）的條件下，當時，試確定動點的位置，使線段與平面所成角的正弦值最大.第（2）問解題思路第1步：建立坐標系：平面，由（1）得，，三線兩兩垂直，以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系第2步：設(shè)，（由于不在坐標軸上，建議統(tǒng)一設(shè)為：的形式）第3步：讀坐標，，，，，，第4步：讀向量，.第5步：求法向量：令得，第6步：利用線面角公式求參數(shù)最值：.若，令，則.當，即，為的中點時，取得最大值.感悟升華：①注重計算②對于是否存在點問題，如果點在坐標軸上，可以直接設(shè)點坐標，如果點不在坐標軸上，不建議設(shè)點坐標，建議用形式表達③對于含參的問題，求法向量時如果賦值后有分數(shù)，可以通過同乘分母的最小公倍數(shù)，得到整式，便于后面的計算；④法向量是解題的核心，本題中，求出法向量可以代入檢驗法向量是否正確④利用線面角公式求最值，主要是化為二次型，或者基本不等式.【答案】(1)證明見解析(2)為的中點時，取得最大值.(1)在中，∵為中點且，∴.∵平面平面交線為，∴平面，∴.∵，分別為，的中點，∴.∴.在直角和直角中，∵，，∴，∴，∴，∴.∴平面，平面，∴.(2)∵平面，由（1）得，，三線兩兩垂直，以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系如圖，則，，，，，，∴，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令得，，設(shè)，，則，∴，，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若，此時點與重合，若，令，則.當，即，為的中點時，取得最大值.三、題型歸類練1．（2022·廣東·高二期末）四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求證：；(2)求直線EC與平面EFD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：因為，，，由余弦定理，所以，則，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；(2)解：如圖建立空間直角坐標系，則、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；2．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設(shè)P是棱的中點，求AC與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(1)設(shè)．在四邊形中，∵，，連接，∴由余弦定理得，即，∵，∴．又∵，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)取AB中點D，連接CD，∵，∴，由（1）易知平面，且．如圖，以B為原點，分別以射線BA，為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系B-xyz，則，，，，，．，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則取，，，AC與平面所成角的正弦值為．3．（2022·河南·商丘市第一高級中學高一階段練習）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面ABC，平面與平面的交線為l．(1)證明：﹔(2)已知，l上是否存在點P，使與平面ABP所成角的余弦值為？若存在，求的長度：若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，（1）因為四邊形為菱形，所以，平面平面ABC，平面平面平面ABC，又因為，所以平面，又由平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以（2）l上存在點P，使與平面ABP所成角為，且，理由如下：取中點D，連接AD，因為，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，又因為平面平面ABC，平面平面平面．所以平面ABC，以A為原點，以方向分別為x軸，y軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得．則因為平面平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，假設(shè)l上存在一點P，使與平面ABP所成角的余弦值為設(shè)，則，所以．設(shè)為平面ABP的一個法向量，則取，則，可?。钟桑约?，解得所以因此l上存在點P，使與平面ABP所成角的余弦值為，此時4．（2022·四川涼山·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，．(1)若E為PA的中點，求證平面PBC；(2)求直線PB與平面PAD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：如圖所示，設(shè)PB中點為F，連接EF，F(xiàn)C．∵E為PA的中點，∴且．又∵，，∴EFCD為平行四邊形，即，且平面PBC，平面PBC，所以，平面PBC．（2）解：在中，，在中，，∵，，∴．則，所以，又因平面ABCD，以C為坐標原點，CD，CB，CP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示：所以，，，，所以，，．設(shè)平面PAD的一個法向量為，則，取，所以．設(shè)直線BP與平面PAD所成的角為，則．所以直線BP與平面PAD所成角的正弦值是．5．（2022·江蘇·東海縣教育局教研室高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，點在線段上（不與端點重合），.(1)求證：平面；(2)是否存在點使得直線與平面所成角為30°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，(1)證明：在正方形中，可得，又由，且，平面，平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得平面.(2)解：在平面中，過點作交于點.由（1）知平面，所以，又由，以為正交基底建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，所以平面的一個法向量，因為直線與平面所成角為，所以，解得綜上可得，存在點使得直線與平面所成角為，且.6．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）在三棱柱中，四邊形是菱形，AB⊥AC，平面平面ABC，平面與平面的交線為l.(1)證明：；(2)已知，，l上是否存在點P，使與平面ABP所成角為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析(1)證明：因為四邊形為菱形，所以，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又因為，所以平面，又由平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以.(2)解：上不存在點P，使與平面ABP所成角為60°，理由如下：取中點D，連接AD，因為，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，又因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面，以為原點，以，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得,則，，，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，假設(shè)l上存在一點P，使與平面ABP所成角為60°，設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，取，則，可取，又由，所以，即，此方程無解，因此上不存在點P，使與平所成角為.7．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐中，三角形為等腰直角三角形，，側(cè)面為等邊三角形，.(1)求證：；(2)若側(cè)棱上有一動點，設(shè)，當為何值時，直線與平面所成的角最大？【答案】(1)證明見解析；(2).(1)證明：取的中點，連接、，由，則，由，則.又，故面，又因為平面，故.(2)解：平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，又，，則，，，，故，，由已知，則，，由（2）知，設(shè)平面的法向量為，，由n?CB=0n?PB=0設(shè)直線與平面所成的角為，，由，故當時，最大，即直線與平面所成的角最大.綜上，當時，直線與平面所成的角最大.8．（2022·山東青島·二模）如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形.(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)設(shè)D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長.【答案】(1)證明見解析(2)(1)因為四邊形OBCH為正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH.∵平面PBC，平面平面，∴.(2)∵圓錐的母線長為，，∴，，以O(shè)為原點，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，，，為平面PAB的一個法向量，設(shè)MN與平面PAB所成的角為，則，令，則所以當時，即時，最大，亦最大，此時，所以.9．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期末）如圖，在六面體中，是等邊三角形，二面角的平面角為30°，.(1)證明：；(2)若點E為線段BD上一動點，求直線CE與平面所成角的正切的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)2(1)證明：取中點，連接，因為，所以，且，所以平面，又平面，所以.(2)連接，則，由，可得，于是，所以，又，所以平面，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，由，可得，平面的法向量為，設(shè)，則，設(shè)與平面所成角為，則，令，則，令，由對稱軸知，當，即時，，，于是直線與平面所成角的正切的最大值為2.10．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面