2026屆安徽省干汊河中學高二上數(shù)學期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.82．在中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.23．二項式的展開式中，各項二項式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.324．已知雙曲線，點F為其左焦點，點B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．以下命題是真命題的是（）A.方差和標準差都是刻畫樣本數(shù)據分散程度的統(tǒng)計量B.若m為數(shù)據（i=1，2，3，····，2021）的中位數(shù)，則C.回歸直線可能不經過樣本點的中心D.若“”為假命題，則均為假命題6．設變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－27．直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.9．直線l的方向向量為，且l過點，則點到l的距離為()A B.C. D.10．等差數(shù)列x，，，…的第四項為()A.5 B.6C.7 D.811．設雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．設集合，則AB=（）A.{2} B.{2，3}C.{3，4} D.{2，3，4}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為__________14．年月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點的橢圓.已知衛(wèi)星的近地點（離地面最近的點）距地面的高度約為，遠地點（離地面最遠的點）距地面的高度約為，且地心、近地點、遠地點三點在同一直線上，地球半徑約為，則衛(wèi)星運行軌道是上任意兩點間的距離的最大值為___________15．半徑為的球的體積為_________16．如圖，在五面體中，//，，，四邊形為平行四邊形，平面，，則直線到平面距離為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定點，動點滿足，設點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）若點分別是圓和軌跡上的點，求兩點間的最大距離.18．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和20．（12分）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側面有一個小孔（小孔的大小忽略不計）E，E點到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當水恰好流出時，側面與桌面所成的角的大小.21．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.（1）求證：；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】首先將圓心坐標代入直線方程求出參數(shù)a，求得點A的坐標，由切線與圓的位置關系構造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.2、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計算可得；【詳解】解：因為，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因為，所以，所以；故選：C3、D【解析】根據給定條件利用二項式系數(shù)的性質直接計算作答.【詳解】二項式的展開式的各項二項式系數(shù)的和是.故選：D4、C【解析】設出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標公式結合垂直關系列式計算作答.【詳解】設雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C5、A【解析】A：根據方差和標準差的定義進行判斷；B：根據中位數(shù)的定義判斷；C：根據回歸直線必過樣本中心點進行判斷；D：根據“且”命題真假關系進行判斷.【詳解】對于A，方差和標準差都是刻畫樣本數(shù)據分散程度的統(tǒng)計量，故A正確；對于B，若為數(shù)據，2，3，，的中位數(shù)，需先將數(shù)據從小到大排列，此時數(shù)據里面之間的數(shù)順序可能發(fā)生變化，則為排序后的第1010個數(shù)據的值，這個數(shù)不一定是原來的，故B錯誤；對于C，回歸直線一定經過樣本點的中心，，故C錯誤；對于D，若“”為假命題，則、中至少有一個是假命題，故D錯誤；故選：A6、D【解析】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結合即得解【詳解】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當直線經過時，在軸上的截距最大，最小，此時，故選：D7、A【解析】根據直線與直線的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數(shù)關系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎題.8、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.9、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.10、A【解析】根據等差數(shù)列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項.【詳解】由題可知，等差數(shù)列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.11、B【解析】設直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進而可求，再結合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.12、B【解析】按交集定義求解即可.【詳解】AB={2，3}故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標函數(shù)在點取得最小值，即.故答案為：14、【解析】根據題意由a-c=439+6371，a+c=2384+6371，求得2a即可.【詳解】設橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，由題意得：a-c=439+6371，a+c=2384+6371,兩式相加得：2a=15565，因為橢圓上任意兩點間的距離的最大值為長軸長2a,所以衛(wèi)星運行軌道是上任意兩點間的距離的最大值為，故答案為：1556515、【解析】根據球的體積公式求解【詳解】根據球的體積公式【點睛】球的體積公式16、【解析】利用等價轉化的思想轉化為點到面的距離，作，利用線面垂直的判定定理證明平面，然后計算使用等面積法，可得結果.【詳解】作如圖由//，平面，平面所以//平面所以直線到平面距離等價于點到平面距離又平面，平面所以，又，則平面，，所以平面平面，所以又平面，所以平面所以點到平面距離為由，所以又，所以在中，又故答案為：【點睛】本題考查線面垂直的綜合應用以及等面積法求高，重點在于使用等價轉換的思想，考驗理解能力，分析問題的能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設動點,根據條件列出方程，化簡求解即可；（2）設，求出圓心到軌跡上點的距離，配方求最值即可得解.【小問1詳解】設動點，則，，，又，∴，化簡得，即，∴動點的軌跡E的方程為.【小問2詳解】設，圓心到軌跡E上的點的距離∴當時，，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，根據題意，列出方程，即可求得公差以及通項公式；（2）根據（1）中所求，結合等差數(shù)列的前項和的公式，求得，以及，再利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【小問1詳解】因為，所以，故可得，所以.【小問2詳解】因為，所以.于是，令，則.顯然數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比，所以數(shù)列的前n項和.19、（1）；（2）【解析】（1）根據條件列公差與公比方程組，解得結果，代入等差數(shù)列通項公式即可；（2）根據等比數(shù)列求和公式直接求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以因此；（2）數(shù)列的前n項和【點睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內，過點作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關系得出其夾角.【小問1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問2詳解】在平面內，過點作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，即側面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側面與桌面所成角的為21、（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進而求出概率并列出分布列，然后根據期望公式求出答案.【小問1詳解】因為從10輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數(shù)學期望.22、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由