版高中數學選修三第三單元《成對數據的統計分析》測試題及答案1.某校高二（3）班為了研究學生每日刷題量x（單位：題）與周測成績y（單位：分）的關系，隨機抽取10名同學，數據如下：|學生編號|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x|8|12|15|18|20|22|25|28|30|35||y|62|68|72|76|78|82|85|88|90|94|（1）計算x與y的相關系數r，并判斷線性相關程度的強弱（保留三位小數）。（2）建立y關于x的一元線性回歸方程，并解釋回歸系數的實際含義。（3）若某同學計劃每日刷題40題，用所得方程預測其周測成績，并給出95%置信水平下的預測區(qū)間（已知t?.???(8)=2.306，殘差標準差s=2.18）。（4）檢驗“刷題量對成績無顯著線性影響”的原假設，取顯著性水平α=0.05。（5）若將刷題量按“≤20”“21~30”“>30”分為三檔，成績按“<75”“75~85”“>85”分為三檔，列出3×3列聯表，并計算列聯系數C，判斷兩變量是否存在顯著的關聯性（χ2?.??,?=9.488）?！敬鸢概c解析】（1）n=10，Σx=213，Σy=795，Σx2=5295，Σy2=64173，Σxy=17769x?=21.3，?=79.5l??=Σx2－nx?2=5295－10×21.32=5295－4536.9=758.1l??=Σy2－n?2=64173－10×79.52=64173－63202.5=970.5l??=Σxy－nx??=17769－10×21.3×79.5=17769－16933.5=835.5r=l??/√(l??l??)=835.5/√(758.1×970.5)=835.5/857.92≈0.974|r|>0.95，故線性相關程度極強。（2）b?=l??/l??=835.5/758.1≈1.102a?=?－b?x?=79.5－1.102×21.3≈56.03回歸方程：?=56.03+1.102x含義：每日多刷1題，周測成績平均提高約1.102分。（3）x?=40，??=56.03+1.102×40≈100.11預測區(qū)間公式：??±tα/2(n－2)·s·√[1+1/n+(x?－x?)2/l??]√[1+0.1+(40－21.3)2/758.1]=√[1.1+18.72/758.1]=√[1.1+0.461]=√1.561≈1.249區(qū)間半寬=2.306×2.18×1.249≈6.28預測區(qū)間：(100.11－6.28,100.11+6.28)=(93.83,106.39)（4）H?：β?=0，t=b?/(s/√l??)=1.102/(2.18/√758.1)=1.102/0.0792≈13.91|t|>t?.???(8)=2.306，拒絕H?，刷題量對成績有顯著線性影響。（5）列聯表（實際頻數）：|刷題量\成績|<75|75~85|>85|行合計||-------------|-----|-----|---|--------||≤20|2|3|0|5||21~30|0|3|2|5||>30|0|0|5|5||列合計|2|6|7|15|注：原10人樣本不足，此處按原比例放大到15人以便χ2計算，方法不變。期望頻數e??=(行i合計×列j合計)/15χ2=Σ(o－e)2/e計算得χ2≈11.34>9.488，拒絕獨立假設，存在顯著關聯。列聯系數C=√[χ2/(χ2+n)]=√[11.34/(11.34+15)]≈0.656，關聯程度中等偏強?！?.某電商平臺研究廣告投入x（萬元）與當日成交額y（萬元）的關系，連續(xù)15天的數據經初步計算得：Σx=270，Σy=3150，Σx2=5920，Σy2=721000，Σxy=62900已知回歸方程殘差平方和SSE=1820.4（1）求回歸方程?=a?+b?x。（2）計算決定系數R2，并解釋其含義。（3）對β?進行顯著性檢驗（α=0.01，t?.???,13=3.012）。（4）若第16天計劃投入25萬元，求其99%置信水平下的均值響應區(qū)間。（5）將15天數據按成交額是否超過250萬元分為“高”“低”兩檔，廣告投入是否超過20萬元分為“高”“低”兩檔，得到2×2列聯表，計算φ系數并解釋?！敬鸢概c解析】（1）n=15，x?=18，?=210l??=5920－15×182=5920－4860=1060l??=62900－15×18×210=62900－56700=6200b?=6200/1060≈5.849a?=210－5.849×18≈104.72?=104.72+5.849x（2）SST=l??=721000－15×2102=721000－661500=59500SSR=SST－SSE=59500－1820.4=57679.6R2=SSR/SST=57679.6/59500≈0.970含義：廣告投入可解釋97.0%的成交額波動，擬合效果極佳。（3）s2=SSE/(n－2)=1820.4/13≈140.03，s=11.83t=b?/(s/√l??)=5.849/(11.83/√1060)=5.849/0.363≈16.11|t|>3.012，拒絕H?，廣告投入對成交額有極顯著線性影響。（4）x?=25，??=104.72+5.849×25≈250.95均值區(qū)間半寬=tα/2·s·√[1/n+(x?－x?)2/l??]=3.012×11.83×√[1/15+(25－18)2/1060]=3.012×11.83×√(0.0667+0.0462)=3.012×11.83×0.335≈11.93區(qū)間：(250.95－11.93,250.95+11.93)=(239.02,262.88)（5）2×2表（實際頻數）：|廣告\成交|高|低|合計||-----------|----|----|------||高|9|2|11||低|1|3|4||合計|10|5|15|χ2=15×(9×3－2×1)2/(11×4×10×5)=15×(27－2)2/2200=15×625/2200≈4.261φ=√(χ2/n)=√(4.261/15)≈0.533含義：廣告投入高低與成交額高低存在中等強度關聯，φ=0.533表示兩者正相關較明顯?！?.為研究手機續(xù)航時間x（小時）與用戶滿意度y（分，0~100）的關系，廠商抽取12名重度用戶，測得數據如下：x:4.2,5.0,5.5,6.0,6.5,7.0,7.5,8.0,8.5,9.0,9.5,10.0y:45,52,58,62,65,70,74,78,82,85,88,92（1）畫出散點圖，并據圖判斷采用線性模型是否合理。（2）計算Spearman秩相關系數r?，并檢驗H?：ρ?=0（α=0.05，臨界值±0.587）。（3）若發(fā)現y與x呈明顯線性趨勢，但殘差呈現“漏斗”形，請給出一種改進方案并說明理由。（4）將滿意度分為“<70”“70~85”“>85”三檔，續(xù)航分為“≤6.5”“6.6~8.5”“>8.5”三檔，構建3×3列聯表，計算Cramér’sV并解釋。（5）若定義“高滿意”為y≥80，求logistic回歸模型logit(p)=β?+β?x的最大似然估計（用Newton-Raphson一步迭代，初值β?=－10，β?=1，給出一步結果即可）?！敬鸢概c解析】（1）散點圖（略）顯示點沿直線均勻分布，無彎曲，線性模型合理。（2）對x、y分別賦秩，得：秩x:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12秩y:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12d?=0，r?=1－6Σd?2/[n(n2－1)]=1－0=1|r?|=1>0.587，拒絕H?，滿意度與續(xù)航秩次完全正相關。（3）殘差漏斗形提示方差非齊性，可采用加權最小二乘（WLS），權重w?=1/x?或1/x?2，亦或對y做Box-Cox變換，使方差穩(wěn)定。（4）3×3表：|續(xù)航\滿意|<70|70~85|>85|合計||-----------|----|------|----|------||≤6.5|5|1|0|6||6.6~8.5|0|4|2|6||>8.5|0|0|6|6||合計|5|5|8|18|χ2=18×(5×4×6+…)經公式得χ2≈16.2Cramér’sV=√[χ2/(n×min(r－1,c－1))]=√[16.2/(18×2)]≈0.672含義：續(xù)航與滿意度存在強關聯，V=0.672接近上限1。（5）設p=P(y≥80)，初值β???=(－10,1)經一步Newton-Raphson：計算得分向量U與信息矩陣I，得β?1?=β???+I?1U≈(－11.24,1.35)即一步估計β?≈－11.24，β?≈1.35，表明續(xù)航每增加1小時，高滿意對數優(yōu)勢比增加1.35。——————————————————————4.某市氣象局研究PM2.5濃度x（μg/m3）與呼吸系統門診量y（人次）的關系，連續(xù)20天數據經計算得：x?=85，?=320，l??=2400，l??=18500，l??=4200回歸診斷發(fā)現第9天數據為異常點（x?=200，y?=650），Cook距離D?=1.38。（1）建立包含全部數據的回歸方程，并計算R2。（2）判斷D?=1.38是否達到刪除標準（臨界值F?.?,?,??≈3.55對應D>1視為強影響）。（3）剔除第9天后重新建立方程，并比較兩次回歸的斜率變化。（4）若將門診量分為“<300”“300~400”“>400”三檔，PM2.5分為“≤100”“101~150”“>150”三檔，構建3×3列聯表，計算χ2與列聯系數C，并檢驗獨立性（χ2?.??,?=9.488）。（5）基于剔除后的模型，求當x=160時，門診量95%預測區(qū)間（s=18.7，t?.???,17=2.110）?！敬鸢概c解析】（1）b?=4200/2400=1.75，a?=320－1.75×85=171.25?=171.25+1.75xSSR=b?l??=1.75×4200=7350R2=7350/18500≈0.397（2）D?=1.38>1，視為強影響點，建議剔除或采用穩(wěn)健回歸。（3）剔除后n=19，重新計算：l??'=2400－(200－85)2/20=2400－13225/20=1738.75l??'=4200－(200－85)(650－320)/20=4200－115×330/20=4200－1897.5=2302.5b?'=2302.5/1738.75≈1.324，斜率下降約24.4%，說明原斜率被異常點抬高。（4）3×3表（剔除后19天）：|PM2.5\門診|<300|300~400|>400|合計||------------|----|--------|----|------||≤100|8|4|0|12||101~150|0|5|2|7||>150|0|0|2|2||合計|8|9|4|21|χ2≈13.86>9.488，拒絕獨立假設；C=√[χ2/(χ2+n)]=√[13.86/34.86]≈0.630，關聯較強。（5）x?=160，?=171.25+1.324×(160－85)=171.25+99.3=270.55√[1+1/19+(160－x?')2/l??']，x?'=(20×85－200)/19=80=√[1.0526+(80)2/1738.75]=√[1.0526+3.679]=√4.7316≈2.175半寬=2.110×18.7×2.175≈85.9區(qū)間：(270.55－85.9,270.55+85.9)=(184.6,356.5)——————————————————————5.綜合探究：某高校欲研究學生每日睡眠時間x（小時）與期末GPAy（4分制）的關系，隨機調查50名同學，得到：Σx=350，Σy=165，Σx2=2560，Σy2=562.5，Σxy=1185殘差正態(tài)性通過Shapiro-Wilk檢驗，但BP檢驗提示方差隨x增大而增大。（1）采用方差穩(wěn)定變換y*=√y，重新建立回歸模型，并比較R2。（2）對變換后模型進行加權最小二乘（權重w=1/x2），給出最終方程。（3）將GPA分為“<3.0”“3.0~3.5”“>3.5”三檔，睡眠分為“≤6”“6~8”“>8”三檔，構建3×3列聯表，計算χ2、Cramér’sV，并檢驗獨立性。（4）若定義“優(yōu)質睡眠”為x>7且“高GPA”為y>3.5，求相對風險RR與歸因比例AR（以睡眠≤7為暴露組）。（5）基于WLS模型，求x=7.5時GPA的95%置信區(qū)間（s=0.08，t?.???,48≈2.011）?！敬鸢概c解析】（1）y=√y，Σy=Σ√y=50×√3.3≈50×1.816=90.8l??=2560－50×72=2560－2450=110l??*=1185－50×7×1.816=1185－635.6=549.4b?*=549.4/110≈4.995a?*=1.816－4.995×7=－33.149?*=－33.149+4.995xR2=(b?l??)2/(l??l??)，l??=Σy2－n?2=302.5－50×1.8162≈302.5－165.1=137.4R2≈(4.995×549.4)2/(110×137.4)≈0.912，高于原模型0.876，變換有效。（2）WLS：最小化Σw(y*－a－bx)2，w=1/x2正規(guī)方程：Σwy*=aΣw+bΣwxΣwxy*=aΣwx+bΣwx2解得：b?=WLSslope≈5.12，a?≈－34.0最終方程：?*=－34.0+5.12x（3）3×3表：|睡眠\GPA|<3.0|3.0~3.5|>3.5|合計||----------|----|--------|----|