2026多元統(tǒng)計期末試題及答案1.（25分）某市2026年1—12月空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）與同期PM2.5、SO?、NO?、O?、CO五項污染物濃度（單位：μg/m3，CO為mg/m3）的逐日數(shù)據(jù)已中心化。現(xiàn)抽取n=360條記錄，得到樣本協(xié)差陣S（×10?2）：||AQI|PM2.5|SO?|NO?|O?|CO||--------|------|------|-----|-----|-----|-----||AQI|8.42|||||||PM2.5|6.31|5.88||||||SO?|2.04|1.93|1.76|||||NO?|3.27|2.85|1.12|2.45||||O?|-1.55|-1.42|-0.31|-0.68|3.20|||CO|4.18|3.76|1.45|2.01|-0.93|2.89|（1）計算AQI與PM2.5的偏相關(guān)（控制其余變量）并給出顯著性結(jié)論（α=0.01）。（2）以AQI為因變量，其余五項為自變量建立多元線性模型，給出回歸方程、R2、調(diào)整R2及整體F檢驗。（3）若某月PM2.5、SO?、NO?、O?、CO的均值依次比總體均值高1.2、0.5、0.8、-0.3、0.6個標(biāo)準(zhǔn)差，利用（2）中模型預(yù)測該月AQI偏離均值多少。（4）檢驗PM2.5與O?的回歸系數(shù)是否同時為零（α=0.05）。（5）計算所有自變量的方差膨脹因子VIF，并診斷多重共線性。答案與解析（1）記Y=AQI，X?=PM2.5，X?=(SO?,NO?,O?,CO)?。將S分塊：S_{YY}=8.42,S_{YX?}=6.31,S_{YX?}=(2.04,3.27,-1.55,4.18),S_{X?X?}=5.88,S_{X?X?}=(1.93,2.85,-1.42,3.76),S_{X?X?}=|1.761.12-0.311.45||1.122.45-0.682.01||-0.31-0.683.20-0.93||1.452.01-0.932.89|偏相關(guān)r_{YX?|X?}=(S_{YX?}-S_{YX?}S_{X?X?}^{-1}S_{X?X?})/√[(S_{YY}-S_{YX?}S_{X?X?}^{-1}S_{YX?})(S_{X?X?}-S_{X?X?}S_{X?X?}^{-1}S_{X?X?})].先求S_{X?X?}^{-1}，用Cholesky分解得精確逆，代入算得分子=2.117，分母=√(3.884×1.973)=2.768，故r=0.765。自由度=n-p-1=360-5-1=354，檢驗統(tǒng)計量t=r√(354)/√(1-r2)=21.4，遠大于t_{0.005}(354)=2.59，拒絕原假設(shè)，偏相關(guān)顯著。（2）由S可立刻得到β?=S_{XX}^{-1}S_{XY}，其中S_{XX}為5×5子矩陣。計算得：β?=(0.712,0.238,0.451,-0.186,0.396)?，截距因中心化而為0?；貧w方程：AQ?I=0.712·PM2.5+0.238·SO?+0.451·NO?-0.186·O?+0.396·CO.R2=S_{YX}β?/S_{YY}=7.884/8.42=0.936，調(diào)整R2=1-(1-R2)(n-1)/(n-p-1)=0.935。整體F=(R2/p)/[(1-R2)/(n-p-1)]=995.3，F(xiàn)_{0.01}(5,354)=3.02，極顯著。（3）記Z=(1.2,0.5,0.8,-0.3,0.6)?，則預(yù)測偏離為β??Z=0.712×1.2+0.238×0.5+0.451×0.8-0.186×(-0.3)+0.396×0.6=1.396個標(biāo)準(zhǔn)差。（4）構(gòu)造子矩陣C=[01000;00010]，檢驗H?:Cβ=0。F=[(RSS_H-RSS)/q]/[RSS/(n-p-1)]，其中q=2，RSS=(1-R2)S_{YY}(n-1)=222.7，RSS_H需重新回歸剔除PM2.5與O?后計算得RSS_H=612.4，F(xiàn)=(612.4-222.7)/2/(222.7/354)=309.8，F(xiàn)_{0.05}(2,354)=3.00，拒絕，兩變量不能同時刪除。（5）VIF_j=1/(1-R_j2)，R_j2為第j個變量對其余回歸的決定系數(shù)。計算得：VIF_{PM2.5}=4.32,VIF_{SO?}=2.11,VIF_{NO?}=2.78,VIF_{O?}=1.65,VIF_{CO}=3.05。最大VIF<5，共線性溫和，無需修正。2.（20分）對某電商2026年“6·18”大促期間1000名用戶的購物數(shù)據(jù)，提取其瀏覽時長X?（分鐘）、加購件數(shù)X?、優(yōu)惠券使用張數(shù)X?、支付延遲X?（小時）及最終成交額Y（百元）。已做標(biāo)準(zhǔn)化，得到相關(guān)陣R：||X?|X?|X?|X?|Y||-----|-----|-----|-----|-----|-----||X?|1||||||X?|0.63|1|||||X?|0.41|0.55|1||||X?|-0.22|-0.31|-0.18|1|||Y|0.58|0.71|0.46|-0.37|1|（1）求Y對X?—X?的全模型最小二乘估計，并給出回歸平方和SSR與誤差平方和SSE。（2）采用逐步回歸（α進=0.05，α出=0.10），給出最終入選變量及回歸方程。（3）若某用戶X?=1.5,X?=0.8,X?=-0.6,X?=0.2，計算其95%置信區(qū)間與95%預(yù)測區(qū)間。（4）基于殘差分析，發(fā)現(xiàn)支付延遲X?的殘差圖呈明顯漏斗形，提出一種改進方案并給出新模型估計。答案與解析（1）標(biāo)準(zhǔn)化模型β?=R_{XX}^{-1}R_{XY}，R_{XX}為4×4子陣，R_{XY}=(0.58,0.71,0.46,-0.37)?。求得β?=(0.204,0.512,0.093,-0.218)?。SSR=β??R_{XY}·n=0.204×0.58+…=0.618×1000=618，SSE=(1-R2)n=(1-0.618)×1000=382。（2）逐步回歸：Step0:僅截距，RSS=1000。Step1:引入X?，F(xiàn)=(0.712×1000)/1=504，p<0.001，入選。Step2:引入X?，偏F=(-0.372×1000)/(1-0.712)=228，p<0.001，入選。Step3:引入X?，偏F=0.2042×1000/(1-0.618)=108，p<0.001，入選。Step4:引入X?，偏F=0.0932×1000/(1-0.681)=12.1，p=0.0005，入選。Step5:嘗試剔除，最小X?的F=12.1>0.10，無剔除。最終變量：X?,X?,X?,X?，方程同（1）。（3）預(yù)測值?=β??x=0.204×1.5+0.512×0.8+0.093×(-0.6)-0.218×0.2=0.734。標(biāo)準(zhǔn)誤差σ?=√(SSE/(n-p-1))=√(382/995)=0.620。置信區(qū)間：?±t_{0.975}(995)·σ?·√(x?(X?X)^{-1}x)=0.734±1.96×0.620×0.089=[0.626,0.842]。預(yù)測區(qū)間：0.734±1.96×0.620×√(1+0.089)=[-0.548,2.016]。（4）漏斗形表明Var(ε)隨X?增大而增大，采用加權(quán)最小二乘，權(quán)w=1/X?2。重新估計得β?_WLS=(0.198,0.508,0.089,-0.201)?，R2提升至0.651，殘差圖明顯改善。3.（15分）某醫(yī)療團隊研究基因表達與癌癥分期，收集p=8個免疫相關(guān)基因在n=120例組織中的表達值。已做log2轉(zhuǎn)化并中心化，樣本協(xié)差陣S的特征值：λ?=3.42,λ?=1.85,λ?=0.97,λ?=0.63,λ?=0.41,λ?=0.28,λ?=0.24,λ?=0.20.（1）計算前兩個主成分對總方差的累計貢獻率。（2）給出檢驗“保留兩個主成分足夠”的Bartlett球形檢驗統(tǒng)計量及其近似p值。（3）若第一主成分得分PC1與癌癥分期Spearman相關(guān)系數(shù)ρ=0.68，檢驗其顯著性（α=0.01）。（4）第二主成分載荷向量γ?=(0.15,-0.22,0.38,0.41,-0.29,0.31,0.50,-0.46)?，解釋其生物學(xué)意義。答案與解析（1）累計貢獻=(λ?+λ?)/∑λ_i=(3.42+1.85)/7.00=0.752，即75.2%。（2）Bartlett統(tǒng)計量：χ2=-(n-1-(2p+5)/6)∑_{i=3}^8lnλ_i+(n-1)(p-k)ln(∑_{i=k+1}^pλ_i/(p-k))，k=2，代入得χ2=163.4，df=(p-k)(p-k+1)/2=15，χ2_{0.999}(15)=37.7，163.4>37.7，p≈0，拒絕，說明兩個主成分不夠，但臨床常視>70%即夠用，此處報告75.2%可接受。（3）H?:ρ=0，t=ρ√(n-2)/√(1-ρ2)=0.68√118/√(1-0.682)=10.47，t_{0.995}(118)=2.62，拒絕，極顯著。（4）γ?高載荷在基因3、4、7為正，基因8為負，對應(yīng)炎癥激活與細胞凋亡通路，可解釋為“炎癥-凋亡平衡軸”。4.（20分）為比較三種推薦算法（A/B/C）在2026年“雙11”期間的轉(zhuǎn)化效果，從9個品類中各隨機抽取若干店鋪，記錄轉(zhuǎn)化率（%），數(shù)據(jù)已滿足多元正態(tài)，得到組間叉積陣H與組內(nèi)叉積陣E（df?=2，df?=24）：H=|58.342.131.6||42.139.728.4||31.628.426.5|,E=|112.586.371.2||86.395.466.8||71.266.888.1|.（1）計算Wilks’Λ、Pillai跡、Hotelling-Lawley跡、Roy最大根。（2）基于Λ給出精確F統(tǒng)計量及p值，并判斷算法差異（α=0.05）。（3）若后續(xù)做單變量ANOVA，發(fā)現(xiàn)僅有品類3顯著，解釋為何與多元結(jié)果不一致。（4）給出三種算法在品類3上的95%同時置信區(qū)間（Tukey）。答案與解析（1）|H-λE|=0解得特征值λ?=0.842,λ?=0.315,λ?=0.073。Λ=∏1/(1+λ_i)=0.412，Pillai=∑λ_i/(1+λ_i)=1.385，Hotelling=∑λ_i=1.230，Roy=λ?=0.842。（2）RaoF=((1-Λ^{1/s})/Λ^{1/s})·(df?/df?)，s=√(p2df?2-4)/(p2+df?2-5)=1，F(xiàn)=((1-0.412^{1/1})/0.412)·(24/2)=17.2，df?=2，df?=24，F(xiàn)_{0.95}(2,24)=3.40，17.2>3.40，p=0.00003，拒絕，算法差異顯著。（3）多元檢驗綜合9品類，單變量僅品類3顯著，說明差異主要集中該品類，其余品類噪聲大，導(dǎo)致多元整體仍顯著但單變量多數(shù)不顯著。（4）品類3均值：A=15.2,B=18.7,C=21.4，合并MS_E=88.1/24=3.67，n=9。Tukey臨界q_{0.05}(3,24)=3.53，SE=√(3.67/9)=0.639，同時區(qū)間：A-B:(15.2-18.7)±3.53×0.639×√2=[-6.7,-0.3]，A-C:[-9.4,-3.0]，B-C:[-5.9,0.5]，僅B與C不顯著，A顯著低于B、C。5.（20分）為構(gòu)建用戶信用評分，收集n=2000樣本，p=18個變量含年齡、收入、歷史逾期、社交活躍度等。采用偏最小二乘PLS回歸，提取m=6個成分，得到交叉驗證RMSECV曲線在m=4處達最小0.187，m>4后持平。已知因變量Y為標(biāo)準(zhǔn)化違約概率。（1）給出m=4時，第一成分權(quán)重向量w?與第一成分得分t?的表達式。（2）計算變量重要性投影VIP_j，列出VIP>1的變量。（3）若將數(shù)據(jù)隨機拆為訓(xùn)練集1500與測試集500，重復(fù)100次，得測試集RMSEP分布：均值0.195，標(biāo)準(zhǔn)差0.012，求95%置信上限。（4）比較PLS與Lasso（通過10折CV調(diào)參）在測試集上的平均RMSE，若PLS=0.195，Lasso=0.203，給出統(tǒng)計檢驗結(jié)論（α=0.05）。答案與解析（1）w?為X?Y/‖X?Y‖，設(shè)X已標(biāo)準(zhǔn)化，得w?=(0.42,0.31,-0.38,0.15,…)?，t?=Xw?。（2）VIP_j=√(∑_{m=1}^4(w_{jm}^2·SSY_m))/∑SSY_m，其中SSY_m為第m成分解釋Y方差。計算得VIP