統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試題(含答案)一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.某高校對(duì)2022級(jí)新生進(jìn)行身高抽樣調(diào)查，樣本量n=100，樣本均值x?=168.3cm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=6.5cm。若構(gòu)造μ的95%置信區(qū)間，則區(qū)間半寬最接近A.0.65cm?B.1.28cm?C.1.30cm?D.2.58cm答案：B解析：σ未知，用t分布，df=99，t?.???≈1.984，半寬=t·s/√n=1.984×6.5/10≈1.29cm，最接近1.28cm。2.在簡單線性回歸y=β?+β?x+ε中，若解釋變量x的樣本方差增大，其他條件不變，則β?的最小二乘估計(jì)量β??的方差將A.增大?B.減小?C.不變?D.先增后減答案：B解析：Var(β??)=σ2/Sxx，Sxx增大則Var(β??)減小。3.設(shè)X~N(μ,σ2)，σ2已知，檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，若顯著性水平α從0.05降到0.01，則拒絕域A.擴(kuò)大?B.縮小?C.不變?D.可能擴(kuò)大或縮小答案：B解析：α減小，臨界值|zα/2|增大，拒絕域縮小。4.對(duì)同一總體進(jìn)行兩次獨(dú)立抽樣，樣本量分別為n?、n?，樣本均值分別為x??、x??，則Var(x???x??)為A.σ2/n?+σ2/n??B.σ2/n??σ2/n??C.σ2/(n?+n?)?D.σ2√(1/n?+1/n?)答案：A解析：獨(dú)立樣本均值差方差等于方差之和。5.在完全隨機(jī)化單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSE=30，則F統(tǒng)計(jì)量值為A.0.25?B.4?C.90?D.150答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。6.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E[X2]等于A.λ?B.λ2?C.λ+λ2?D.λ2?λ答案：C解析：泊松分布E[X]=λ，Var(X)=λ，E[X2]=Var(X)+(E[X])2=λ+λ2。7.對(duì)某二項(xiàng)分布B(n,p)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，H?:p=0.5，若n=400，樣本比例p?=0.55，則z統(tǒng)計(jì)量值為A.1.0?B.1.5?C.2.0?D.2.5答案：C解析：z=(0.55?0.5)/√(0.5×0.5/400)=0.05/0.025=2。8.在多元線性回歸中，若某解釋變量x?與x?的樣本相關(guān)系數(shù)|r|=0.98，則很可能出現(xiàn)A.異方差?B.自相關(guān)?C.多重共線?D.異常值答案：C解析：|r|接近1表明高度線性相關(guān)，多重共線。9.對(duì)時(shí)間序列{yt}擬合ARIMA(1,1,1)模型，若φ?=0.8，θ?=?0.5，則該模型的AR特征方程為A.1?0.8B=0?B.1+0.8B=0?C.1?0.5B=0?D.1+0.5B=0答案：A解析：AR(1)部分特征方程1?φ?B=0。10.在貝葉斯估計(jì)中，若先驗(yàn)分布為Beta(2,2)，似然為二項(xiàng)分布B(n=10,x=3)，則后驗(yàn)分布為A.Beta(2,2)?B.Beta(3,9)?C.Beta(5,9)?D.Beta(5,7)答案：C解析：Beta先驗(yàn)共軛，后驗(yàn)參數(shù)α'=2+3=5，β'=2+7=9。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列關(guān)于中心極限定理的說法正確的有A.任意分布的樣本均值在n足夠大時(shí)近似正態(tài)B.要求總體方差有限C.樣本量n≥30一定保證近似正態(tài)D.可用于構(gòu)建置信區(qū)間答案：ABD解析：n≥30為經(jīng)驗(yàn)法則，非絕對(duì)保證。12.在簡單隨機(jī)抽樣中，影響樣本均值標(biāo)準(zhǔn)誤的因素有A.總體大小N?B.樣本量n?C.總體標(biāo)準(zhǔn)差σ?D.抽樣方式答案：BCD解析：有限總體修正與N有關(guān)，但標(biāo)準(zhǔn)誤核心由σ、n、抽樣方式?jīng)Q定。13.下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)方法的有A.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)?B.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)?C.游程檢驗(yàn)?D.Durbin-Watson檢驗(yàn)答案：ABC解析：Durbin-Watson檢驗(yàn)用于自相關(guān)，屬參數(shù)框架。14.對(duì)多元回歸模型進(jìn)行變量選擇時(shí)，可能用到的準(zhǔn)則有A.AIC?B.BIC?C.調(diào)整R2?D.Mallows'Cp答案：ABCD解析：均為經(jīng)典選擇準(zhǔn)則。15.若隨機(jī)變量X~t(df)，則A.E[X]=0（df>1）?B.Var(X)=df/(df?2)（df>2）?C.對(duì)稱于0?D.當(dāng)df→∞趨近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)答案：ABCD解析：t分布基本性質(zhì)。三、填空題（每空2分，共20分）16.設(shè)X~N(10,4)，則P(X>12)=______。（用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)Φ表示）答案：1?Φ(1)解析：Z=(12?10)/2=1。17.在簡單隨機(jī)抽樣中，若N=1000，n=100，σ=15，則樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤為______。答案：1.5×√(0.9)=1.424解析：有限總體修正√[(N?n)/(N?1)]≈0.9，標(biāo)準(zhǔn)誤=15/√100×0.9^0.5≈1.424。18.對(duì)某產(chǎn)品重量進(jìn)行控制圖監(jiān)控，樣本量n=5，若過程標(biāo)準(zhǔn)差σ=2g，則X?圖的控制上限為μ+______σ。答案：3/√5≈1.3416解析：X?圖上下限為μ±3σ/√n。19.若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)=exp(2t+3t2)，則E[X]=______。答案：2解析：MX'(0)=2。20.在列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若χ2統(tǒng)計(jì)量為9.6，自由度為4，則p值范圍約為______。答案：0.04<p<0.05解析：查χ2表，χ2?.??,?≈9.49，χ2?.???,?≈11.14。21.設(shè)樣本相關(guān)系數(shù)r=0.6，n=30，則檢驗(yàn)H?:ρ=0的t統(tǒng)計(jì)量為______。答案：0.6√(28)/√(1?0.36)=3.57解析：t=r√[(n?2)/(1?r2)]。22.若某指數(shù)分布均值θ=5，則其參數(shù)λ=______。答案：0.2解析：指數(shù)分布均值1/λ。23.在Bootstrap估計(jì)中，若原始樣本量n=50，采用有放回重復(fù)抽樣，則某一次Bootstrap樣本中未被抽到的原始樣本比例期望為______。答案：(1?1/n)^n≈e^(?1)=0.3679解析：經(jīng)典Bootstrap性質(zhì)。24.對(duì)時(shí)間序列{yt}進(jìn)行一階差分后得到wt=yt?yt?1，若原序列方差γ?=10，一階自相關(guān)系數(shù)ρ?=0.7，則Var(wt)=______。答案：10×2(1?0.7)=6解析：Var(wt)=2γ?(1?ρ?)。25.在貝葉斯線性回歸中，若采用Zellnerg先驗(yàn)，且g=n，則先驗(yàn)協(xié)方差矩陣與樣本信息權(quán)重比為______。答案：1解析：g=n時(shí)先驗(yàn)與樣本信息權(quán)重相等。四、計(jì)算與證明題（共45分）26.（8分）某電商平臺(tái)想估計(jì)用戶日均瀏覽時(shí)長μ（分鐘），隨機(jī)抽取64名用戶，得x?=45.2，s=8.4。（1）給出μ的95%置信區(qū)間；（2）若希望估計(jì)誤差不超過1分鐘，在95%置信水平下至少需要多大樣本量？答案與解析：（1）n=64>30，用z近似，z?.???=1.96，CI=45.2±1.96×8.4/√64=45.2±2.058→(43.14,47.26)分鐘。（2）E=zα/2·σ/√n≤1，取σ≈8.4，n≥(1.96×8.4)2=270.9→至少271人。27.（8分）為比較A、B兩種推薦算法對(duì)用戶點(diǎn)擊率p的影響，隨機(jī)分配200名用戶到A組，220名到B組。結(jié)果：A組點(diǎn)擊32次，B組點(diǎn)擊55次。（1）檢驗(yàn)H?:pA=pBvsH?:pA≠pB（α=0.05）；（2）給出兩組點(diǎn)擊率之差的95%置信區(qū)間。答案與解析：（1）p?A=32/200=0.16，p?B=55/220=0.25，合并p?=(32+55)/(200+220)=0.207，z=(0.16?0.25)/√[0.207×0.793(1/200+1/220)]=?0.09/0.0397=?2.27，|z|=2.27>1.96，拒絕H?，算法B點(diǎn)擊率顯著更高。（2）差值p?A?p?B=?0.09，SE=√[0.16×0.84/200+0.25×0.75/220]=0.0397，CI=?0.09±1.96×0.0397→(?0.168,?0.012)，即B比A高1.2%到16.8%。28.（9分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=kx2,0<x<2。（1）求常數(shù)k；（2）求E[X]與Var(X)；（3）設(shè)Y=X3，求E[Y]。答案與解析：（1）∫?2kx2dx=1→k[x3/3]?2=8k/3=1→k=3/8。（2）E[X]=∫?2x·3/8x2dx=3/8·x?/4|?2=3/8·4=1.5，E[X2]=∫?2x2·3/8x2dx=3/8·x?/5|?2=3/8·32/5=12/5=2.4，Var(X)=2.4?1.52=0.15。（3）E[Y]=E[X3]=∫?2x3·3/8x2dx=3/8·x?/6|?2=3/8·64/6=4。29.（10分）對(duì)某城市2020-2023年季度GDP（億元）建立乘法季節(jié)模型，取對(duì)數(shù)后得序列{lnGDPt}，擬合ARIMA(1,0,1)×(0,1,1)?，估計(jì)結(jié)果：φ?=0.72，θ?=?0.45，Θ?=?0.68，殘差方差σ?2=0.0036。（1）寫出模型方程；（2）已知2023Q4對(duì)數(shù)GDP為4.80，2023Q3為4.75，2022Q4為4.68，求2024Q1點(diǎn)預(yù)測；（3）給出2024Q1預(yù)測誤差的方差估計(jì)（忽略參數(shù)估計(jì)誤差）。答案與解析：（1）(1?0.72B)(1?B?)lnGDPt=(1?0.45B)(1?0.68B?)εt。（2）令wt=(1?B?)lnGDPt，則wt=0.72wt?1+εt?0.45εt?1?0.68εt?4+0.45×0.68εt?5，2023Q4對(duì)應(yīng)t，εt已觀測為0，w2024Q1=0.72w2023Q4?0.68ε2023Q4?4，w2023Q4=lnGDP2023Q4?lnGDP2022Q4=4.80?4.68=0.12，ε2023Q4?4=ε2022Q4，由殘差序列回溯得ε2022Q4≈0.02，w2024Q1=0.72×0.12?0.68×0.02=0.0864?0.0136=0.0728，lnGDP2024Q1=lnGDP2023Q4+w2024Q1=4.80+0.0728=4.8728→點(diǎn)預(yù)測4.873。（3）預(yù)測誤差方差=σ2(1+ψ?2+ψ?2+ψ?2)，其中ψ權(quán)重由模型遞推得ψ?=0.72?0.45=0.27，ψ?=0.722?0.45×0.72=0.1944，ψ?=0.723?0.45×0.722=0.13997，ψ?=0.72??0.45×0.723?0.68=?0.427，但僅領(lǐng)先1期，只需ψ?=1，故方差=0.0036。30.（10分）設(shè)總體服從均勻分布U(0,θ)，隨機(jī)樣本X?,…,Xn，令Y=max{X?}。（1）求Y的密度函數(shù)；（2）證明Y是θ的充分統(tǒng)計(jì)量；（3）構(gòu)造θ的無偏估計(jì)并求其方差。答案與解析：（1）FY(y)=P(Y≤y)=(y/θ)^n,0<y<θ，fY(y)=ny^{n?1}/θ^n。（2）由因子分解定理，聯(lián)合密度f(x|θ)=θ^{?n}I_{(0,θ)}(y)，僅通過y依賴θ，故y充分。（3）E[Y]=∫?^θy·ny^{n?1}/θ^ndy=n/(n+1)θ，令θ?=(n+1)/nY，則E[θ?]=θ，無偏。Var(θ?)=(n+1)2/n2Var(Y)，E[Y2]=∫?^θy2·ny^{n?1}/θ^ndy=n/(n+2)θ2，Var(Y)=n/(n+2)θ2?[n/(n+1)θ]2=nθ2/[(n+2)(n+1)2]，故Var(θ?)=(n+1)2/n2·nθ2/[(n+2)(n+1)2]=θ2/[n(n+2)]。五、綜合應(yīng)用題（共40分）31.（15分）某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)欲評(píng)估新藥對(duì)收縮壓的降低效果，招募120名高血壓患者，隨機(jī)分為試驗(yàn)組（n?=60）與對(duì)照組（n?=60）?；€測得兩組收縮壓均值為160mmHg。經(jīng)4周治療后，試驗(yàn)組平均下降12mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s?=8mmHg；對(duì)照組平均下降5mmHg，s?=7mmHg。假設(shè)下降量近似正態(tài)。（1）檢驗(yàn)新藥是否顯著優(yōu)于對(duì)照（α=0.01，單側(cè)）；（2）給出兩組下降量均值之差的99%單側(cè)置信下限；（3）若定義臨床意義為差值≥6mmHg，請結(jié)合（1）（2）給出結(jié)論。答案與解析：（1）H?:μ??μ?≤0vsH?:μ??μ?>0，x???x??=7mmHg，合并方差sp2=[(59×82+59×72)]/(118)=56.5，sp=7.52，t=7/(7.52√(1/60+1/60))=7/1.374=5.10，df=118，t?.??=2.36，5.10>2.36，拒絕H?，新藥顯著更優(yōu)。（2）單側(cè)CI下限：7?t?.??,118×1.374=7?2.36×1.374=3.76mmHg。（3）下限3.76<6，尚不能99%確信差值≥6；但點(diǎn)估計(jì)7>6，且α=0.01顯著，可認(rèn)為新藥具有臨床意義，但需更大樣本驗(yàn)證。32.（12分）某市交通部門記錄2023年工作日早高峰（7:30-8:30）擁堵指數(shù)，得30天數(shù)據(jù)：x?=68.5，s=9.2。假設(shè)指數(shù)近似正態(tài)。（1）檢驗(yàn)H?:μ=65vsH?:μ≠65（α=0.05）；（2）給出μ的95%置信區(qū)間；（3）若希望區(qū)間半寬不超過2單位，求所需樣本量。答案與解析：（1）t=(68.5?65)/(9.2/√30)=3.5/1.679=2.085，df=29，t?.???=2.045，|t|>2.045，拒絕H?，擁堵指數(shù)顯著高于65。（2）CI=68.5±2.045×1.679→(65.06,71