高考數(shù)學壓軸專題新備戰(zhàn)高考《計數(shù)原理與概率統(tǒng)計》經(jīng)典測試題及答案1.某校高三（1）班有男生24人，女生18人，班主任準備從中選出5人組成“數(shù)學沖刺小組”．（1）若要求男生、女生均不少于2人，有多少種不同選法？（2）若再要求選出的5人中至少有1名女生擔任組長（組長只有1人），且組長必須排在5人名單的第一位，其余4人順序不限，又有多少種不同結果？【答案與解析】（1）分類按男生人數(shù)討論：男生2人，女生3人：C_{24}^{2}·C_{18}^{3}=276×816=225216；男生3人，女生2人：C_{24}^{3}·C_{18}^{2}=2024×153=309672；男生4人，女生1人：C_{24}^{4}·C_{18}^{1}=10626×18=191268；男生5人，女生0人：不滿足“女生不少于2人”，舍去．合計：225216+309672+191268=726156種．（2）先滿足“女生不少于2人”且“組長為女生且固定第一位”．組長為女生：18種選擇；余下4人需滿足“女生不少于1人”（因已含1女），且總女生數(shù)≥2，即余下4人中女生數(shù)≥1．余下4人分兩類：A.余下1女3男：C_{17}^{1}·C_{24}^{3}=17×2024=34408；B.余下2女2男：C_{17}^{2}·C_{24}^{2}=136×276=37584；C.余下3女1男：C_{17}^{3}·C_{24}^{1}=680×24=16320；D.余下4女0男：C_{17}^{4}=2380．小計：34408+37584+16320+2380=90692．再乘上組長18種：18×90692=1632456種．2.將6個不同的小球放入4個不同的盒子，允許盒子為空．（1）共有多少種不同放法？（2）若要求恰有2個盒子為空，且另外2個盒子各至少放2球，又有多少種？【答案與解析】（1）每個球有4種選擇，6個球獨立：4^{6}=4096種．（2）步驟：Step1選2個空盒：C_{4}^{2}=6；Step2將6球全部分到剩下2盒，每盒≥2球．設兩盒為A、B，球數(shù)分配只有(2,4),(3,3),(4,2)三種數(shù)值，但盒不同，(2,4)與(4,2)算兩種．①(2,4)：C_{6}^{2}=15種選球入A，余下4球自動入B；②(4,2)：同理15種；③(3,3)：C_{6}^{3}=20種，但兩盒無差別，需除以2，得10種．每對盒子小計：15+15+10=40．總：6×40=240種．3.某城市地鐵采用“一票制”隨機抽查，抽查規(guī)則：每位乘客獨立被抽到的概率為p=0.15．現(xiàn)有甲、乙、丙三人同乘一次車．（1）求三人中恰有1人被抽查的概率；（2）設X為三人中被抽查人數(shù)，求X的分布列及期望；（3）若三人中至少1人被抽查，則車站需額外投入管理成本200元；設Y表示該次成本，求Y的分布列及期望．【答案與解析】（1）恰1人：C_{3}^{1}p(1-p)^{2}=3×0.15×0.85^{2}=0.325125．（2）X~B(3,0.15)P(X=0)=0.85^{3}=0.614125；P(X=1)=3×0.15×0.85^{2}=0.325125；P(X=2)=3×0.15^{2}×0.85=0.057375；P(X=3)=0.15^{3}=0.003375．期望E(X)=3×0.15=0.45．（3）Y=200·I{X≥1}，I為示性函數(shù)．P(Y=0)=P(X=0)=0.614125；P(Y=200)=1?0.614125=0.385875．E(Y)=200×0.385875=77.175元．4.某抽獎箱中放有編號1~9的9個球，每次隨機摸出3個，記錄號碼后放回．設ξ為這3個號碼的中位數(shù)．（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的期望與方差．【答案與解析】總樣本數(shù)：C_{9}^{3}=84．ξ=k（k=2,3,…,8）表示“選出的3數(shù)中，比k小的有1個，比k大的有1個”．具體：ξ=2：必須選1,2,x（x=3~9），共7種；ξ=3：選1,3,x或2,3,x且x>3，共C_{2}^{1}·C_{6}^{1}+C_{1}^{1}·C_{6}^{1}=12+6=18；一般地，ξ=k：C_{k-1}^{1}·C_{9-k}^{1}=(k-1)(9-k)．列表：ξ?2?3?4?5?6?7?8P?7/84?18/84?20/84?18/84?12/84?7/84?2/84期望：Eξ=∑kP(k)=(2×7+3×18+4×20+5×18+6×12+7×7+8×2)/84=420/84=5．方差：Eξ2=(4×7+9×18+16×20+25×18+36×12+49×7+64×2)/84=2268/84=27，Varξ=27?52=2．5.某校數(shù)學組教師共12人，其中骨干教師4人．現(xiàn)隨機分成3組，每組4人，去外校參加同課異構活動．（1）求4名骨干恰好同在一組的概率；（2）設η表示“骨干分散的組數(shù)”，即骨干所在不同組的個數(shù)，求η的分布列及期望．【答案與解析】總分組法：C_{12}^{4}C_{8}^{4}C_{4}^{4}/3!=5775．（1）4骨干同組：把4骨干視為1個“超級人”，余下8人再配2人成組，先選2人與骨干同組：C_{8}^{2}=28，余下6人平分兩組：C_{6}^{3}/2!=10，合計：28×10=280，概率=280/5775=8/165．（2）η可能取1,2,3．η=1：即（1）中情況，P=8/165；η=3：每組至多1骨干，等價于把4骨干放入3組且每組≤1，即4骨干選3組各1人，剩1骨干再選1組：不可能，因每組4人，故實際為“4骨干分布在3組，且每組人數(shù)≤4”，只需把4骨干分到3組，允許某一組2人，另兩組各1人．先算“η=3”：先選哪組得2骨干：C_{3}^{1}=3，選2骨干給該組：C_{4}^{2}=6，余下2骨干分到另2組各1：2!=2，再配非骨干：得2骨干的組還需2非骨干：C_{8}^{2}=28；得1骨干的兩組各需3非骨干：C_{6}^{3}=20，C_{3}^{3}=1；合計：3×6×2×28×20×1=20160，但總分母為5775，顯然超，故需換算法：正確算法：η=3：4骨干分布在3組，只有“2,1,1”型．先定骨干分布型：C_{4}^{2}C_{2}^{1}C_{1}^{1}/2!=6×2/2=6；再配非骨干：得2骨干的組缺2人：C_{8}^{2}=28；得1骨干的兩組各缺3人：C_{6}^{3}C_{3}^{3}=20×1=20；再乘組排列：3組已標簽，無需再除；合計：6×28×20=3360；P(η=3)=3360/5775=64/110=32/55；P(η=2)=1?8/165?32/55=1?8/165?96/165=61/165．期望：Eη=1×8/165+2×61/165+3×32/55=(8+122+288)/165=418/165≈2.533．6.某游戲節(jié)目設置一條由10關組成的晉級賽道，選手逐關獨立挑戰(zhàn)，每關通過概率均為0.7，若連續(xù)兩次失敗則立即淘汰；若通過6關及以上即成功晉級．（1）求選手恰在第8關首次被淘汰的概率；（2）求選手最終晉級的概率．【答案與解析】設狀態(tài)(i,j)表示“已闖i關，當前連續(xù)失敗j次”，j=0,1；淘汰態(tài)j=2．轉移：通過：i+1,j=0；失?。篿+1,j+1，若j+1=2則淘汰．記P(i,j)為到達(i,j)且未淘汰的概率．邊界：P(0,0)=1．遞推：P(i,0)=P(i?1,0)×0.7+P(i?1,1)×0.7；P(i,1)=P(i?1,0)×0.3．列表（前10關）：i?0?1?2?3?4?5?6?7?8?9?10P(i,0)?1?0.7?0.7?0.49?0.343?0.2401?0.16807?0.117649?0.082354?0.057648?0.040354P(i,1)?0?0.3?0.21?0.147?0.1029?0.07203?0.050421?0.035295?0.024706?0.017294?0.012106（1）恰在第8關淘汰?第7關后狀態(tài)(7,1)且第8關失?。篜(7,1)×0.3=0.035295×0.3=0.0105885．（2）晉級?闖完10關且通過≥6關，即未淘汰且通過關數(shù)≥6．通過關數(shù)=10?失敗關數(shù)，失敗關數(shù)≤4（因若失敗5次，必出現(xiàn)連續(xù)2次）．實際只需未淘汰且i=10，即P(10,0)+P(10,1)=0.040354+0.012106=0.05246．但需進一步限制“通過關數(shù)≥6”，即失敗關數(shù)≤4．因未淘汰狀態(tài)下失敗關數(shù)最多4次，故全部滿足．因此晉級概率=0.05246．7.某工廠生產(chǎn)一種精密零件，其長度X~N(μ,σ2)．現(xiàn)從中隨機抽取10件，測得平均長度x?=50.02mm，樣本標準差s=0.05mm．（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求“長度偏差不超過0.1mm”為合格，用樣本估計，求該批零件合格率的95%置信下限；（3）若質量部門規(guī)定“合格率不得低于95%”，試根據(jù)（2）的結果判斷該批是否達標（α=0.05）．【答案與解析】（1）n=10，t_{0.025}(9)=2.262，μ∈x?±t·s/√n=50.02±2.262×0.05/√10=50.02±0.0358，即(49.9842,50.0558)mm．（2）合格?|X?μ|≤0.1，但μ未知，用樣本估計．以x?代μ，則合格概率p=P(|X?x?|≤0.1)=P(|Z|≤0.1/σ)．σ未知，用s代，得點估計p?=2Φ(0.1/0.05)?1=2Φ(2)?1=2×0.9772?1=0.9544．求95%置信下限：用Clopper-Pearson或正態(tài)近似，這里n大可用p_L=p??z_{0.05}√{p?(1?p?)/n}=0.9544?1.645×√{0.9544×0.0456/10}=0.9544?0.0342=0.9202．（3）下限0.9202<0.95，故在0.05水平下不能認為達標．8.某信息競賽培訓隊有8名隊員，其中3名“大神”．現(xiàn)隨機排成一行拍照．（1）求3名大神恰好站在一起的概率；（2）設ζ表示“從左數(shù)第一個大神所在的位置”，求ζ的分布列及期望；（3）若再隨機選3人蹲在第一排，余下5人站在第二排，求“第一排中大神人數(shù)”η的分布列．【答案與解析】（1）把3大神捆成1塊，共6塊，塊內(nèi)排列3!，概率=6!×3!/8!=720×6/40320=6/56=3/28．（2）ζ=k表示前k?1人均非大神，第k人是大神．P(ζ=k)=C_{5}^{k?1}·3·(k?1)!·(8?k)!/8!化簡：P(ζ=k)=C_{5}^{k?1}/C_{8}^{k}·3/k=3(8?k)(7?k)/(8×7×6)．列表：k?1?2?3?4?5?6P?3/8?15/56?5/28?5/56?1/56?0期望：Eζ=∑kP(k)=(3/8+30/56+15/28+20/56+5/56)=(21+30+30+20+5)/56=106/56=53/28≈1.89．（3）η~Hypergeometric(N=8,K=3,n=3)，P(η=k)=C_{3}^{k}C_{5}^{3?k}/C_{8}^{3}，k=0,1,2,3．η?0?1?2?3P?10/56?30/56?15/56?1/569.某校為調查學生每日手機使用時間，隨機抽取n=400份問卷，得到平均時間x?=3.5h，修正樣本方差s2=1.44h2．（1）試檢驗該校學生平均使用時間是否顯著高于3h（α=0.01）；（2）若按“使用時間≥4h”定義為“重度用戶”，樣本中重度用戶共128人，求該校重度用戶比例p的99%置信區(qū)間；（3）若另一獨立樣本m=100，得重度用戶比例p??=0.25，試檢驗兩總體比例是否顯著差異（α=0.05）．【答案與解析】（1）H?:μ=3，H?:μ>3，t=(3.5?3)/√(1.44/400)=0.5/0.06=8.33，大于t_{0.01}(∞)=2.326，拒絕H?，顯著高于3h．（2）p?=128/400=0.32，99%CI=p?±z_{0.005}√{p?(1?p?)/n}=0.32±2.576×0.0233=0.32±0.060，即(0.260,0.380)．（3）H?:p?=p?，H?:p?≠p?，合并比例p?=(128+25)/(400+100)=153/500=0.306，z=(0.32?0.25)/√{0.306×0.694×(1/400+1/100)}=0.07/0.0513=1.36，|z|<1.9