概率論和數(shù)理統(tǒng)計期末考試題庫及答案1.（單選）設(shè)事件A,B滿足P(A)=0.4，P(B|A)=0.5，P(B|?A)=0.2，則P(B)等于A.0.30?B.0.32?C.0.34?D.0.36答案：B解析：全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(?A)P(B|?A)=0.4×0.5+0.6×0.2=0.32。2.（單選）若隨機變量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，則E[X2]等于A.9?B.12?C.15?D.18答案：B解析：泊松分布E[X]=λ，Var(X)=λ，故E[X2]=Var(X)+(E[X])2=3+9=12。3.（單選）設(shè)X~N(0,1)，Y=|X|，則Y的密度函數(shù)在y>0處的表達式為A.√(2/π)e^{-y2/2}?B.√(2/π)e^{-y2}?C.(1/√2π)e^{-y2/2}?D.2/√2πe^{-y2/2}答案：A解析：Y=|X|的分布函數(shù)F_Y(y)=P(|X|≤y)=2Φ(y)?1，求導(dǎo)得f_Y(y)=2φ(y)=√(2/π)e^{-y2/2}。4.（單選）設(shè)X?,X?獨立同分布于U(0,1)，令Z=min(X?,X?)，則P(Z>0.3)等于A.0.09?B.0.42?C.0.49?D.0.51答案：C解析：P(Z>0.3)=P(X?>0.3,X?>0.3)=0.7×0.7=0.49。5.（單選）設(shè)隨機變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=exp{2t2+3t}，則E[X]與Var(X)分別為A.3,4?B.3,2?C.2,3?D.4,3答案：A解析：M_X(t)為高斯型，M_X(t)=exp{μt+σ2t2/2}，對比得μ=3，σ2=4。6.（單選）設(shè)樣本X?,…,X_n來自N(μ,σ2)，σ2已知，檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，顯著性水平α下拒絕域為A.|X??μ?|>z_{α/2}σ/√n?B.|X??μ?|>t_{α/2}(n?1)S/√n?C.X?>μ?+z_ασ/√n?D.X?<μ??z_ασ/√n答案：A解析：σ已知用Z檢驗，雙側(cè)分位z_{α/2}。7.（單選）設(shè)X~Bin(n,p)，若n=100，p未知，觀測到x=60，則p的近似95%置信區(qū)間為A.0.6±0.098?B.0.6±0.096?C.0.6±0.094?D.0.6±0.092答案：B解析：正態(tài)近似p?=0.6，標(biāo)準(zhǔn)誤√[p?(1?p?)/n]=√0.0024≈0.04898，1.96×0.04898≈0.096。8.（單選）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，且相關(guān)系數(shù)ρ=0，則下列錯誤的是A.X,Y獨立?B.Cov(X,Y)=0?C.E[Y|X]=E[Y]?D.Var(Y|X)=Var(Y)答案：A解析：二維正態(tài)下ρ=0等價于獨立，故A正確；題目問“錯誤”的選項，因此無錯誤，但命題要求單選，出題人意圖為“若ρ=0但非聯(lián)合正態(tài)則不一定獨立”，故嚴(yán)格講A在非正態(tài)下不成立，但題目已限定二維正態(tài)，因此原選項設(shè)置A為“正確”，此題考察“二維正態(tài)+ρ=0?獨立”知識點。9.（單選）設(shè)X?,…,X_n為i.i.d.樣本，密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0，則θ的極大似然估計為A.?n/∑lnX_i?B.n/∑lnX_i?C.∑lnX_i/n?D.?∑lnX_i/n答案：B解析：對數(shù)似然l(θ)=nlnθ+(θ?1)∑lnX_i，令導(dǎo)數(shù)為0得θ?=?n/∑lnX_i，注意∑lnX_i<0，故為正數(shù)。10.（單選）設(shè)X~Exp(λ)，則P(X>Var(X))等于A.e^{-1}?B.e^{-λ}?C.e^{-λ2}?D.1?e^{-λ}答案：A解析：Var(X)=1/λ2，P(X>1/λ2)=e^{-λ·1/λ2}=e^{-1/λ}，但選項無此答案，重新檢查：題目應(yīng)為P(X>E[X])，則P(X>1/λ)=e^{-1}，命題人筆誤，已勘誤，按E[X]計算選A。11.（填空）設(shè)隨機變量X的密度f(x)=c(1?x2),?1<x<1，則常數(shù)c=________。答案：3/4解析：∫_{-1}^1c(1?x2)dx=1?c[x?x3/3]_{-1}^1=1?c·4/3=1?c=3/4。12.（填空）設(shè)X~Geo(p)，則P(X為偶數(shù))=________。答案：(1?p)p/(1?(1?p)2)解析：P(X=2k)=p(1?p)^{2k?1},k≥1，求和得幾何級數(shù)，化簡得(1?p)p/[1?(1?p)2]=(1?p)p/[p(2?p)]=(1?p)/(2?p)。13.（填空）設(shè)X?,…,X_n來自N(μ,σ2)，記S2=1/(n?1)∑(X_i?X?)2，則E[S?]=________。答案：(n+1)σ?/(n?1)解析：已知(n?1)S2/σ2~χ2(n?1)，故Var(S2)=2σ?/(n?1)，E[S?]=Var(S2)+(E[S2])2=2σ?/(n?1)+σ?=σ?(n+1)/(n?1)。14.（填空）設(shè)X~Uniform[0,θ]，θ>0未知，取樣本X?,…,X_n，記X_(n)=max{X_i}，則θ的矩估計量為________。答案：2X?解析：E[X]=θ/2，令X?=θ/2?θ?=2X?。15.（填空）設(shè)隨機變量X取值{?1,0,1}，且P(X=?1)=P(X=1)=p，P(X=0)=1?2p，則X的峰度為________。答案：?2解析：E[X]=0，E[X2]=2p，E[X?]=2p，峰度=E[X?]/(E[X2])2?3=2p/(4p2)?3=1/(2p)?3，但峰度對任意p應(yīng)固定，重新計算：中心矩μ?=2p，μ?=2p，故峰度γ?=μ?/μ?2?3=2p/(4p2)?3=1/(2p)?3，題目缺p值，命題人原意設(shè)p=1/4，則γ?=2?3=?1，再檢查：μ?=2p，μ?=2p，故γ?=2p/(4p2)?3=1/(2p)?3，若p=1/2則γ?=1?3=?2，因此填?2。16.（計算）設(shè)某生產(chǎn)線次品率p未知，隨機抽取400件，發(fā)現(xiàn)32件次品，(1)給出p的矩估計p?；(2)構(gòu)造p的近似95%置信區(qū)間；(3)若要求估計誤差不超過0.02，求在95%置信水平下所需最小樣本量。答案：(1)p?=32/400=0.08；(2)0.08±1.96√[0.08×0.92/400]=0.08±0.0266，即(0.0534,0.1066)；(3)n≥(1.96/0.02)2×0.08×0.92≈1417.5，取1418。17.（計算）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0<y<x<1，(1)求邊緣密度f_X(x)；(2)求條件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)計算E[Y|X=0.5]；(4)判斷X,Y是否獨立。答案：(1)f_X(x)=∫_0^x2dy=2x,0<x<1；(2)f_{Y|X}(y|x)=2/(2x)=1/x,0<y<x；(3)E[Y|X=0.5]=∫_0^{0.5}y·(1/0.5)dy=2·[y2/2]_0^{0.5}=0.25；(4)不獨立，因為f(x,y)≠f_X(x)f_Y(y)，其中f_Y(y)=∫_y^12dx=2(1?y),0<y<1。18.（計算）設(shè)X?,…,X_n為i.i.d.樣本，密度f(x;θ)=e^{?(x?θ)},x≥θ，θ∈?未知，(1)求θ的極大似然估計θ?；(2)求θ?的分布函數(shù)；(3)計算E[θ?]并判斷θ?是否無偏，若偏，給出無偏修正。答案：(1)似然L(θ)=exp{?∑(X_i?θ)},θ≤minX_i，顯然在θ?=X_(1)=minX_i處取最大；(2)P(θ?≤t)=1?P(X_(1)>t)=1?[P(X?>t)]^n=1?e^{?n(t?θ)},t≥θ，即θ?~θ+Exp(n)；(3)E[θ?]=θ+1/n，有偏；無偏估計取θ?=θ??1/n。19.（計算）設(shè)某器件壽命T~Exp(λ)，隨機抽取10件，觀測到總失效時間之和為Σt_i=1820小時，(1)求λ的極大似然估計λ?；(2)構(gòu)造λ的95%近似置信區(qū)間（利用大樣本性質(zhì)）；(3)檢驗H?:λ=0.01vsH?:λ≠0.01，α=0.05。答案：(1)λ?=n/Σt_i=10/1820≈0.00549；(2)對指數(shù)分布，λ?~AN(λ,λ2/n)，故區(qū)間λ?±1.96λ?/√n=0.00549±0.00340，即(0.00209,0.00889)；(3)Z=(λ??0.01)/(0.01/√10)=?4.51，|Z|>1.96，拒絕H?。20.（計算）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，參數(shù)μ_X=μ_Y=0,σ_X=σ_Y=1,ρ=0.5，(1)求P(X>0,Y>0)；(2)求條件期望E[Y|X=x]；(3)求Cov(X2,Y)。答案：(1)對稱性+象限概率：P(X>0,Y>0)=1/4+arcsinρ/(2π)=1/4+arcsin0.5/(2π)=1/4+π/6/(2π)=1/4+1/12=1/3；(2)E[Y|X=x]=ρx=0.5x；(3)Cov(X2,Y)=E[X2Y]?E[X2]E[Y]=E[X2Y]?1·0，利用條件期望：E[X2Y]=E[X2E[Y|X]]=E[X2·0.5X]=0.5E[X3]=0，故Cov=0。21.（證明）設(shè)X?,…,X_n為i.i.d.樣本，密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0，證明θ的MLE為θ?=?n/∑lnX_i，并證明θ?是相合估計。證明：(1)對數(shù)似然l(θ)=nlnθ+(θ?1)∑lnX_i，令導(dǎo)數(shù)0得θ?=?n/∑lnX_i；(2)令Y_i=?lnX_i>0，則Y_i~Exp(θ)，故∑Y_i~Gamma(n,θ)，由大數(shù)定律∑Y_i/n→E[Y?]=1/θ，因此θ?=n/∑Y_i→θ，得證。22.（證明）設(shè)X~N(μ,σ2)，證明樣本均值X?與樣本方差S2獨立。證明：利用Basu定理或Cochran定理，X?與向量(X??X?,…,X_n?X?)聯(lián)合正態(tài)且Cov(X?,X_i?X?)=0，故獨立，從而X?與S2獨立。23.（綜合）某高校欲評估在線教學(xué)效果，隨機抽取25名學(xué)生，測得期末平均分x?=78.4，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=8.2，已知歷年面授成績服從N(75,102)，(1)檢驗在線教學(xué)平均成績是否顯著提高（α=0.05）；(2)求在線教學(xué)成績方差σ2的95%置信區(qū)間；(3)若認(rèn)為方差不變，求檢驗p值并解釋。答案：(1)H?:μ=75vsH?:μ>75，t=(78.4?75)/(8.2/√25)=2.073，臨界值t_{0.05}(24)=1.711，2.073>1.711，拒絕H?，顯著提高；(2)χ2區(qū)間：(n?1)S2/χ2_{0.975}≤σ2≤(n?1)S2/χ2_{0.025}，24×8.22/39.36≤σ2≤24×8.22/12.40，即41.0≤σ2≤130.2；(3)σ=10已知，Z=(78.4?75)/(10/5)=1.7，單側(cè)p=1?Φ(1.7)=0.0446，小于0.05，同樣拒絕H?。24.（綜合）設(shè)隨機變量X的密度f(x)=λe^{?λx},x>0，Y=I(X>1)，現(xiàn)有樣本X?,…,X_n，(1)求P(Y=1)；(2)基于Y?,…,Y_n構(gòu)造λ的矩估計；(3)求該矩估計的漸近方差。答案：(1)P(Y=1)=P(X>1)=e^{?λ}；(2)令p=e^{?λ}，則λ=?lnp，樣本比例p?=∑Y_i/n，矩估計λ?=?lnp?；(3)由Delta方法，√n(λ??λ)?N(0,[g′(p)]2p(1?p))，g(p)=?lnp，g′=?1/p，故漸近方差=(1/p2)p(1?p)=(1?p)/p=e^λ?1。25.（綜合）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為Y\X?0?10?0.2?0.31?0.1?0.4(1)求Cov(X,Y)；(2)求P(Y=1|X=1)；(3)定義Z=X+Y，求Z的分布列及E[Z]。答案：(1)E[X]=0.7,E[Y]=0.5,E[XY]=0.4，Cov=0.4?0.7×0.5=0.05；(2)P(Y=1|X=1)=0.4/0.7=4/7；(3)Z取0,1,2，P(Z=0)=0.2，P(Z=1)=0.3+0.1=0.4，P(Z=2)=0.4，E[Z]=0.4+0.8=1.2。26.（綜合）設(shè)X?,…,X_n來自Lognormal(μ,σ2)，即lnX_i~N(μ,σ2)，(1)求E[X?]；(2)求Var(X?)；(3)基于樣本給出μ的MLE；(4)給出E[X?]的MLE。答案：(1)E[X]=e^{μ+σ2/2}；(2)Var(X)=e^{2μ+σ2}(e^{σ2}?1)；(3)令Y_i=lnX_i，則μ?=Y?；(4)由不變性，E[X]的MLE=exp{μ?+σ?2/2}，其中σ?2=1/n∑(Y_i?Y?)2。27.（綜合）設(shè)隨機變量T~Weibull(λ,β)，密度f(t)=λβt^{β?1}e^{?λt^β},t>0，(1)求生存函數(shù)S(t)；(2)求風(fēng)險函數(shù)h(t)；(3)設(shè)β=2，基于樣本T?,…,T_n，求λ的MLE；(4)給出λ的95%置信區(qū)間思路。答案：(1)S(t)=e^{?λt^β}；(2)h(t)=f(t)/S(t)=λβt^{β?1}；(3)對數(shù)似然l(λ)=nlnλ+∑ln(2T_i)?λ∑T_i2，令導(dǎo)數(shù)0得λ?=n/∑T_i2；(4)利用Fisher信息I(λ)=n/λ2，近似區(qū)間λ?±1.96√(1/I(λ?))=λ?±1.96λ?/√n。28.（綜合）設(shè)X~N(μ,1)，Y~N(ν,1)且獨立，各取樣本X?,…,X_m與Y?,…,Y_n，檢驗H?:μ=νvsH?:μ≠ν，(1)給出檢驗統(tǒng)計量及其分布；(2)若m=12,n=18,x?=21.5,?=20.2，求p值并判斷α=0.05下是否拒絕；(3)求μ?ν的95%置信區(qū)間。答案：(1)Z=(X???)/√(1/m+1/n)~N(0,1)underH?；(2)Z=(21.5?20.2)/√(1/12+1/18)=1.3/0.372=3.50，雙側(cè)p=2[1?Φ(3.50)]=0.00046<0.05，拒絕；(3)區(qū)間(21.5?20.2)±1.96×0.372=(0.57,2.03)。29.（綜合）設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)=1?e^{?(x/η)^γ},x>0，γ,η