上海市上海中學(xué)東校區(qū)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.33．設(shè)直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.4．設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動棱長為一個(gè)單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.5．直線過雙曲線：的右焦點(diǎn)，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，若∠OPQ＝90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.6．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.998．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.9．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或1410．已知雙曲線，其中一條漸近線與x軸的夾角為，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.11．上海世博會期間，某日13時(shí)至21時(shí)累計(jì)入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時(shí)~14時(shí)，14時(shí)~15時(shí)，…，20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中，入園人數(shù)最多的時(shí)段是（）A.13時(shí)~14時(shí) B.16時(shí)~17時(shí)C.18時(shí)~19時(shí) D.19時(shí)~20時(shí)12．已知x，y是實(shí)數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列前項(xiàng)之和為，若，則________14．圓與圓的位置關(guān)系為______(填相交，相切或相離).15．點(diǎn)到直線的距離為________.16．雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.18．（12分）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分19．（12分）已知四邊形是空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平行四邊形，且，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形的面積20．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）說明C是什么曲線，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為側(cè)棱上一點(diǎn)（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，平面與側(cè)棱于點(diǎn)，且，求四棱錐的體積22．（10分）一個(gè)長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標(biāo)記在長方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B2、C【解析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，（且）所以，，，，因?yàn)楹愠闪?，所以，則M的最小值是，故選：C3、D【解析】因?yàn)椋?，，，，故選D4、C【解析】確定正方體投影面積最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時(shí)，是投影面與平面AB'C平行，三個(gè)面的投影為兩個(gè)全等的菱形，其對角線為，即投影面上三條對角線構(gòu)成邊長為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C5、B【解析】根據(jù)漸近線的對稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因?yàn)椤螼PQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D7、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時(shí)，輸出的值為，故選：D8、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點(diǎn)處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A9、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得公差，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時(shí)，取得最大值，故選：C10、C【解析】由已知條件計(jì)算可得，即得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線，可知漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，故，即漸近線方程為.故選：C11、B【解析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時(shí)~14時(shí)，14時(shí)~15時(shí)，…，20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中，圖象變化最快的為16到17點(diǎn)之間故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時(shí)斜率最大.此時(shí)，，，所以的最大值為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.14、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.15、【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出【詳解】利用點(diǎn)到直線的距離可得：故答案為:16、2【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值即可作答.【詳解】設(shè)，則，即，于是得，而，則當(dāng)時(shí)，，所以雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為2.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點(diǎn)，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則又因?yàn)椋?，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過P的直線為聯(lián)立方程組可得，顯然設(shè)，則所以所以始終被x軸平分19、（1）；（2）【解析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合向量的共線坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)；（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算求邊長，由余弦定理求，進(jìn)而求其正弦值，再應(yīng)用三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由題設(shè)，，令，則，∴，可得，故.【小問2詳解】由（1），，，則，又，則，∴平行四邊形的面積.20、（1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，再根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，代入可得.因?yàn)?，設(shè)，，則，.因?yàn)?，所?同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出；（2）分析可知為的中點(diǎn)，平面，計(jì)算出梯形的面積，利用錐體的體積公式可求得四棱錐的體積【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，所以，，則，所以，四邊形是直角梯形，又是中點(diǎn)，所以，，所以，由平面，平面，所以，從而，正三角形中，是中點(diǎn)，，即，，所以平面