1/14專題06平面向量5大最值題型通關(guān)指南內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1、平面向量是近3年的高考命題熱點(diǎn)，常以選擇題填空題為主，?？疾閮?nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算，也會考察平面向量的最值問題．預(yù)測2026年：平面內(nèi)容可能會考一道最值中檔試題，考察平面向量的建系法求最值，以及極化恒等式的應(yīng)用，同時(shí)要注意解答題中向量的幾何翻譯。熱點(diǎn)題型：題型01平面向量中建系法求最值范圍題型02平面向量中的三角換元求最值題型03平面向量中轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離最短求向量最值問題題型04平面向量中極化恒等式求最值范圍問題題型05極化恒等式與其他知識相結(jié)合題型01平面向量中建系法求最值范圍解｜題｜策｜略①在求平面向量最值范圍問題中，看到特殊角，特殊圖行，要想到可以通過建立坐標(biāo)系來解決【精選例題】【例1】已知直角梯形中，，，且，，點(diǎn)是梯形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2】已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．-1 D．【例3】在直角梯形中，已知，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動點(diǎn)．則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【例4】已知點(diǎn)在邊長為2的正八邊形的邊上，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例5】已知是邊長為的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，則的最小值為.【例6】在邊長為1的正方形中，，為線段上的動點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．(25-26高三上·北京房山區(qū)·)已知在等腰梯形中，，是腰上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(24-25高三下·湖南長沙部分學(xué)校聯(lián)考·)已知正方形的邊長為4，點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B．0 C．12 D．3．(25-26高三上·北京匯文中學(xué)·期中)如圖是由六個(gè)邊長為1的正六邊形組成的蜂巢圖形，其中正六邊形的頂點(diǎn)稱為“晶格點(diǎn)”，若四個(gè)不同的點(diǎn)均為“晶格點(diǎn)”，兩點(diǎn)的位置如圖所示，則的最大值為，的最大值為.4．(24-25高一下·陜西西安遠(yuǎn)東第二中學(xué)·月考)直角梯形中，，，，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在邊上運(yùn)動(包含端點(diǎn))，則的取值范圍為.5．(24-25高一下·吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·月考)已知的外接圓為單位圓，且圓心為，，，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，則的最小值是.6．(24-25高三上·河北邢臺質(zhì)檢聯(lián)盟·期中)已知四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)滿足，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為．題型02平面向量中的三角換元求最值解｜題｜策｜略題目中涉及圓上一動點(diǎn)，要想到三角換元，【精選例題】【例1】已知中，，，P是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】已知的內(nèi)切圓圓心為，半徑，且滿足是內(nèi)切圓上一動點(diǎn)，則取值范圍是（

）A． B．C． D．【例3】在中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，線段過點(diǎn)，則可用，表示為；的最小值為．【例4】已知A，B，C為單位圓上任意不同的三點(diǎn)，則的取值范圍為．【例5】如圖，給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，其夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動，若，則的最大值是．【例6】已知在中，，，是線段上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】1．在矩形中，，，點(diǎn)滿足，在平面中，動點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．(24-25高一下·福建廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)·)已知扇形的半徑為1，且，點(diǎn)C在弧上運(yùn)動，若，則的取值范圍是.3．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則的最大值是4．如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為；若是圓上的動點(diǎn)，則的取值范圍是.

5．(25-26高三上·上海嘉定安亭高級中學(xué)·期中)已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量，且滿足，則的最小值為.6．(24-25高一下·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)·)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段BC（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上及其內(nèi)部的動點(diǎn)，（λ，μ為實(shí)數(shù)）則的取值范圍為．

7．(25-26高三上·湖南永州道縣敦頤高級中學(xué)·開學(xué)考)如圖，在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，動點(diǎn)在以為圓心的半徑為的圓上運(yùn)動，則的最大值為.題型03平面向量中轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離最短求向量最值問題解｜題｜策｜略題目中出現(xiàn)的最小值問題，要想到它的含義就是點(diǎn)到直線的距離【精選例題】【例1】設(shè)為兩個(gè)非零向量的夾角，且，已知對任意實(shí)數(shù)的最小值為2，則.【例2】已知中，，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【例3】在中，，若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則邊的最小長度是（

）．A． B． C． D．【例4】已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例5】已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．2.已知中，，，，，，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．3.在中，，，，對任意，有恒成立，點(diǎn)P是直線BA上，則的最小值是．

4．已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是．題型04平面向量中的極化恒等式求最值范圍ABABCM極化恒等式三角形模式在三角形中（M為的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢？（三角形模式）注意：使用極化恒等式的條件在處理的問題時(shí)，只有當(dāng)或（是的中點(diǎn)）已知（或有一定的約束條件）時(shí)，我們才考慮極化恒等式，否則需要使用常規(guī)方法來解答【精選例題】【例1】銅錢，古代銅質(zhì)輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，動點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．2 D．4【例2】在直角梯形中，，，，點(diǎn)為梯形四條邊上的一個(gè)動點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】如圖所示，正六邊形的中心與圓的圓心重合，正六邊形的邊長為4，圓的半徑為1，是圓的一條動直徑，為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的可能取值為（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【例4】在中，，，，P，Q是平面上的動點(diǎn)，，M是邊BC上的一點(diǎn)，則的最小值為．【例5】如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為.【變式訓(xùn)練】1．已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動點(diǎn)，弦所對的圓心角為，則的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．2．邢臺一中數(shù)學(xué)探索館中“圓與非圓—搬運(yùn)”的教具中出現(xiàn)的勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．23．四邊形中，M是上的點(diǎn)，，,若N是線段上的動點(diǎn)，的取值范圍是.4．(23-24高一下·河南河南名校聯(lián)考·月考)如圖，在面積為的中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，若，則的最小值是．

5．已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的最小值為.6．已知正的邊長為2，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為．題型05極化恒等式與其他知識相結(jié)合【精選例題】【例1】已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對于邊上任意一點(diǎn)，都有，則是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定【例3】已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點(diǎn)M滿足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例4】已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（

）A．[8，12] B． C． D．【例5】已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.【例6】已知球是棱長為3的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體的棱上的動點(diǎn)，則的取值范圍為．【變式訓(xùn)練】1．已知為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，以B，E為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)A，D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．(24-25高二上·吉林長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校·月考)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過的圓心且與交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(24-25高二上·江西八校協(xié)作體·)在正三棱錐中，，點(diǎn)為空間中的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過：的圓心且與交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江臺州山海協(xié)作體·期中)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過的圓心且與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．7．(24-25高二上·遼寧大連濱城高中聯(lián)盟·月考)已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.8．(25-26·難點(diǎn)2直線與圓中的最值問題處理策略（練）·期中)已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為.9．(25-26高二上·上海七寶中學(xué)浦江分?！て谥?體積為的正四面體內(nèi)有一個(gè)球，球與該正四面體的各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，，是球的表面上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)在該正四面體的表面上運(yùn)動，當(dāng)最大時(shí)，的最大值是．10．若為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是.（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(25-26高三·吉林松原吉林油田高級中學(xué)·)在菱形中，分別是邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．(25-26高二上·廣東廣州天天向上聯(lián)盟·期中)已知，是圓：上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最小值為（

）A．2 B．4 C． D．3．(25-26高三上·江蘇宿遷中學(xué)·期中)已知是圓上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．(25-26高二上·浙江寧波三鋒聯(lián)盟·期中)已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（）A． B． C． D．5．(25-26高二上·北京延慶區(qū)·期中)已知是邊長為的等邊三角形，為平面內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江六校聯(lián)盟·)已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，若，則（

）A． B．4 C． D．7．(24-25高一下·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)·月考)已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．8．(24-25高一下·重慶女子職業(yè)高級中學(xué)·月考)已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．(24-25高一下·浙江91聯(lián)盟·期中)已知與是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，，，，點(diǎn)P是平分線上的動點(diǎn).當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）.A．. B．. C．. D．.10．(24-25高一下·江蘇鹽城五校聯(lián)盟·)在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2二、多選題11．(25-26高二上·廣東中山三鑫學(xué)?！ぴ驴?設(shè)動直線交圓于兩點(diǎn)(點(diǎn)為圓心)，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn) B．當(dāng)取得最小值時(shí)，C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為 D．的最大值為12．在中，，點(diǎn)為以為圓心的單位圓上的動點(diǎn)，設(shè)的重心為，外心為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．當(dāng)為直角三角形時(shí)，D．的最大值為13．給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的劣弧上運(yùn)動，若，則的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．14．(25-26高二上·浙江七彩陽光新高考研究聯(lián)盟·期中)已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與直線：相交于點(diǎn)，點(diǎn)，均是圓：上的動點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．的最大值為D．的最大值為15．(25-26高二上·重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校·期中)已知橢圓，其左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上任意一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長為定值8B．若為中點(diǎn)，則C．最大值為3D．若，則的最大值為316．(24-25高一下·河南駐馬店·期末)已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，，，則（

）A．的最小值是B．C．的取值范圍是D．存在實(shí)數(shù)，，，，使得三、填空題17．(25-26高三上·天津海河教育園區(qū)南開學(xué)校·期中)如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，且，則：若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則的取值范圍為．

18．(25-26高三上·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)·期中)已知平面向量，滿足，且對任意實(shí)數(shù)都成立，則的值為.19．(24-25高一下·天津第九十五中學(xué)·月考)在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，，則，F(xiàn)為線段BE上的動點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則的最小值為.20．已知圓和定點(diǎn)，若點(diǎn)P、Q分別為圓O外和圓O上兩點(diǎn)，且滿足，，則的最小值為．

專題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用目錄第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿第二部分題型歸納梳理題型，突破重難題型01導(dǎo)數(shù)的幾何意義題型02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型03求函數(shù)的極值題型04求函數(shù)的最值題型05利用單調(diào)性求參題型06利用單調(diào)性比較大小題型07利用函數(shù)的極值求參題型08利用函數(shù)的最值求參題型09導(dǎo)數(shù)中的創(chuàng)新問題第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分A組·基礎(chǔ)保分練B組·重難提升練1．（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】求導(dǎo)得，由直線與切線垂直可得，解方程得正實(shí)數(shù)的值即可.【詳解】，則，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，整理得，解得或，故正實(shí)數(shù)的值為.故選：D.2．（導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求，解不等式求單調(diào)區(qū)間.【詳解】定義域?yàn)椋?，所以，解得，所以，，由解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.3．（求函數(shù)的極值數(shù)）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定極值點(diǎn)求出，進(jìn)而求出極小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，得，解得，函數(shù)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的極小值.故選：A4．（求函數(shù)的最值）函數(shù)，的最大值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】求導(dǎo)得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)一步即可求得最大值.【詳解】由題意，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)，的最大值為.故選：B.5．（利用單調(diào)性求參數(shù)范圍）已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立即可求解．【詳解】，若在上單調(diào)遞增，則在恒成立，即，令，其對稱軸為，所以的最大值為，故只需．即．故選：D．6．（利用極值求參數(shù)范圍）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)求出范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得函數(shù)在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，而當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D7．（利用最值求參數(shù)的范圍）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于，則正數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得，然后分類討論利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，的最小值為，不符題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，解得.故選：A.8．（利用單調(diào)性比較大小）已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，，因?故選：C.9．（導(dǎo)數(shù)中的創(chuàng)新問題）定義在區(qū)間上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，若，使得，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”.給出下列函數(shù)：①；②；③；④，在區(qū)間上至少存在兩個(gè)“中值點(diǎn)”的函數(shù)是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【答案】A【分析】由題意函數(shù)在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得函數(shù)在此處的切線的斜率等于兩點(diǎn)所在直線的斜率，然后每個(gè)序號求導(dǎo)，分別代入求中值點(diǎn)即可判斷．【詳解】由題意知，即存在一點(diǎn)，使得此點(diǎn)處的切線斜率等于點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，即方程解的個(gè)數(shù)就是中值點(diǎn)個(gè)數(shù).①由得，而，顯然成立，故有無數(shù)個(gè)“中值點(diǎn)”，符合題意．②由得，而，故有且僅有一個(gè)“中值點(diǎn)”，不符合題意．③由得，而，故有且僅有一個(gè)“中值點(diǎn)”，不符合題意．④由得，而，故有兩個(gè)“中值點(diǎn)”，符合題意．故選：A.題型01導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．已知直線與函數(shù)的圖象相切，則實(shí)數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．-5【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)來求出斜率，通過切線斜率來求切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入切線方程，即可求參數(shù)值.【詳解】由切線斜率，則，解得：或(舍去)，因?yàn)椋郧悬c(diǎn)坐標(biāo)為，代入切線方程得：，故選：A.2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程．【詳解】因?yàn)椋?，故，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故選：A.3．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合切線方程求出結(jié)果即可.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，所以有，解得.所以.故選：A.4．若直線與曲線相切，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）和切點(diǎn)同時(shí)在直線與曲線上列方程求解即可．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，曲線在切點(diǎn)處的斜率為，直線在切點(diǎn)處的斜率為1，切點(diǎn)處兩者斜率相等，所以，得，即切點(diǎn)橫坐標(biāo)，又因?yàn)榍悬c(diǎn)同時(shí)在直線與曲線上，縱坐標(biāo)相等，所以，也即．故選：D．題型02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間.【詳解】因?yàn)椋?則，由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增.故選：B6．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)小于零求解．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.7．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，解不等式，即可得出函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?，可得，故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.題型03求函數(shù)的極值8．函數(shù)的極小值為（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極小值.【詳解】由，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為.故選：B．9．已知函數(shù)，則在上的極值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在上的極值為，故選：A10．函數(shù)在上的極值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以極大值為，故選：A11．已知，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極大值為（

）A． B．e C．0 D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出參數(shù)，得出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式并分析單調(diào)性，即可求出極大值.【詳解】由題意，，在中，，，即，解得，∴，，當(dāng)時(shí)，解得或當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)即，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取極大值，為，故選：B.題型04求函數(shù)的最值12．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值分別是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，即可求出單調(diào)區(qū)間，從而求出極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最值.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得．又?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，．故選：B13．若函數(shù)的最小值為1，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．27【答案】D【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得答案.【詳解】令，因?yàn)椋?；，，僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，由可得，則函數(shù)最大值為，且時(shí)取到最大值；故選：D14．函數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性后可得函數(shù)的最小值.【詳解】，設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而，，故當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故選：C.15．函數(shù)在上的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性即可求解.【詳解】，令，則，因?yàn)樵?，在，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以最小值?故選：A.05利用單調(diào)性求參16．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得對于恒成立，可得對于恒成立，進(jìn)而求解即可.【詳解】由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以對于恒成立，即對于恒成立，而，則，即，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D.17．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，恒成立.從而得到，恒成立，再根據(jù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)?，函?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，恒成立.所以，恒成立.設(shè)，，因?yàn)閷ΨQ軸為，所以在為增函數(shù)，所以，所以.故選：C18．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，利用，經(jīng)等價(jià)轉(zhuǎn)化，得到在區(qū)間上能成立，故只需先求即得.【詳解】依題意，在區(qū)間上能成立，即在區(qū)間上能成立，設(shè)，則，故只需求在上的最小值，而在時(shí)，取得最小值，故得.故選：B.19．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求解.【詳解】，由條件知當(dāng)時(shí)，，即，令，是減函數(shù)，；故選：D.題型06利用單調(diào)性比較大小20．已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合三角函數(shù)知識，即可得到與的大小關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可推導(dǎo)出與的大小關(guān)系，進(jìn)一步比較即可.【詳解】由三角函數(shù)線知識可知，當(dāng)時(shí)，，故.令，則故在上單調(diào)遞減，則.故，即，故.綜上，.故選：A.21．已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，，因?故選：C.22．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)為奇函數(shù)，得出為偶函數(shù)，再結(jié)合題干得的單調(diào)性，即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，設(shè)函數(shù)，則，所以是偶函數(shù).因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減.若，

，，又因?yàn)?，所?故選：B.23．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作差法比較大小，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增比較大小即可.【詳解】由于，故，所以，即，故，排除AB；令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，故，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，．故選：C題型07利用函數(shù)的極值求參24．已知函數(shù)沒有極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，由函數(shù)沒有極值，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)沒有極值，可得，即，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.25．函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由有極值，得有變號零點(diǎn)，即有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列出不等式求解即可．【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)橛袠O值，所以函數(shù)有變號零點(diǎn)，即有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，故選：B．26．若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)可得，再根據(jù)在區(qū)間上有兩個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理與判別式列式求解即可.【詳解】由題意，又函數(shù)既有極大值也有極小值，故方程有兩個(gè)不相等的正根，故，則，排除ACD.因?yàn)?，故異號，?故選：B27．函數(shù)在R上存在極大值的充分條件是：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，利用判別式求出的范圍，然后由包含關(guān)系可得.【詳解】要使在R上存在極大值，只需有兩個(gè)異號零點(diǎn)，所以，即，記集合，則在R上存在極大值的充分條件是的子集.故選：A題題型08利用函數(shù)的最值求參28．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故，解得，故選：C29．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的極值點(diǎn)，要使函數(shù)在區(qū)內(nèi)存在最小值，只需極小值點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，且在端點(diǎn)處的函數(shù)值不能超過極小值．【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在內(nèi)存在最小值，則，得．故選：C30．函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，作出簡圖，數(shù)形結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，，故的圖象如圖：函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則由圖可知，即的取值范圍是.故選：D.31．若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.題型09導(dǎo)數(shù)中的創(chuàng)新問題32．（24-25高二下·湖北武漢·期中）我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)，，的“躺平點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)定義分別求得和，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)的取值范圍即可求解．【詳解】，則，即，，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即；，則，即，綜上所述，，故選：A．33．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函數(shù)的定義域?yàn)椋掖嬖?，使得，則稱是的一個(gè)“二倍階值點(diǎn)”．下列四個(gè)函數(shù)中，不存在“二倍階值點(diǎn)”的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，得到關(guān)于的方程，根據(jù)“二倍階值點(diǎn)”的定義，探究方程的解是否存在，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】對于A，，，由，得，解得，所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”；對于B，，，由，得，因?yàn)?，，解得，所以函?shù)存在“二倍階值點(diǎn)”；對于C，，，由，得，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，且，所以無解，所以函數(shù)不存在“二倍階值點(diǎn)”；對于D，，，由，得，令，，所以在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在上存在零點(diǎn)，所以方程有解，所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”.故選：C.34．（24-25高二下·廣東東莞·月考）定義滿足方程的解叫做函數(shù)的“自足點(diǎn)”，則下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，則存在“自足點(diǎn)”的函數(shù)共有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷每個(gè)選項(xiàng)中方程是否有解，由此可得合適的選項(xiàng).【詳解】對于①，則，由，即，，所以無實(shí)數(shù)根，因此不存在“自足點(diǎn)”，故①錯(cuò)誤；對于②，，則，由，可得，其中，令，顯然在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在上存在零點(diǎn)，即函數(shù)存在“自足點(diǎn)”，故②正確；對于③，則，其中，因?yàn)?，故函?shù)存在“自足點(diǎn)”，故③正確；對于④，則，由，可得，因?yàn)椋?，所以，所以方程無實(shí)解，故④錯(cuò)誤.故存在“自足點(diǎn)”的函數(shù)共有個(gè).故選：B1．若函數(shù)的圖象在處的切線過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出在處的切線方程，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，又，所以在處的切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得，故選：A.2．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間恒成立，分離參數(shù)后結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得故.故選：D.3．若函數(shù)的極小值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合極值的定義求解.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)均在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，結(jié)合有極值，故必然有零點(diǎn)，且有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，則，即，有，當(dāng)在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，故，則，解得，綜上可得，故選：C4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得在上恒成立，再次轉(zhuǎn)化為在上恒成立，從而可求出的取值范圍.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，即的取值范圍為.故選：C5．函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0構(gòu)建不等式，其解集為單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由，得，其中，，令，即，解得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是.故選：D6．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，且，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)解不等式.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞增，又，所以的解集為，即的解集為，故選：D.7．若函數(shù)有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)變號零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同正根，利用判別式求解即可.【詳解】由題可知：，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，所以有兩個(gè)變號零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同正根，因?yàn)?所以方程化為有兩個(gè)不同正根，所以且,可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8．函數(shù)在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值，再求出函數(shù)在的端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較大小，可求得最大值，進(jìn)而得出函數(shù)的值域.【詳解】由求導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，所以函數(shù)在上的最大值為，因此函數(shù)在上的值域是.故選：C9．已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的最小值為．【答案】【分析】先把題中條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒成立，分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得答案；【詳解】由題知在恒成立．當(dāng)時(shí)，由于爆炸性增長，所以無論b取任何值，總存在，使得當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，上式成立，當(dāng)時(shí)，即，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，故的最小值為．故答案為：.10．設(shè)，若函數(shù)有小于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)，列不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，在恒成立，函數(shù)沒有小于0的極值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故是的唯一極值點(diǎn)，符合題意.11．曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程，并求解出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后再根據(jù)面積公式進(jìn)