1/2專題13數(shù)列的綜合大題（含知識(shí)融合）目錄第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿第二部分題型歸納梳理題型，突破重難題型01數(shù)列不等式的證明題型02不等式放縮題型03數(shù)列最值題型04參數(shù)求解題型05與三角函數(shù)綜合題型06與概率綜合題型07與導(dǎo)數(shù)綜合題型08與解析綜合題型09數(shù)列新定義第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分A組·基礎(chǔ)保分練B組·重難提升練1．（數(shù)列不等式）（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的的值.2．（數(shù)列不等式的證明）（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）記和分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知為等差數(shù)列，，且.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)證明：.3．（數(shù)列最值）（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，若，求的最大值．4．（參數(shù)求解）（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（參數(shù)求解）（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（參數(shù)求解）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足，不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.7．（與概率綜合）（2025·浙江溫州·一模）每天鍛煉一小時(shí)，幸福生活一輩子.小明每天都會(huì)在游泳和跑步中選擇一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行鍛煉.如果當(dāng)天選擇游泳，則第二天選擇游泳的概率為；如果當(dāng)天選擇跑步，則第二天選擇游泳的概率為.已知小明第一天選擇游泳，記小明第n天選擇游泳的概率為.(1)求，；(2)求的表達(dá)式.8．（與概率綜合）（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）在足球訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練．每次傳球按以下規(guī)則轉(zhuǎn)移：當(dāng)球在甲腳下時(shí)，他有的概率繼續(xù)控球（不傳給別人），的概率傳給乙；當(dāng)球在乙腳下時(shí)，他有的概率回傳給甲，的概率傳給丙；當(dāng)球在丙腳下時(shí)，他有的概率傳給甲，的概率傳給乙．初始時(shí)球在甲處，每次傳球是相互獨(dú)立的．(1)求兩次傳球后球在乙處的概率，以及三次傳球后球在丙處的概率；(2)記次傳球后，球在甲處的概率為，在乙處的概率為．（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求和的通項(xiàng)公式．9．（與概率綜合）（2025·山西臨汾·二模）乒乓球體育俱樂部計(jì)劃進(jìn)行單打比賽，采用單淘汰制進(jìn)行比賽，即每名選手負(fù)一次即被淘汰出局.現(xiàn)有8名乒乓球單打運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)編號(hào)到對(duì)陣位置，所有運(yùn)動(dòng)員在任何一場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為.現(xiàn)有甲?乙兩位孿生兄弟參賽.(1)求甲?乙在第一輪比賽過程中相遇的概率；(2)求甲?乙在比賽過程中相遇的概率；(3)為使得甲?乙兩人在比賽過程中相遇的概率小于0.01，俱樂部計(jì)劃增加運(yùn)動(dòng)員人數(shù)到名，對(duì)陣圖和上圖類似.（i）求甲、乙兩人在第3輪比賽中相遇的概率（用含的式子表示）；（ii）求的最小值.10．（與導(dǎo)數(shù)綜合）（25-26高三上·河南·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍；(3)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．11．（與導(dǎo)數(shù)綜合）（2025·四川遂寧·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的積為，求證：.12．（與解析綜合）（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于y軸對(duì)稱，再過作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于y軸對(duì)稱，以此類推一直作下去，設(shè)．(1)求t的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；(3)求的面積．13．（與解析綜合）（2025·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的離心率．(2)設(shè)，分別為的左、右頂點(diǎn)，，為上異于，的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率恒為直線的斜率的5倍．①當(dāng)?shù)闹荡_定時(shí)，證明：直線過軸上的定點(diǎn)；②按下面方法構(gòu)造數(shù)列：當(dāng)時(shí)，直線過的定點(diǎn)為，且，證明：14．（數(shù)列新定義）（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作為刪除數(shù)列中除以余數(shù)為的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原先后順序不變得到新數(shù)列.若，，進(jìn)行操作后剩余項(xiàng)組成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.01數(shù)列不等式的證明15．（2025·吉林長(zhǎng)春·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．16．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．17．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．19．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，記的零點(diǎn)為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)；(3)證明：.20．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，對(duì)于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．21．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（ⅱ）若，數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有．02不等式放縮22．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記的前項(xiàng)和為，證明：.23．如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.24．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)證明：．03數(shù)列最值25．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求使取得最大值時(shí)的的值.26．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和，(3)求的最大值和最小值．27．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；(2)當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；(3)當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.28．（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求證：；(3)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.04參數(shù)求解29．（2025·山東濟(jì)南·三模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．30．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且依次成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于任意，求實(shí)數(shù)的取值范圍.31．（2025·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)證明：是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)若，求的取值范圍．32．（2025·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．33．（2025·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．34．（2025·河南鄭州·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．05與三角函數(shù)綜合35．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.36．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，且的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將所有的正零點(diǎn)按從小到大順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.37．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，函數(shù)，的所有大于0的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．(1)寫出的前6項(xiàng)；(2)記的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．38．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）若存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得，則稱函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”.(1)已知函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，求；(2)證明:函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”;(3)證明:.39．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）記.(1)判斷并證明的奇偶性；(2)將的最小值記為，（i）求數(shù)列，（ii）若恒成立，求的最小整數(shù)值.06與概率綜合40．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三人進(jìn)行玩具傳遞游戲，每次拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳遞方式，當(dāng)玩具在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，甲將玩具傳給乙；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于4，甲保留玩具；當(dāng)玩具在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，乙將玩具傳給甲；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，乙傳給丙；當(dāng)玩具在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于2，丙將玩具傳給甲；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于2，丙傳給乙.初始時(shí)，玩具在甲手中.(1)設(shè)前三次拋擲骰子后，玩具在甲手中的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)拋擲次骰子后，玩具在乙手中的概率為，求的通項(xiàng)公式；(3)求證：.012341．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）馬路上有盞連續(xù)排列的燈，每盞燈亮的概率均為，記存在至少連續(xù)盞燈亮的概率為，已知．(1)寫出；(2)設(shè)為連續(xù)亮的燈數(shù)最大值，求時(shí)的期望；(3)求的值．42．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）近年來，全球數(shù)字化進(jìn)程持續(xù)加速，人工智能（ArtificialIntelligence，簡(jiǎn)稱AI）已然成為科技變革的核心驅(qū)動(dòng)力，有媒體稱DeepSeek開啟了我國(guó)AI新紀(jì)元，某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)合作組織學(xué)生參加與AI知識(shí)有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動(dòng)，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，作比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在全體學(xué)生中抽取100人，設(shè)事件A=“學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)”，B=“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)(1)根據(jù)已知條件，完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？性別男生女生合計(jì)報(bào)名參加答題活動(dòng)未報(bào)名參加答題活動(dòng)合計(jì)100(2)網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：答題活動(dòng)不限時(shí)間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定；每輪均設(shè)置道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對(duì)一題，則其本輪答題結(jié)束，答錯(cuò)則繼續(xù)答題，直到第道題答完，本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)報(bào)名參加答題活動(dòng)，假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對(duì)的概率均為①求甲在一輪答題過程中答題數(shù)量的數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)甲同學(xué)每輪答題對(duì)前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分．記甲答題累計(jì)得分為的概率為，求的最大值．參考公式與數(shù)據(jù)：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82843．（2025·福建廈門·三模）在一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個(gè)小球，將它們分別編號(hào)為．每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄編號(hào)后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．記總的摸球次數(shù)為，其期望為．(1)求與；(2)求；(3)證明：．附：①若隨機(jī)變量的可能取值為，則②若隨機(jī)變量，則．44．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）在高三年級(jí)排球聯(lián)賽中，兩支隊(duì)進(jìn)入到了比賽決勝局．該局比賽規(guī)則如下：上一球得分的隊(duì)發(fā)球，贏球方獲得1分，直到有一方得分達(dá)到或超過15分，且此時(shí)分?jǐn)?shù)超過對(duì)方2分時(shí)，該隊(duì)獲得決勝局的勝利．假定該局比分已經(jīng)達(dá)到了，此后每球比賽記為第球，隊(duì)在第球比賽中得分的概率為，且；從第2球起，若隊(duì)發(fā)球，則此球隊(duì)得分的概率為，若隊(duì)發(fā)球，則此球隊(duì)得分的概率為．(1)若，求隊(duì)以的比分贏得比賽的概率；(2)若，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，若，有，求的取值范圍．07與導(dǎo)數(shù)綜合45．（2025·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且.(1)求;(2)已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意的，均有；(3)證明：對(duì)任意的，均有.46．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最小值為0(1)求實(shí)數(shù)的值：(2)對(duì)任意的，數(shù)列滿足，且，證明：當(dāng)大于1時(shí)，也大于1：(3)在（2）的條件下，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：47．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意，恒有.（i）求的取值范圍;（ii）證明:對(duì)任意的正整數(shù)，.48．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)當(dāng)時(shí)，分別求的值，并猜想此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式（直接寫結(jié)論）；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，求的最大值.49．（2025·安徽·一模）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：；(2)若函數(shù)，請(qǐng)判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；(3)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.50．（2025·天津紅橋·二模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)證明:恒成立；(3)證明:51．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，記，若滿足，則稱是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，其中，例如．(1)判斷函數(shù)是否為上的“可控函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，且的最大值為．（i）求函數(shù)的解析式；（ii）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和．求證：．08與解析綜合52．（2025·陜西渭南·一模）已知雙曲線．點(diǎn)在上．按如下方式構(gòu)造點(diǎn)．過點(diǎn)作斜率為的直線與的下支交于點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．記點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求的值：(2)記．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)記的面積為．證明：是定值．53．（24-25高三上·山東威?！て谀┮阎獟佄锞€，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過且斜率為的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.記的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：為定值.54．（2025·江西贛州·二模）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，M的軌跡為C．點(diǎn)在C上，過作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱，過作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱，……，以此類推，設(shè)．(1)求C的方程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：；(3)求的面積．55．（2025·安徽·三模）記拋物線的焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作斜率為1的直線l，l與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，直線與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，以此類推，記直線的斜率為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)證明：是遞減數(shù)列；(3)記的面積為，證明：．56．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率.(1)若橢圓過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線均過點(diǎn)且互相垂直，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.57．（2025·四川·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交雙曲線于、兩點(diǎn)，交雙曲線于、兩點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，直線過定點(diǎn)；再過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交雙曲線于、兩點(diǎn)，交雙曲線于、兩點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，以這樣的方式構(gòu)造下去，可以得到一列定點(diǎn)、、、、．(1)求雙曲線的方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若、，記的面積為，證明：．58．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，（，），當(dāng)變化時(shí)得到一系列的橢圓，我們把它稱為“2~1橢圓群”.

(1)若“2~1橢圓群”中的兩個(gè)橢圓、，對(duì)應(yīng)的分別為、（），如圖所示，若直線能與橢圓、依次交于，，，四點(diǎn)，證明：；(2)當(dāng)（）時(shí)，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為，設(shè).（i）求證：為等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；（ii）令數(shù)列，求證.09數(shù)列新定義59．（2025·河南·二模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過的最大整數(shù)，如，，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.60．（2025·貴州·二模）對(duì)于數(shù)列，記區(qū)間內(nèi)偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，則稱數(shù)列為的偶數(shù)列．(1)若數(shù)列為數(shù)列的偶數(shù)列，求．(2)若數(shù)列為數(shù)列的偶數(shù)列，證明：數(shù)列為等比數(shù)列．(3)在（2）的前提下，若數(shù)列為等差數(shù)列的偶數(shù)列，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．61．（24-25高三下·甘肅白銀·月考）定義“窄度數(shù)列”：若一個(gè)數(shù)列中任意兩項(xiàng)的差均小于，則稱該數(shù)列為“窄度數(shù)列”.(1)試問數(shù)列是否為“1000窄度數(shù)列”？（無需說明理由）(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列為“1窄度數(shù)列”.(3)若數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明為“窄度數(shù)列”.62．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(1)寫出數(shù)列的前6項(xiàng)；(2)試判斷與是否為數(shù)列中的項(xiàng)，并說明理由；(3)證明：數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)有無數(shù)多個(gè).63．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻甍多、芻童垛等的公式．我們把公差不為0的等差數(shù)列稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列是“一階等差數(shù)列”，則稱數(shù)列是“二階等差數(shù)列”．定義：若數(shù)列是“階等差數(shù)列”，則稱原數(shù)列為“階等差數(shù)列”．例如：數(shù)列，它的后項(xiàng)與前項(xiàng)之差組成新數(shù)列，新數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．(1)若數(shù)列滿足，，且，求證：數(shù)列為二階等差數(shù)列；(2)若三階等差數(shù)列的前項(xiàng)依次為，求的前項(xiàng)和；64．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有限正整數(shù)數(shù)列，若存在連續(xù)子列和符號(hào)序列，，使得，其中，則稱數(shù)列存在平衡連續(xù)子列．(1)寫出數(shù)列2，1，2，3的一個(gè)平衡連續(xù)子列；(2)設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，定義函數(shù)為滿足的非負(fù)整數(shù)，其中為奇數(shù)，令．證明：數(shù)列不存在平衡連續(xù)子列；(3)設(shè)數(shù)列的每一項(xiàng)均為不大于的正整數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，存在平衡連續(xù)子列．65．（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”.(1)若，，判斷數(shù)列，是否為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”？(2)若等差數(shù)列為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，且，求的公差的取值范圍；(3)若數(shù)列為共4項(xiàng)的“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，滿足，求所有滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù).1．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，，．(1)直接寫出的值；(2)求的通項(xiàng)；(3)求證：．2．（2025·浙江嘉興·一模）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的最小值.3．（2025·貴州黔南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：．4．（2025·四川攀枝花·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，求數(shù)列的最大項(xiàng)．5．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中．(1)寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．6．（2025·安徽合肥·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2025·寧夏吳忠·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，證明：．(3)記（），證明：．8．（2025·湖南·一模）張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項(xiàng)堅(jiān)持晨跑的計(jì)劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開始晨跑，若第天晨跑，則他第天晨跑的概率為，且他不能連續(xù)兩天沒有晨跑．設(shè)他第天晨跑的概率為．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若都是離散型隨機(jī)變量，則，記張明前天晨跑的天數(shù)為，求．9．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)嚴(yán)格遞增的無窮正整數(shù)數(shù)列，如果對(duì)每個(gè)正整數(shù)，這個(gè)數(shù)列前項(xiàng)的平均數(shù)為，則稱這個(gè)數(shù)列是“中立的”.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(1)證明：數(shù)列是“中立的”；(2)證明：對(duì)于任意一個(gè)“中立的”數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)，均有；(3)證明：對(duì)于任意一個(gè)“中立的”數(shù)列，均存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使得.10．（2025·廣西河池·三模）現(xiàn)有編號(hào)為1，2，3，?，（，）的名同學(xué)進(jìn)行闖關(guān)游戲，闖關(guān)游戲有兩種方式可以選擇，游戲規(guī)則如下.方式一：①該游戲共設(shè)置第一關(guān)與第二關(guān)，首先由編號(hào)為1的同學(xué)闖第一關(guān)；②若編號(hào)為的同學(xué)第一關(guān)闖關(guān)成功，則該同學(xué)繼續(xù)闖第二關(guān)，若編號(hào)為的同學(xué)第一關(guān)闖關(guān)未成功，則由編號(hào)為的同學(xué)接替闖第一關(guān)；③若編號(hào)為的同學(xué)第二關(guān)闖關(guān)成功，則闖關(guān)游戲結(jié)束，若編號(hào)為的同學(xué)第二關(guān)闖關(guān)未成功，則由編號(hào)為的同學(xué)接替闖第二關(guān)；④若闖關(guān)輪到編號(hào)為的同學(xué)，無論編號(hào)為的同學(xué)闖關(guān)成功與否，闖關(guān)游戲均結(jié)束.方式二：①該游戲共設(shè)置第一關(guān)與第二關(guān)，首先由編號(hào)為1的同學(xué)闖第一關(guān)；②若編號(hào)為的同學(xué)第一關(guān)闖關(guān)成功，則該同學(xué)繼續(xù)闖第二關(guān)，若編號(hào)為的同學(xué)第一關(guān)闖關(guān)未成功，則由編號(hào)為的同學(xué)接替闖第一關(guān)；③若編號(hào)為的同學(xué)第二關(guān)闖關(guān)成功，則闖關(guān)游戲結(jié)束，若編號(hào)為的同學(xué)第二關(guān)闖關(guān)未成功，則由編號(hào)為的同學(xué)接替闖關(guān)且從第一關(guān)重新開始闖關(guān)；④若闖關(guān)輪到編號(hào)為的同學(xué)，無論編號(hào)為的同學(xué)闖關(guān)成功與否，闖關(guān)游戲均結(jié)束.假設(shè)每位同學(xué)闖第一關(guān)成功的概率均為，闖第二關(guān)成功的概率均為，且每位同學(xué)闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.(1)若均選擇方式一闖關(guān)，當(dāng)闖關(guān)游戲結(jié)束時(shí)，求闖關(guān)人數(shù)不超過2的概率.(2)設(shè)事件表示“所有同學(xué)均按方式一闖關(guān)，恰好由編號(hào)為3的同學(xué)闖關(guān)后闖關(guān)游戲結(jié)束”，設(shè)事件表示“所有同學(xué)均按方式二闖關(guān)，恰好由編號(hào)為3的同學(xué)闖關(guān)后闖關(guān)游戲結(jié)束”，分別求出事件和事件的概率，比較所求概率的大小，并判斷應(yīng)選擇哪種方式闖關(guān)更合理.(3)若均選擇方式二闖關(guān)，記闖關(guān)游戲結(jié)束時(shí)闖關(guān)的總?cè)藬?shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.

專題13數(shù)列的綜合大題（含知識(shí)融合）目錄第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿第二部分題型歸納梳理題型，突破重難題型01數(shù)列不等式的證明題型02不等式放縮題型03數(shù)列最值題型04參數(shù)求解題型05與三角函數(shù)綜合題型06與概率綜合題型07與導(dǎo)數(shù)綜合題型08與解析綜合題型09數(shù)列新定義第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分A組·基礎(chǔ)保分練B組·重難提升練1．（數(shù)列不等式）（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的的值.【答案】(1)(2)1，2【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出方程求公差和首項(xiàng)即可得解；（2）由等差數(shù)列的求和公式、通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)不等式求解即可．【詳解】（1）依題意，，解得，故數(shù)列的公差，則；（2），故，即，即，解得，因?yàn)椋允沟貌坏仁匠闪⒌牡闹禐?，2．2．（數(shù)列不等式的證明）（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）記和分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知為等差數(shù)列，，且.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知得且得，求出公差，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求，即可證.【詳解】（1）由題設(shè)，又，則，所以，又，又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，所以是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故.（2）由（1）得，則，所以，作差得，所以.3．（數(shù)列最值）（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，若，求的最大值．【答案】(1)(2)最大值為5．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式寫出表達(dá)式，再結(jié)合這個(gè)條件，代入與表達(dá)式，通過等式計(jì)算求出首項(xiàng)，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式.也可令，利用和公差求出.（2）先由第一問得到的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出.再結(jié)合列出不等式，將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求解不等式得到的取值范圍，最后根據(jù)取值范圍確定的最大值.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，由可得，解得，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，由得，即，解得，由于，所以，所以的最大值為5．4．（參數(shù)求解）（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后需要檢驗(yàn)時(shí)的情況是否滿足時(shí)的通項(xiàng)公式．（2）已知條件得到關(guān)于的不等式，通過構(gòu)造數(shù)列，求出數(shù)列的最小值，進(jìn)而確定的取值范圍．【詳解】（1），則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以．（2）因?yàn)椋?，所以，．令，則，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)的第n項(xiàng)的值最小，只需令，解得，又，所以的最小值為，所以，即的取值范圍是．5．（參數(shù)求解）（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，代入計(jì)算，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果；（2）分為奇數(shù)與偶數(shù)討論，由等差數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）令，可得，故，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，所以，當(dāng)為偶時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以，綜上可得的取值范圍.6．（參數(shù)求解）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足，不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為：.(3)的取值范圍為：.【分析】（1）利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系來求解；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果求出，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）先根據(jù)已知條件求出，再區(qū)分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論不等式恒成立時(shí)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則,,則.當(dāng)時(shí)，也滿足.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）已知，由（1）可知，則，；所以.所以.故數(shù)列的前n項(xiàng)和為：.（3）已知，由（1）可知，則①.當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，②.①②相減得：，所以.當(dāng)時(shí)，也滿足.那么不等式可化為.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若恒成立，即恒成立：因?yàn)樵趎為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取最小值，，所以時(shí)，不等式恒成立.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若恒成立，即恒成立：因?yàn)樵趎為奇數(shù)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取最大值，所以時(shí)，不等式恒成立.故的取值范圍為：.7．（與概率綜合）（2025·浙江溫州·一模）每天鍛煉一小時(shí)，幸福生活一輩子.小明每天都會(huì)在游泳和跑步中選擇一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行鍛煉.如果當(dāng)天選擇游泳，則第二天選擇游泳的概率為；如果當(dāng)天選擇跑步，則第二天選擇游泳的概率為.已知小明第一天選擇游泳，記小明第n天選擇游泳的概率為.(1)求，；(2)求的表達(dá)式.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式依次求出.（2）根據(jù)給定條件，利用全概率公式及等比數(shù)列的定義求出的表達(dá)式.【詳解】（1）設(shè)“第天選擇游泳”，則“第天選擇跑步”，依題意，，，，由全概率公式，得；.（2）由（1）得，，，，由全概率公式，得，則，而，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以的表達(dá)式為.8．（與概率綜合）（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）在足球訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練．每次傳球按以下規(guī)則轉(zhuǎn)移：當(dāng)球在甲腳下時(shí)，他有的概率繼續(xù)控球（不傳給別人），的概率傳給乙；當(dāng)球在乙腳下時(shí)，他有的概率回傳給甲，的概率傳給丙；當(dāng)球在丙腳下時(shí)，他有的概率傳給甲，的概率傳給乙．初始時(shí)球在甲處，每次傳球是相互獨(dú)立的．(1)求兩次傳球后球在乙處的概率，以及三次傳球后球在丙處的概率；(2)記次傳球后，球在甲處的概率為，在乙處的概率為．（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求和的通項(xiàng)公式．【答案】(1);(2)（i）證明見解析；（ii）；【分析】（1）兩次傳球后球在乙處：思路：找兩次傳球到乙的唯一情況“甲→甲→乙”，每次傳球有對(duì)應(yīng)概率，分步完成用乘法算總概率.三次傳球后球在丙處：思路：確定三次傳球到丙的唯一情況“甲→甲→乙→丙”，各次傳球概率已知，分步用乘法得總概率.（2）（i）先明確次傳遞后球在各處概率關(guān)系，根據(jù)傳球規(guī)則得出次傳遞后球在甲、乙處概率表達(dá)式，化簡(jiǎn)后對(duì)乙處概率表達(dá)式變形，結(jié)合初始值證明是等比數(shù)列.（ii）用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再代入表達(dá)式得，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足后確定通項(xiàng).【詳解】（1）兩次傳球后球在乙處：只有“甲→甲→乙”這一種情況.第一次甲傳給甲概率是，第二次甲傳給乙概率是，分步用乘法，所以概率為.三次傳球后球在丙處：只有“甲→甲→乙→丙”這一種情況.第一次甲傳給甲概率，第二次甲傳給乙概率，第三次乙傳給丙概率，分步用乘法，概率為.（2）（i）表示次傳球后球在乙處的概率，它有兩種情況：第次球在甲處，第次甲傳給乙，概率為；第次球在丙處，第次丙傳給乙，概率為.所以.則.又，.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（ii）由（i）可知，所以.因?yàn)?，則，所以，符合上式，所以.9．（與概率綜合）（2025·山西臨汾·二模）乒乓球體育俱樂部計(jì)劃進(jìn)行單打比賽，采用單淘汰制進(jìn)行比賽，即每名選手負(fù)一次即被淘汰出局.現(xiàn)有8名乒乓球單打運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)編號(hào)到對(duì)陣位置，所有運(yùn)動(dòng)員在任何一場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為.現(xiàn)有甲?乙兩位孿生兄弟參賽.(1)求甲?乙在第一輪比賽過程中相遇的概率；(2)求甲?乙在比賽過程中相遇的概率；(3)為使得甲?乙兩人在比賽過程中相遇的概率小于0.01，俱樂部計(jì)劃增加運(yùn)動(dòng)員人數(shù)到名，對(duì)陣圖和上圖類似.（i）求甲、乙兩人在第3輪比賽中相遇的概率（用含的式子表示）；（ii）求的最小值.【答案】(1)(2)(3)（i）（ii）8【分析】（1）先設(shè)甲的位置固定，進(jìn)而分析求解即可；（2）甲乙相遇包括三種情況：甲乙第一輪相遇，甲乙第二輪相遇，甲乙第三輪相遇，進(jìn)而求解即可；（3）（i）當(dāng)人數(shù)增加到，則固定甲的位置后，乙有個(gè)選擇，進(jìn)而分析求解即可；（ii）解法一：記比寒的輪次為本件，甲乙在比賽過程中相遇的本件為，先求出，可得甲乙相遇的概率為，再列不等式求解即可；解法二：設(shè)名選手參賽，甲乙相遇的概率為，易得，進(jìn)而分乙和甲在同一區(qū)，乙和甲不在同一區(qū)，兩種情形分析求解即可.【詳解】（1）設(shè)甲的位置固定，若乙要與甲在第一輪相遇只能在同一組，所以甲乙在第一輪相遇的概率.（2）由題可知甲乙相遇包括三種情況：甲乙第一輪相遇，甲乙第二輪相遇，甲乙第三輪相遇，甲乙要在第二輪相遇，則甲乙在同一個(gè)半?yún)^(qū)，但不在同一組的概率為，同時(shí)甲乙在第一輪都要獲勝則.甲乙要在第三輪相遇，則甲乙不在同一個(gè)半?yún)^(qū)的概率為，同時(shí)甲乙在第一?二輪都要獲勝則.所以甲乙相遇的概率.（3）（i）當(dāng)人數(shù)增加到，則固定甲的位置后，乙有個(gè)選擇，要使得甲乙能在第三輪相遇，由（2）可知甲乙必須得在同一個(gè)區(qū)內(nèi)的不同半?yún)^(qū)的概率為，同時(shí)甲乙在第一?二輪都要獲勝，則甲、乙兩人在第3輪比賽中相遇的概率為.（ii）解法一：記比賽的輪次為事件，甲乙在比賽過程中相遇的事件為，要使甲乙能在第輪相遇，則甲乙必須得在同一個(gè)區(qū)內(nèi)的不同半?yún)^(qū)的概率為，同時(shí)甲乙在前輪都要獲勝，所以.所以甲乙相遇的概率為.要使得甲乙相遇的概率小于0.01，即，即，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以最小的值為8.解法二：設(shè)名選手參賽，甲乙相遇的概率為，則當(dāng)時(shí)，甲乙一定相遇，此時(shí).當(dāng)名選手參賽，甲乙相遇的概率為.考慮將個(gè)選手分成上下兩個(gè)區(qū)，每區(qū)名選手，這時(shí)有2種情況，情形一：乙和甲在同一區(qū)，此時(shí)甲乙相遇的概率為，情形二：乙和甲不在同一區(qū)，兩人相遇必須都進(jìn)入決賽，即前輪比賽均獲勝.所以，于是，，累加得所以.令，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為8.10．（與導(dǎo)數(shù)綜合）（25-26高三上·河南·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍；(3)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)得，再對(duì)分類討論即可；（2）設(shè)，求導(dǎo)后再對(duì)進(jìn)行分類討論；（3）根據(jù)（2）得到結(jié)論對(duì)任意恒成立，再令，最利用累加法和裂項(xiàng)相消法即可得到證明.【詳解】（1）由題意得的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．令，則．①當(dāng)時(shí)，，則，所以，則在上單調(diào)遞增，則，符合題意．②當(dāng)時(shí)，有兩根，因?yàn)榍遥?，所以由，即，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，則不符合題意．故的取值范圍是．（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，即不等式成立．當(dāng)時(shí)，，所以，，以上累加得，則，即．綜上可知，對(duì)所有的．11．（與導(dǎo)數(shù)綜合）（2025·四川遂寧·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的積為，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用與的關(guān)系可得數(shù)列的遞推式，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用錯(cuò)位相加求和法求解即可；（3）分析可知要證，即證，令，利用導(dǎo)數(shù)推出，從而得證．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，所以時(shí)，得，兩式相減，得，即，因?yàn)?，，則所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，，，兩式相減得解得；（3）由（1）得,則，所以要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以得證．12．（與解析綜合）（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于y軸對(duì)稱，再過作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于y軸對(duì)稱，以此類推一直作下去，設(shè)．(1)求t的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；(3)求的面積．【答案】(1)1；(2)，；(3)16.【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，坐標(biāo)代入求參數(shù)值；（2）根據(jù)已知得、，聯(lián)立拋物線得，根據(jù)等差數(shù)列的定義有，最后應(yīng)用裂項(xiàng)相消法及數(shù)列的單調(diào)性求范圍；（3）由（2）及已知得為，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、兩點(diǎn)距離公式以及三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得；（2）由可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，且，過，，且斜率為的直線，聯(lián)立方程，消去得，解得或，因?yàn)?，故，即，故?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，又，所以，所以，所以，又是關(guān)于的遞增函數(shù)，故，的取值范圍是；（3）由（2）知：，，，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，，所以的面積為．13．（與解析綜合）（2025·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的離心率．(2)設(shè)，分別為的左、右頂點(diǎn)，，為上異于，的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率恒為直線的斜率的5倍．①當(dāng)?shù)闹荡_定時(shí)，證明：直線過軸上的定點(diǎn)；②按下面方法構(gòu)造數(shù)列：當(dāng)時(shí)，直線過的定點(diǎn)為，且，證明：【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，將點(diǎn)代入橢圓方程得，進(jìn)而求得離心率；（2）①由題可知直線的斜率不可能為0，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合，解得，進(jìn)而得證；②根據(jù)題意可得是等比數(shù)列，求得，代入放縮可得，，進(jìn)而得證.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)，所以，故，所以C的離心率；（2）①由（1）知C的方程為，，.由對(duì)稱性可知直線的斜率不可能為0，設(shè)，，設(shè)的方程為．由，可得，所以，即，且，．所以則，解得，則的方程為，即直線過x軸上的定點(diǎn).②由①可知，，又，，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，.14．（數(shù)列新定義）（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作為刪除數(shù)列中除以余數(shù)為的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原先后順序不變得到新數(shù)列.若，，進(jìn)行操作后剩余項(xiàng)組成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求解；（2）整理可得，利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋芍M足除以3余數(shù)為1），當(dāng)時(shí)，為3的倍數(shù)，進(jìn)行操作，即刪除，剩余，則，可得，所以.（2）由（1）可知，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.01數(shù)列不等式的證明15．（2025·吉林長(zhǎng)春·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．【答案】(1)不是等比數(shù)列，且(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合可得出結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于的方程，解出的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證得所證不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)?，且?duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，即，所以，又因?yàn)椋蕯?shù)列不是等比數(shù)列，且該數(shù)列是從第項(xiàng)開始成公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，即，綜上所述，.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，且，，，，所以，，，因?yàn)?、、成等比?shù)列，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以，所以，故原不等式得證.16．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式的關(guān)系，可得數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的概念，可得答案；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，可得答案.【詳解】（1）由題意可得，所以因?yàn)?，所以，即，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.（2）所以17．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，再利用待定系數(shù)法解得，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求．（2）方法一：由題意得，再根據(jù)累乘法得到，方法二：構(gòu)造數(shù)列，得到數(shù)列為常數(shù)列即可求解；（3）由題意得，先證，再累加即可證得．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，當(dāng)且時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足，綜上所述：.方法二：由（1）得：，，，，，令，則數(shù)列為常數(shù)列，，；（3）由（1）知，，下面證明，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以．18．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）分析可知，對(duì)任意的，且，可得出，變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證得結(jié)論成立；（2）利用（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，分、兩種情況，由結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立；（3）由不等式的性質(zhì)得出，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，可得出，由結(jié)合不等式的傳遞性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，且，可得，由，得，可得，由，得，可得，，以此類推可知，對(duì)任意的，且，所以，所以，可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.（2）由（1）可得，所以，故，易知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，對(duì)任意的，，綜上所述，.（3）因?yàn)?，所以，令①，可得②，①②得，所以，故，故?duì)任意的，.19．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，記的零點(diǎn)為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)；(3)證明：.【答案】(1)1(2)(3)證明見解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，確定單調(diào)性即可求解；（2）由通過作差得到，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性，確定數(shù)列單調(diào)性即可求解；（3）令，求導(dǎo)確定單調(diào)性，得到，再通過，分別令和，即可證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)1，即；（2）由的零點(diǎn)為，得，兩式相減得：，即，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得到，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)是；（3）令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)?，所?所以，所以，所以在中，令，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，中等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，在中，令，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，所以，綜上得證.20．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，對(duì)于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)成等比數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令，和，依次求出，利用等比數(shù)列定義判斷即可；（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，即可利用累加法求出，從而可得，，，再利用等比數(shù)列定義判斷即可；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，利用放縮法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，成公差為1的等差數(shù)列，則，；當(dāng)時(shí)，成公差為2的等差數(shù)列，則，；當(dāng)時(shí)，成公差為3的等差數(shù)列，則．所以，，從而，故成等比數(shù)列.（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，可得：，，，，，累加得因?yàn)椋?，成公差為的等差?shù)列，所以，，又因?yàn)椋晒顬榈牡炔顢?shù)列，所以，所以，得，，成等比數(shù)列．（3）由，由（2）知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，故，且對(duì)一切正整數(shù)，有，時(shí)，，綜上，．21．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（ⅱ）若，數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有．【答案】(1)或(2)（ⅰ）．；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）方法1：由及，利用等差數(shù)列基本量的運(yùn)算求解即可；方法2：先求出，然后利用化簡(jiǎn)得，將已知條件代入求解即可.（2）（?。┡c相減得，，利用累乘法得，即可；（ⅱ）由（?。┑?，進(jìn)而求得，累加法結(jié)合即可證明.【詳解】（1）方法1：，，，由或，于是或，所以或．方法2：顯然，則，于是，所以，相減得，即，所以，，又，，解得或.（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，即，所以，相減整理得，，所以，，…，，累乘得，，也滿足上式，所以．所以．（ⅱ），，顯然．，所以，，…，，累加得，得證．02不等式放縮22．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)利用分和結(jié)合等差數(shù)列定義即可依次求出數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減求和方法結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解；（3）方法一：由和放縮公式結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算求證即可得證；方法二：由數(shù)列的單調(diào)性和放縮公式得到即可計(jì)算求證.【詳解】（1）由題令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，且是遞增數(shù)列，所以，所以，即是公差和首項(xiàng)均為2的等差數(shù)列，所以.（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，所以，則，兩式相減得，即.（3）方法一：，所以，①因?yàn)椋?，②?②得，即，所以.方法二：因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列.所以，所以，所以.23．如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和型函數(shù)的定義即可證明；（2）取值，則，再結(jié)合型函數(shù)的定義即可證明；（3）放縮得，再不斷放縮有，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】（1）記；對(duì)任意的，有；對(duì)于任意的，若，則，即.故函數(shù)是型函數(shù).（2）設(shè)，且，則.因此，可知在上為增函數(shù).（3）因?yàn)椋浴军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用型函數(shù)的性質(zhì)放縮得，最后再不斷放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可.24．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)行計(jì)算，即可求得，的值；（2）由，分別化簡(jiǎn)求得，，得到，得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可求解；（3）由（1）知且，求得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得證.【詳解】（1）解：由數(shù)列中，，，可得，.（2）解：由，可得，，所以，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋傻?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）解：由（1）知且，可得，所以，又由，因?yàn)轱@然成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，因此.03數(shù)列最值25．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求使取得最大值時(shí)的的值.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，作差可得，即可根據(jù)等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）求得，利用錯(cuò)位相減法可求；（3）根據(jù)，可得；從而判斷的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榍?，所以，由，可得：，兩式相減得：，因?yàn)?，所以，，又，綜上，對(duì)任意的，，所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，所以，.（2）由題意，，①②①②得所以，（3）由（1）可得，所以，時(shí)，由，可得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上，或時(shí)，取得最大值.26．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和，(3)求的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值.【分析】（1）通過基本量運(yùn)算求得公差和公比，得到通項(xiàng)公式；（2）將分組，分別利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和錯(cuò)位相減法求得各組的和，得到；（3）利用化簡(jiǎn)和式，討論的奇偶得到最值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，解得，所以，；（2）由（1），，，所以令，即①，則②，①-②得：，整理得所以；（3）因?yàn)椋O(shè)所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知隨增大而增大，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知隨增大而減小，故，又當(dāng)時(shí)，，介于與之間，所以的最大值為，最小值為.27．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；(2)當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；(3)當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.【答案】(1)，.(2)(3)最大值為1，最小值為.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義列方程組解得首項(xiàng)和公差即可求得結(jié)果；（2）經(jīng)分析可知只有當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，滿足題意，再利用裂項(xiàng)求和可得結(jié)果；（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，對(duì)表達(dá)式化簡(jiǎn)分析可求的結(jié)果.【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，所以，所以，.（2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，由（1）知，顯然在不單調(diào)；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，假設(shè)公比為，，解得或，當(dāng)時(shí)，，易知在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，易知在不單調(diào)，所以，所以，.（3）當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，由（2）知或，又為擺動(dòng)數(shù)列，所以，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)取得最大值1，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最大值為1，最小值為.28．（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求證：；(3)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2025.【分析】（1）對(duì)兩邊取倒數(shù)，并整理得，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷；（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合（1）得，進(jìn)而通過作差法比較大小即可證明；（3）結(jié)合（1）得，進(jìn)而求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再根據(jù)其單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）記，由題意，數(shù)列滿足，可得所以，又，所以，則為常數(shù)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以得故，從而，所以.（3）解：由（1）知，所以，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則若，即，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且所以滿足的最大整數(shù)n的值為2025.04參數(shù)求解29．（2025·山東濟(jì)南·三模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由解出即可求解；（2）由（1）有，利用裂項(xiàng)相消法即可求解；（3）由（1）（2）有得，令得，利用均值不等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，又，所以，所以，即；（2）由（1）有，所以，所以，所以；（3）由（1）（2）有，令，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以，所以實(shí)數(shù)k的最小值為2.30．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且依次成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于任意，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合等比中項(xiàng)計(jì)算求解；（2）先把轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)的單調(diào)性得出最大項(xiàng)，最后得出參數(shù)范圍.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，因?yàn)椋獾?，又，得，所?（2）由（1）可知，則，由可得，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.31．（2025·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)證明：是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)若，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）由與關(guān)系結(jié)合題意可得，據(jù)此可完成證明；（2）由（1）結(jié)合錯(cuò)位相減法可得答案；（3）由（1）可得，，利用作差法可判斷單調(diào)性，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）因，則即，從而是等比數(shù)列；（2）由（1）是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.則，從而，兩式相減可得：則；（3）由（2），，又，則.，當(dāng)時(shí)，易得，當(dāng)時(shí)，，.即，當(dāng)時(shí)，，則為遞增數(shù)列，則.即.32．（2025·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)已知配成完全平方即可得證；（2）利用錯(cuò)位相減法求解可得；（3）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大值問題，考察數(shù)列單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以，又，所以是?為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列.（2）又（1）可得，，所以①，則②，由①-②得：，所以（3）由（1）可得，，所以，即，記，因?yàn)?，所以時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.33．（2025·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，兩邊同時(shí)加上2，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）求得，推得遞減，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．【詳解】（1）由，可得，即數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，則，即；（2）數(shù)列，則，可得遞減，可得，對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，可得，即的取值范圍是.34．（2025·河南鄭州·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過對(duì)遞推式進(jìn)行變形構(gòu)造新的等比數(shù)列來求通項(xiàng)；（2）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再根據(jù)不等式恒成立將分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，，可得，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即.（2）由（1）可得，所以，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，①，②，由①-②得，所以，所以，，所以，，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，同理求和可得，，所以，，故，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.05與三角函數(shù)綜合35．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知等式得出，兩邊同時(shí)平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）由（1）可求得，，利用裂項(xiàng)求和法求出，然后利用裂項(xiàng)求和法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立；（3）利用分析法可知，要證所證不等式成立，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）已知，即及，，化簡(jiǎn)得，又所以數(shù)列是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，.又，所以，，.所以于是，，因?yàn)椋?，?（3）定義，原不等式即下面證明，即，即證（*），設(shè)，則，于是在區(qū)間上是增函數(shù).因?yàn)?，有，不等式?）成立.故原不等式成立.36．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，且的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將所有的正零點(diǎn)按從小到大順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角恒等變換可先將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）由正弦函數(shù)性質(zhì)可得所有的正零點(diǎn)，則可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)及偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列求和公式分組計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)椋驗(yàn)榈膱D象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，又，所以，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)椋?，得，所以或，，即或，，所以所有的正零點(diǎn)為或，，所以是以為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列，所以是以為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列，所以.37．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，函數(shù)，的所有大于0的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．(1)寫出的前6項(xiàng)；(2)記的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，令，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)可得或，取其中的正數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列可得結(jié)果；（2）由錯(cuò)位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意．由，得．所以或．即或，取其中的正數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列．知的前6項(xiàng)為．（2）由（1）知，所以．所以．①．②①－②，得．所以.38．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）若存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得，則稱函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”.(1)已知函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，求；(2)證明:函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”;(3)證明:.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用給定的定義列出恒成立的不等式，再分離參數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性求解.（2）由給定的定義，利用導(dǎo)數(shù)證明及在上恒成立.（3）利用（2）的信息及結(jié)論可得在上成立，取，利用裂相消法求和推理得證.【詳解】（1）由在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，則任意恒成立，即恒成立，而當(dāng)時(shí)，，因此，解得，所以.（2）要證在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，需證時(shí)，，證明如下:令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，即；令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因此，即，所以，即函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”.（3）當(dāng)，則，由（2）知且，則，因此，即當(dāng)時(shí)，，令，，則，所以.39．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）記.(1)判斷并證明的奇偶性；(2)將的最小值記為，（i）求數(shù)列，（ii）若恒成立，求的最小整數(shù)值.【答案】(1)偶函數(shù)，證明見解析(2)（i）；（ii）10【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性分析判斷即可；（2）（i）分和兩種情況，換元令，可得，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）令，利用錯(cuò)位相減法求，進(jìn)而分析求解.【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，理由如下：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥院瘮?shù)為偶函數(shù).（2）（i）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，，可得，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則，，可得，在上單調(diào)遞增；可知當(dāng)時(shí)，取最小值，所以；當(dāng)時(shí)，亦適合上式，所以；（ii）令，則，可得，兩式相減得，則，所以，即的最小整數(shù)值為10.06與概率綜合40．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三人進(jìn)行玩具傳遞游戲，每次拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳遞方式，當(dāng)玩具在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，甲將玩具傳給乙；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于4，甲保留玩具；當(dāng)玩具在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，乙將玩具傳給甲；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，乙傳給丙；當(dāng)玩具在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于2，丙將玩具傳給甲；若骰子點(diǎn)數(shù)不大于2，丙傳給乙.初始時(shí)，玩具在甲手中.(1)設(shè)前三次拋擲骰子后，玩具在甲手中的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)拋擲次骰子后，玩具在乙手中的概率為，求的通項(xiàng)公式；(3)求證：.【答案】(1)分布列見解析，(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)傳球游戲的規(guī)則，可得，再根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，求解概率，再結(jié)合分布列公式，即可求數(shù)學(xué)期望；（2）首先題意，可得關(guān)于數(shù)列的遞推公式，再通過構(gòu)造求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）首先根據(jù)（2）的結(jié)果，利用數(shù)列分組求和即可【詳解】（1）由題意知，.，，；，

所以隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（2）由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時(shí)無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有，

變形為.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由（2）可得；所以41．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）馬路上有盞連續(xù)排列的燈，每盞燈亮的概率均為，記存在至少連續(xù)盞燈亮的概率為，已知．(1)寫出；(2)設(shè)為連續(xù)亮的燈數(shù)最大值，求時(shí)的期望；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)可求出的值，分析可知表示只有燈亮或只有亮，或者都亮的概率，結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式可求得的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，結(jié)合期望公式可求得的值；（3）設(shè)，根據(jù)題意得出的遞推公式，逐項(xiàng)計(jì)算可得出的值，即為所求.【詳解】（1）由于，所以，而表示只有燈亮或只有亮，或者都亮的概率，即.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、、、，則，表示、、、、、、、、、、、都亮，故，表示、、、、、、、、、、都亮，故，表示、、、、都亮，則，表示、都亮，則，，所以．（3）顯然當(dāng)或時(shí)，，且；對(duì)于，根據(jù)實(shí)際意義，存在連續(xù)盞燈亮包括以下兩種情況：（i）前盞已經(jīng)滿足有盞亮了；（ii）前盞沒有連續(xù)盞亮燈，且從到盞恰好為（不亮，亮，亮，亮），所以有遞推關(guān)系：，令，則，且，，則，，，，，，.因此，.42．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）近年來，全球數(shù)字化進(jìn)程持續(xù)加速，人工智能（ArtificialIntelligence，簡(jiǎn)稱AI）已然成為科技變革的核心驅(qū)動(dòng)力，有媒體稱DeepSeek開啟了我國(guó)AI新紀(jì)元，某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)合作組織學(xué)生參加與AI知識(shí)有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動(dòng)，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，作比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在全體學(xué)生中抽取100人，設(shè)事件A=“學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)”，B=“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)(1)根據(jù)已知條件，完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？性別男生女生合計(jì)報(bào)名參加答題活動(dòng)未報(bào)名參加答題活動(dòng)合計(jì)100(2)網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：答題活動(dòng)不限時(shí)間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定；每輪均設(shè)置道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對(duì)一題，則其本輪答題結(jié)束，答錯(cuò)則繼續(xù)答題，直到第道題答完，本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)報(bào)名參加答題活動(dòng)，假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對(duì)的概率均為①求甲在一輪答題過程中答題數(shù)量的數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)甲同學(xué)每輪答題對(duì)前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分．記甲答題累計(jì)得分為的概率為，求的最大值．參考公式與數(shù)據(jù)：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)填表見解析；該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題設(shè)，結(jié)合條件概率的定義求出數(shù)據(jù)，進(jìn)而完成2×2列聯(lián)表，再計(jì)算出的值判斷即可；（2）①首先列出的概率表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)期望公式將它的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式列出來，進(jìn)行化簡(jiǎn)和錯(cuò)位相減從而得到數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)題意可得時(shí)，，然后通過構(gòu)造可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，然后可求其最大值.【詳解】（1）根據(jù)已知條件得，報(bào)名人數(shù)為，未報(bào)名參加答題活動(dòng)的人數(shù)為55人，報(bào)名參加答題活動(dòng)的男生人數(shù)為人，報(bào)名的女生為15人，設(shè)男生人數(shù)合計(jì)為人，則列聯(lián)表如下：性別男生女生合計(jì)報(bào)名參加答題活動(dòng)301545未報(bào)名參加答題活動(dòng)203555合計(jì)5050100假設(shè)該校報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別沒關(guān)聯(lián)．計(jì)算比較臨界值，因?yàn)?.09>7.879，所以拒絕假設(shè)（即不成立），即該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)．（2）①由題意得①②①－②得：②依題意甲同學(xué)每輪答題得1分的概率為，得2分的概率為，甲同學(xué)答題得n分即得后得1分下一輪得或得后下一輪得2分，，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．，顯然當(dāng)n-1為奇數(shù)時(shí)，有最大值；此時(shí)是遞減涵數(shù)，故的最大值為．43．（2025·福建廈門·三模）在一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個(gè)小球，將它們分別編號(hào)為．每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄編號(hào)后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．記總的摸球次數(shù)為，其期望為．(1)求與；(2)求；(3)證明：．附：①若隨機(jī)變量的可能取值為，則②若隨機(jī)變量，則．【答案】(1)，(2)(3)證明見詳解【分析】（1）理解及的意思，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意求出的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)列錯(cuò)位相減法求和即可求解；（3）求出的概率，進(jìn)行用同（2）的方法求出，進(jìn)而由可求出，再利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式即可.【詳解】（1）表示袋中共兩個(gè)球，前3次摸出同一個(gè)球，第4次才摸出另一個(gè)球，故，表示袋中共3個(gè)球，前4次摸出的是兩個(gè)不同編號(hào)的球，第5次才摸出最后一個(gè)編號(hào)的球，第5次才摸出第三個(gè)編號(hào)的球，則前4次摸球中，另外兩個(gè)編號(hào)球各至少摸到一次，則．（2）依題意可得：，則，所以設(shè)，，作差可得，所以，所以（3）設(shè)隨機(jī)變量表示，恰好記錄了個(gè)不同的編號(hào)下，繼續(xù)摸球直到記錄到第個(gè)新的編號(hào)所需要的摸球次數(shù)，則，其中，則，，設(shè)，作差可得：，所以，所以，即，令，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以．44．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）在高三年級(jí)排球聯(lián)賽中，兩支隊(duì)進(jìn)入到了比賽決勝局．該局比賽規(guī)則如下：上一球得分的隊(duì)發(fā)球，贏球方獲得1分，直到有一方得分達(dá)到或超過15分，且此時(shí)分?jǐn)?shù)超過對(duì)方2分時(shí)，該隊(duì)獲得決勝局的勝利．假定該局比分已經(jīng)達(dá)到了，此后每球比賽記為第球，隊(duì)在第球比賽中得分的概率為，且；從第2球起，若隊(duì)發(fā)球，則此球隊(duì)得分的概率為，若隊(duì)發(fā)球，則此球隊(duì)得分的概率為．(1)若，求隊(duì)以的比分贏得比賽的概率；(2)若，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，若，有，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)已知有，構(gòu)造等比數(shù)列得，進(jìn)而有，利用放縮法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求的范圍；（3）根據(jù)題意有，討論、，結(jié)合等比數(shù)列的定義得與的關(guān)系式，根據(jù)條件確定的取值范圍．【詳解】（1）由題意得，隊(duì)以的比分贏得比賽的概率為.（2）由題意得，，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，由，得，故，所以，故，又因?yàn)?，且，所以，所以，綜上，.（3）由題意得，，若，則，即，滿足題意.若，則，情況如下：當(dāng)時(shí)，由，得，滿足條件.當(dāng)且時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，由得，因?yàn)?，所以，，所以，解得，且?綜上，的取值范圍是.07與導(dǎo)數(shù)綜合45．（2025·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且.(1)求;(2)已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意的，均有；(3)證明：對(duì)任意的，均有.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得，只需滿足，計(jì)算即可得解；（2）先寫出，將不等式變形，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證其單調(diào)性，從而推導(dǎo)不等式成立；（3）由（1）中的結(jié)論，取得到，對(duì)不等式左邊求和，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（裂項(xiàng)相消），證得結(jié)果.【詳解】（1）由得，令，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，且，不符題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故