專題03利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參討論問題）(典型例題+題型歸類練)目錄類型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）類型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型類型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型必備秘籍一、含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：1、導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①令，確定其零點，并在軸上標(biāo)出②觀察的單調(diào)性，③根據(jù)①②畫出草圖2、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①對因式分解，令，確定其零點，并在軸上標(biāo)出這兩個零點②觀察的開口方向，③根據(jù)①②畫出草圖3、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型①對，求②分類討論③對于，利用求根公式求的兩根，④判斷兩根，是否在定義域內(nèi)：對稱軸+端點正負(fù)⑤畫出草圖二、含參問題討論單調(diào)性的原則1、最高項系數(shù)含參，從0開始討論2、兩根大小不確定，從兩根相等開始討論3、考慮根是否在定義域內(nèi)二、典型例題類型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）例題1．（2022·全國·高二期末）設(shè)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間.解題思路（本題有效部分屬于一次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后，觀察有效部分為：注意到最高項系數(shù)含參數(shù)，所以討論時可以分為①②③（熟練后通過觀察有效部分可以將①②合并在一起考慮）①②在上恒成立，所以在單調(diào)遞減③第1步：令解出第2步:在軸上標(biāo)出（注意此數(shù)在定義域內(nèi)）第3步：當(dāng)時，有效部分單調(diào)遞增第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，【答案】.①當(dāng)時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.例題2．（2022·重慶八中高二期中）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.解題思路（本題有效部分屬于可視為一次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后，有效部分就是（有效部分為一次或可視為一次函數(shù)型，要先觀察，比如本例，若，則導(dǎo)函數(shù)恒正）；通過觀察有效部分，本例討論可分為：①②①，在上單調(diào)遞增；②第1步：令解出第2步:在軸上標(biāo)出第3步：當(dāng)時，有效部分是單調(diào)遞增的；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，【答案】，當(dāng)，即時，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解題思路（本題有效部分屬于可視為一次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后，有效部分就是（有效部分為一次或可視為一次函數(shù)型，要先觀察，比如本例，則導(dǎo)函數(shù)有效部分，可正可負(fù)）；通過觀察有效部分，根據(jù)最高項系數(shù)含參數(shù)，本題討論可以分為：①②（注意本例不用考慮，題目已經(jīng)說明）①第1步：令解出第2步:在軸上標(biāo)出（注意此數(shù)在定義域內(nèi)）第3步：當(dāng)時，有效部分單調(diào)遞增第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，②第1步：令解出第2步:在軸上標(biāo)出（注意此數(shù)在定義域內(nèi)）第3步：當(dāng)時，有效部分單調(diào)遞減第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，【答案】由可知當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.類型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型例題4．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.解題思路（本題有效部分屬于二次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后（注意求導(dǎo)后有分?jǐn)?shù)通分），有效部分就是；令，，討論時，由于兩個根大小不確定，從兩根相等開始討論，即：；又由于定義域為，討論時注意根是否在定義域內(nèi)，即，這樣參數(shù)討論的臨界值為，這樣本題討論可以分為：①②③④⑤（熟練后通過觀察導(dǎo)函數(shù)有效部分④⑤可合并討論此時導(dǎo)函數(shù)有效部分從化簡為（+定義域得到））①第1步：令解出，第2步:在軸上標(biāo)出，（注意此數(shù)在定義域內(nèi)，且）第3步：當(dāng)時，有效部分開口向上；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，或者②當(dāng)時，，函數(shù)在時，單調(diào)遞增，③第1步：令解出，第2步:在軸上標(biāo)出，（注意此數(shù)在定義域內(nèi)，且）第3步：當(dāng)時，有效部分開口向上；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，或者④第1步：由于定義域，導(dǎo)函數(shù)有效部分可進(jìn)一步由化簡為：，此時導(dǎo)函數(shù)有效部分為一次函數(shù)型令第2步:在軸上標(biāo)出（注意此數(shù)在定義域內(nèi)）第3步：有效部分單調(diào)遞增第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，【答案】由，，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，函數(shù)在時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增例題5．（2022·廣東廣州·高二期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解題思路（本題有效部分屬于一次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后（注意求導(dǎo)后有分?jǐn)?shù)通分），有效部分就是；（有效部分為一次或可視為一次函數(shù)型，要先觀察，比如本例，定義域，若，則恒成立）故本題討論時可分為：①②①對任意的，，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為②第1步：由于定義域，此時導(dǎo)函數(shù)有效部分為，令第2步:在軸上標(biāo)出（注意此數(shù)在定義域內(nèi)）第3步：有效部分單調(diào)遞減第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，【答案】(1)答案見解析（1）解：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，由可得，由可得，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.例題6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；解題思路（本題有效部分屬于可視為二次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后，有效部分就是；屬于可視為二次函數(shù)型；令，，討論時，由于兩個根大小不確定，從兩根相等開始討論，即：；這樣參數(shù)討論的臨界值為，這樣本題討論可以分為：①②③①第1步：令解出，（注意此時）第2步:在軸上標(biāo)出，第3步：有效部分開口向上；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，或者②，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；③第1步：令解出，（注意此時）第2步:在軸上標(biāo)出，第3步：有效部分開口向上；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)，；當(dāng)，或者【答案】(1)答案見解析，令，則x=a或ln2，若，，所以函數(shù)在R上為增函數(shù)；若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在R上為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；類型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型例題7．（2022·遼寧葫蘆島·高二期末）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；解題思路（本題有效部分屬于不可因式分解的二次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后，有效部分就是；屬于不可因式分解的二次函數(shù)型；此類題型討論的方向分兩類①②其中①即：或，注意到開口受的影響，此時要分開討論當(dāng)時，當(dāng)這兩種；②即：，此時兩根為：，注意到此時分母中取正負(fù)影響兩根是否在定義域上，所以要分開討論：②③①即：或當(dāng)時當(dāng)開口向下，恒成立，即恒成立開口向上，恒成立，即恒成立所以在上單調(diào)遞減；所以在上單調(diào)遞增；，且②第1步：令解出，，此時兩根不在定義域內(nèi)第2步:在軸上標(biāo)出，第3步：有效部分開口向上；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：恒成立，即恒成立，，且③第1步：令解出，，此時再用對稱軸加端點法判定兩根是否在定義域?qū)ΨQ軸：，判定端點，結(jié)合圖象可判定第2步:在軸上標(biāo)出，第3步：有效部分開口向下；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)或時，當(dāng)，解：的定義域為，，令，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有二正根，，，當(dāng)，，在和上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；例題8．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；解題思路（本題有效部分屬于不可因式分解的二次函數(shù)型）討論單調(diào)性問題，首先要求定義域，求導(dǎo)后，有效部分就是；屬于不可因式分解的二次函數(shù)型；此類題型討論的方向分兩類①②其中①即：②即：，此時兩根為：，注意到此時開口受正負(fù)影響，所以要分開討論：②③④①即：開口向上，恒成立，即，在上單調(diào)遞增；，且②第1步：令解出，，此時兩根不在定義域內(nèi)第2步:在軸上標(biāo)出，第3步：有效部分開口向上；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：恒成立，即恒成立，即：③化簡為：即，在上單調(diào)遞增；，且④第1步：令解出，，此時再用對稱軸加端點法判定兩根是否在定義域?qū)ΨQ軸：，判定端點，開口向下，結(jié)合圖象可判定第2步:在軸上標(biāo)出，第3步：有效部分開口向下；第4步：根據(jù)第2,3兩步畫出草圖借助圖象：當(dāng)時，當(dāng)，【答案】函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，．當(dāng)時，方程的兩個實數(shù)根為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．二、題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析的定義域為，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】解：當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得到，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【詳解】的定義域為，且．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．4．（2022·山東·巨野縣實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】【詳解】(1)定義域（0,）①時，在（0,）遞增②時，，得，同理得，∴在（m,）上遞增，在（0,m）遞減5．（2022·陜西渭南·高二期末（理））已知函數(shù)（）．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案不唯一，具體見解析∵，∴，若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．6．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)時，若即時，遞減；若即時，遞增；當(dāng)時，，定義域上遞增；當(dāng)時，若即時，遞減；若即時，遞增；綜上，：在上遞減，在上遞增；：在R上遞增；：在上遞減，在上遞增；7．（2022·河北石家莊·高二期末）設(shè)函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】已知，令，知當(dāng)時，，此時函數(shù)在單調(diào)遞增當(dāng)時，令或，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令或，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見解析【詳解】解：，，當(dāng)時，令，得：；令，得；當(dāng)時，令，得：或，令，得；因此，當(dāng)時，在遞增，在遞減；當(dāng)時，在，遞減；在遞增．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性；【答案】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【詳解】，，①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a∈R，若函數(shù)f(x)＝x?h(x)，討論f(x)的單調(diào)性．【答案】見解析【詳解】，則，①當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，令，即，解得；令，即，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，令，即，解得；令，即，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析.【詳解】因為，所以.令，解得或.若，當(dāng)即或時，故函