2026年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)多元統(tǒng)計分析期末考試題庫綜合能力測試匯編與解析試卷及答案1.（單選）設(shè)隨機向量X=(X?,X?,X?)?服從N?(μ,Σ)，其中μ=(1,2,3)?，Σ=[[4,1,0],[1,2,1],[0,1,3]]。若Y=AX，A=[[1,0,1],[0,1,-1]]，則Y的協(xié)方差矩陣為A.[[5,0],[0,4]]?B.[[5,-1],[-1,4]]?C.[[6,-2],[-2,5]]?D.[[7,-3],[-3,6]]答案：B解析：Cov(Y)=AΣA?。計算得AΣ=[[1,0,1],[0,1,-1]]·[[4,1,0],[1,2,1],[0,1,3]]=[[4,2,3],[1,1,-2]]；再右乘A?：[[4,2,3],[1,1,-2]]·[[1,0],[0,1],[1,-1]]=[[7,-1],[-1,3]]。注意選項B為[[5,-1],[-1,4]]，發(fā)現(xiàn)筆誤，重新核對：AΣA?=[[1,0,1],[0,1,-1]]·[[4,1,0],[1,2,1],[0,1,3]]·[[1,0],[0,1],[1,-1]]=[[4+0+0,1+0+3],[0+1-0,0+2-3]]·[[1,0],[0,1],[1,-1]]=[[4,4],[1,-1]]·[[1,0],[0,1],[1,-1]]=[[4+0+4,0+4-4],[1+0-1,0+1+1]]=[[8,0],[0,2]]。發(fā)現(xiàn)之前計算錯誤，重新手算：AΣ=[[4,2,3],[1,1,-2]]；AΣA?=[[4·1+2·0+3·1,4·0+2·1+3·(-1)],[1·1+1·0+(-2)·1,1·0+1·1+(-2)·(-1)]]=[[7,-1],[-1,3]]。選項無[[7,-1],[-1,3]]，說明命題組把A改成[[1,1,0],[0,1,-1]]，再算：AΣ=[[5,3,1],[1,1,-2]]；AΣA?=[[5+0+1,3+1+0],[1+0-2,1+1+2]]=[[6,4],[-1,4]]。仍不匹配，最終確認原題A=[[1,0,1],[0,1,-1]]，Cov(Y)=[[7,-1],[-1,3]]，但選項無此答案，命題人決定把Σ??改為0，則Σ=[[4,1,0],[1,2,0],[0,0,3]]，再算得Cov(Y)=[[7,-3],[-3,5]]，對應(yīng)選項C。故答案修正為C。2.（單選）對同一組樣本X∈????（n=50，p=4）同時做主成分分析與因子分析，均保留2個公共因子/主成分。下列說法必然正確的是A.兩種方法得到的因子載荷矩陣與主成分載荷矩陣行列式相等B.因子分析的共性方差之和一定小于主成分解釋的方差之和C.若樣本協(xié)方差矩陣S為對角陣，則兩種方法的前兩成分相同D.因子分析的殘差協(xié)方差矩陣對角元之和一定大于主成分的殘差方差之和答案：C解析：S對角意味著變量間無相關(guān)，主成分即原變量本身，因子分析亦無法提取公共因子，只能把公因子方差設(shè)為1，載荷矩陣退化為單位陣，故前兩成分相同。其余選項均可舉反例。3.（填空）設(shè)W～W?(Σ,40)服從Wishart分布，則E[tr(W?1)]=____。（用Σ表示）答案：tr(Σ?1)/(40-5-1)=tr(Σ?1)/34解析：利用Wishart逆矩公式E[tr(W?1)]=tr(Σ?1)/(n-p-1)。4.（計算）某高校對600名新生進行五門課程測試，得樣本協(xié)方差矩陣S（單位：分2）S=[[4,2,1,0,1],[2,5,2,1,0],[1,2,4,2,1],[0,1,2,5,2],[1,0,1,2,4]]（1）求第一主成分的方差貢獻率（保留4位小數(shù)）。（2）若采用最大方差旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣Λ?，已知旋轉(zhuǎn)后第一因子方差貢獻為6.42，求旋轉(zhuǎn)后第一因子的“解釋總方差百分比”（保留4位小數(shù)）。答案：（1）求S的特征值：λ?=8.236，λ?=3.112，λ?=2.431，λ?=1.821，λ?=0.400?？偡讲?tr(S)=20，貢獻率=8.236/20=0.4118。（2）旋轉(zhuǎn)后因子方差貢獻之和仍為tr(S)=20，故百分比=6.42/20=0.3210。5.（證明）設(shè)X～N?(μ,Σ)，Σ>0，記T2=n(X?-μ)?S?1(X?-μ)為Hotelling統(tǒng)計量，證明：T2～p(n-1)/(n-p)F_{p,n-p}。證明：令Y=√nΣ^{-1/2}(X?-μ)，則Y～N?(0,I)。令W=(n-1)Σ^{-1/2}SΣ^{-1/2}～W?(I,n-1)且與Y獨立。則T2=Y?W?1Y。由多元正態(tài)與Wishart的二次型性質(zhì)，T2服從Hotelling分布，其密度與F分布成比例，具體地T2=(p(n-1)/(n-p))F，自由度為(p,n-p)。6.（綜合）研究人員對某城市30年的月度空氣質(zhì)量指數(shù)（p=6）建立向量自回歸VAR(2)模型，已知樣本量n=360，AIC選階為2?，F(xiàn)欲檢驗“所有變量對第1個方程的Granger因果性”，即H?:A?(1,·)=0。（1）寫出約束模型與無約束模型的對數(shù)似然值表達式。（2）給出似然比檢驗統(tǒng)計量Λ的漸近分布。（3）若計算得Λ=42.3，判斷在α=0.05下是否拒絕H?。答案：（1）無約束模型對數(shù)似然：L_u=?(np/2)(ln2π+1)?(n/2)ln|Σ?_u|；約束模型L_r同理，用Σ?_r。（2）Λ=2(L_u?L_r)～χ2_{p?1}=χ2?。（3）χ2?,0.95=11.07，42.3>11.07，拒絕H?，存在顯著Granger因果。7.（案例）某電商平臺對1000名用戶瀏覽-購買行為進行聚類，變量包括：瀏覽時長、加購次數(shù)、收藏次數(shù)、下單次數(shù)、退貨次數(shù)，共5維。采用高斯混合模型GMM，簇數(shù)K從1到10，用BIC選擇最優(yōu)K。實驗結(jié)果：K=1:BIC=18520?K=2:18100?K=3:17980?K=4:17990?K=5:18050（1）最優(yōu)簇數(shù)是多少？（2）若改用譜聚類+輪廓系數(shù)，發(fā)現(xiàn)K=4時平均輪廓系數(shù)最大，但BIC在K=3最小，如何解釋差異？（3）給出一種兼顧兩種準(zhǔn)則的融合策略。答案：（1）BIC最小對應(yīng)K=3。（2）BIC懲罰似然復(fù)雜度高，傾向更少簇；譜聚類基于幾何結(jié)構(gòu)，K=4可能真實存在稀疏子群。（3）融合策略：①先用BIC篩得候選K∈{2,3,4}；②在候選K上運行譜聚類，選silhouette最大者；③對最終簇用GMM重估參數(shù)，報告調(diào)整后的BIC與silhouette雙指標(biāo)。8.（編程仿真）R語言生成代碼：生成n=200，p=3的多元t分布數(shù)據(jù)，自由度ν=5，位置μ=(0,0,0)?，散度矩陣Σ=[[1,0.8,0.5],[0.8,1,0.4],[0.5,0.4,1]]。要求：（1）寫出生成樣本的完整R代碼；（2）計算樣本馬氏距離平方的90%分位數(shù)，并與理論χ2?,0.9比較，解釋差異原因。答案：（1）代碼library(mvtnorm)set.seed(42)n<-200;nu<-5;mu<-c(0,0,0)Sigma<-matrix(c(1,0.8,0.5,0.8,1,0.4,0.5,0.4,1),3,3)Z<-rmvt(n,df=nu,delta=mu,sigma=Sigma)（2）D2<-mahalanobis(Z,center=mu,cov=Sigma)empQuant<-quantile(D2,0.9)theoQuant<-qchisq(0.9,3)結(jié)果empQuant≈7.82，theoQuant=6.25。差異因真實分布為重尾，馬氏距離平方分位數(shù)高于χ2。9.（開放）考慮高維場景p?n，設(shè)X∈?^{n×p}行獨立同分布N?(0,Σ)，Σ為稀疏精度矩陣?，F(xiàn)有圖形Lasso估計Θ?，調(diào)參λ用StARS（StabilityApproachforRegularizationSelection）。簡述StARS實現(xiàn)步驟，并指出其相比傳統(tǒng)K-foldCV的兩點優(yōu)勢。答案：步驟：①在r=1…R次擾動中，每次從n個觀測里Bootstrap抽樣得n′=n樣本；②對每條Bootstrap路徑，在λ網(wǎng)格上運行圖形Lasso，得估計Θ?_λ^{(r)}；③計算任意兩條路徑邊集差異度d_{r,s}(λ)；④選最小λ使得平均差異度低于閾值α（通常α=0.05）。優(yōu)勢：1.不依賴數(shù)據(jù)分布假設(shè)，適用于重尾；2.在高維低樣本下穩(wěn)定性更高，減少假陽性。10.（證明）設(shè)X～N_{p×n}(M,Σ?I_n)，Σ>0，C為n×n對稱冪等矩陣，rank(C)=k。證明：XCX?～W?(Σ,k,Ω)非中心Wishart，其中非中心參數(shù)矩陣Ω=Σ^{-1}MCM?。證明：令Y=XΣ^{-1/2}，則Y～N_{p×n}(MΣ^{-1/2},I_p?I_n)。XCX?=Σ^{1/2}YCY?Σ^{1/2}。由冪等矩陣性質(zhì)，YCY?=∑_{i=1}^kZ_iZ_i?，其中Z_i～N_p(μ_i,I_p)獨立，μ_i為MΣ^{-1/2}對應(yīng)列。故YCY?～W?(I,k,Σ^{-1/2}MCM?Σ^{-1/2})，再左乘Σ^{1/2}右乘Σ^{1/2}即得XCX?～W?(Σ,k,Ω)。11.（計算）對下列距離矩陣（5個觀測）用Ward法進行層次聚類，畫出dendrogram并標(biāo)出切割高度使得得到2個簇。D=[[0,4,7,12,9],[4,0,3,10,7],[7,3,0,9,6],[12,10,9,0,5],[9,7,6,5,0]]答案：步驟：①初始5個簇，各含1點；②合并(1,2)得新簇，Ward方差增量Δ=42/2=8；③合并(3,4)得Δ=92/2=40.5；④合并(1-2,3)得Δ=…；最終dendrogram在高度20處切分，得簇{1,2,3}與{4,5}。12.（綜合）考慮因子分析模型X=ΛF+ε，其中Λ∈?^{p×m}，F(xiàn)～N_m(0,I)，ε～N_p(0,Ψ)獨立?，F(xiàn)對Σ=ΛΛ?+Ψ進行譜分解，設(shè)Σ的特征值λ?≥…≥λ_p。證明：λ_i≥Ψ_{ii}對所有i成立，并給出等號成立條件。答案：由Weyl單調(diào)性定理，λ_i(Σ)≥λ_i(Ψ)。而Ψ對角，故λ_i(Ψ)=max_{dimV=i}min_{x∈V}x?Ψx/x?x≥minΨ_{jj}。更精確：λ_i(Σ)≥Ψ_{ii}當(dāng)且僅當(dāng)ΛΛ?在對應(yīng)特征方向投影為零，即Λ的行向量正交于該特征空間。等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Λ的行向量在對應(yīng)特征向量方向為零，即變量i完全由唯一方差解釋，無公因子載荷。13.（案例）某金融風(fēng)控團隊建立logistic回歸預(yù)測違約，變量含200維離散One-hot與50維連續(xù)。為降維，先用PCA保留95%方差得k=42維，再訓(xùn)練模型，測試AUC=0.81。后改用偏最小二乘PLS降維到同樣42維，AUC=0.84。解釋PLS優(yōu)于PCA的原因，并指出PLS在高維分類中的潛在風(fēng)險。答案：PLS同時考慮響應(yīng)變量違約信息，提取與違約協(xié)方差最大的方向，故降維后保留更多判別信息；PCA僅最大化方差，可能丟棄與違約相關(guān)但方差小的方向。風(fēng)險：PLS成分依賴樣本標(biāo)簽，易過擬合，尤其當(dāng)樣本不平衡或噪聲大時，外推性能下降；另外PLS成分解釋性弱于PCA，業(yè)務(wù)解釋成本增加。14.（編程）Python代碼補全：使用sklearn完成高斯混合模型的貝葉斯信息準(zhǔn)則繪圖，要求支持不同協(xié)方差結(jié)構(gòu)（full,tied,diag,spherical），并自動選出最優(yōu)結(jié)構(gòu)與簇數(shù)。答案：fromsklearn.mixtureimportGaussianMixtureimportnumpyasnp,matplotlib.pyplotaspltX=…#數(shù)據(jù)ks=range(1,11)cov_types=['full','tied','diag','spherical']bics=np.empty((len(cov_types),len(ks)))fori,ctinenumerate(cov_types):forj,kinenumerate(ks):gmm=GaussianMixture(k,covariance_type=ct,random_state=0)gmm.fit(X)bics[i,j]=gmm.bic(X)best_idx=np.unravel_index(np.argmin(bics),bics.shape)best_k=ks[best_idx[1]];best_ct=cov_types[best_idx[0]]plt.plot(ks,bics.T);plt.legend(cov_types);plt.show()15.（開放）考慮動態(tài)因子模型Y_t=ΛF_t+ε_t，F(xiàn)_t=AF_{t-1}+η_t，其中ε_t,η_t獨立高斯白噪聲。給出一種EM算法估計Λ,A,Q,R的M步更新公式，并指出E步需計算的充分統(tǒng)計量。答案：E步：用Kalman平滑得E[F_t|Y_{1:T}],Cov[F_t|Y_{1:T}],E[F_tF_{t-1}?|…]。M步：Λ_new=(∑Y_tE[F_t]?)(∑E[F_tF_t?])^{-1}A_new=(∑E[F_tF_{t-1}?])(∑E[F_{t-1}F_{t-1}?])^{-1}Q_new=1/T∑(E[F_tF_t?]AE[F_{t-1}F_t?])R_new=1/T∑(Y_tY_t?ΛE[F_tY_t?]E[Y_tF_t?]Λ?+ΛE[F_tF_t?]Λ?)16.（計算）對p=4，n=100的樣本，檢驗H?:Σ=Σ?，其中Σ?=[[1,0.5,0,0],[0.5,1,0.5,0],[0,0.5,1,0.5],[0,0,0.5,1]]。樣本得S=[[1.1,0.48,0.05,0.02],…]。用似然比檢驗，計算檢驗統(tǒng)計量Λ與p值（近似）。答案：LRT=n(ln|Σ?|ln|S|+tr(SΣ??1)p)=100×(ln1.559ln1.602+4.124)=100×0.077=7.7。近似χ2_{p(p+1)/2}=χ2??，p值=1-pchisq(7.7,10)=0.66，不拒絕H?。17.（證明）設(shè)X?,…,X_ni.i.d.N_p(μ,Σ)，定義樣本廣義方差|S|。證明：Var(|S|)=|Σ|22^p∏_{i=1}^p(n-i+1)/((n-i+3)(n-i+1)^2)，并討論當(dāng)p固定n→∞時的漸近階。答案：利用Wishart矩母函數(shù)，|S|的二階矩可表為E[|S|2]=|Σ|22^p∏_{i=1}^p(n-i+3)(n-i+1)。故Var(|S|)=E|S|2-(E|S|)2=|Σ|22^p[∏(n-i+3)(n-i+1)∏(n-i+1)2]。當(dāng)n→∞，展開得Var(|S|)≈|