應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)試題及答案1.單選題（每題4分，共40分）1.1某電商平臺(tái)想評(píng)估“618”大促期間頁面加載時(shí)間對(duì)成交轉(zhuǎn)化率的影響，隨機(jī)抽取了200個(gè)訪問會(huì)話，記錄加載時(shí)間x（秒）與是否成交y（0/1）。若建立Logistic回歸logit(p)=β?+β?x，下列說法正確的是A.β?的單位是“秒?1”B.當(dāng)β?>0時(shí)，加載時(shí)間越短成交概率越低C.若x增加1秒，成交優(yōu)勢(shì)比將乘以e^{β?}D.若模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)p值=0.03，說明模型整體顯著答案：C解析：Logistic回歸系數(shù)β?的含義是“x每增加1單位，對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比增加β?”，因此優(yōu)勢(shì)比乘以e^{β?}。A錯(cuò)，β?無單位；B錯(cuò)，β?>0表示加載時(shí)間越長成交概率越高；D錯(cuò)，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)p值小說明模型可能存在欠擬合，而非整體顯著。1.2對(duì)同一批受試者先后使用A、B兩種血壓計(jì)測(cè)量收縮壓，欲檢驗(yàn)兩種儀器是否存在系統(tǒng)誤差，最合適的檢驗(yàn)方法是A.兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)B.配對(duì)樣本t檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)答案：B解析：同一批受試者屬于配對(duì)設(shè)計(jì)，檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差即檢驗(yàn)差值總體均值是否為零，用配對(duì)t檢驗(yàn)；若差值非正態(tài)，可用Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)，但題目未提示非正態(tài)，優(yōu)先選B。1.3某工廠每天生產(chǎn)零件長度服從N(μ,σ2)?，F(xiàn)連續(xù)抽取5天，每天抽4件，共20件，欲建立x?-R控制圖，下列計(jì)算正確的是A.x?圖中心線CL=Σx?/5B.R圖中心線CL=ΣR/20C.x?圖上下控制限=CL±A?R?，其中A?查表與樣本容量n=20有關(guān)D.若某天x?超出控制限，即可判定μ一定發(fā)生變化答案：A解析：x?圖中心線為各subgroup均值的平均，即Σx?/5；B錯(cuò)，R圖中心線為ΣR/5；C錯(cuò)，A?與subgroup大小（此處為4）有關(guān)；D錯(cuò)，點(diǎn)出界僅提示可能異常，需結(jié)合規(guī)則判斷。1.4在多重線性回歸中，若某自變量VIF=8.5，則A.該變量與因變量無線性關(guān)系B.該變量與其他自變量存在中度多重共線性C.該變量必須被剔除D.該變量系數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤將縮小答案：B解析：VIF=8.5>10常作為強(qiáng)共線性經(jīng)驗(yàn)閾值，8.5屬中度；A錯(cuò)，VIF不衡量與y關(guān)系；C錯(cuò)，是否剔除需結(jié)合業(yè)務(wù)與模型穩(wěn)定性；D錯(cuò)，VIF高則標(biāo)準(zhǔn)誤膨脹。1.5對(duì)某城市空氣質(zhì)量指數(shù)AQI做時(shí)間序列分解，得到季節(jié)因子S_t。若采用乘法模型Y_t=T_t×S_t×I_t，當(dāng)S_t<1時(shí)，說明該季A.長期趨勢(shì)向下B.該季AQI低于年平均C.隨機(jī)波動(dòng)劇烈D.序列非平穩(wěn)答案：B解析：乘法模型中S_t<1表示該季實(shí)際值低于趨勢(shì)成分，即低于年平均；A、C、D均與季節(jié)因子定義無關(guān)。1.6在聚類分析中，使用Ward法合并兩類A、B，合并后類內(nèi)平方和增加量ΔESS=ESS_{AB}-(ESS_A+ESS_B)，則Ward準(zhǔn)則傾向于合并A.使ΔESS最大B.使ΔESS最小C.使輪廓系數(shù)最小D.使類間距離最大答案：B解析：Ward法追求合并后類內(nèi)平方和增加最小，即ΔESS最小，從而保持類內(nèi)同質(zhì)性。1.7某研究采用Bootstrap估計(jì)均值μ的置信區(qū)間，原始樣本n=50，重抽樣B=2000次，得到Bootstrap均值分布。若該分布右偏，則A.原始樣本一定右偏B.應(yīng)采用Bootstrapt區(qū)間以校正偏態(tài)C.原始樣本均值一定大于中位數(shù)D.Bootstrap無法處理偏態(tài)答案：B解析：Bootstrap分布右偏提示抽樣分布非正態(tài)，可用Bootstrapt區(qū)間或BCa區(qū)間校正；A錯(cuò)，Bootstrap分布偏態(tài)不一定反映原始樣本偏態(tài)；C錯(cuò)，無法直接推出；D錯(cuò)，Bootstrap正是為復(fù)雜分布設(shè)計(jì)。1.8在貝葉斯估計(jì)中，若先驗(yàn)θ~N(0,1)，似然x?|θ~N(θ,0.52)，n=16，則后驗(yàn)均值E(θ|x?)為A.x?/2B.16x?/17C.x?D.0答案：B解析：正態(tài)共軛，后驗(yàn)均值=(1/σ?2·μ?+n/σ2·x?)/(1/σ?2+n/σ2)=(0+16/0.25·x?)/(1+16/0.25)=16x?/17。1.9對(duì)二項(xiàng)分布X~Bin(n=100,p)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)H?:p=0.3vsH?:p>0.3，若觀測(cè)x=39，則精確p值為A.P(X≥39|p=0.3)B.P(X≤39|p=0.3)C.P(X=39|p=0.3)D.P(X≥39|p=0.7)答案：A解析：右側(cè)檢驗(yàn)，精確p值為在H?下取得≥39的概率。1.10在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，若采用23全因子設(shè)計(jì)，中心點(diǎn)重復(fù)3次，共運(yùn)行11次實(shí)驗(yàn)，則中心點(diǎn)的作用是A.估計(jì)三階交互B.提供純誤差估計(jì)并檢驗(yàn)彎曲C.減少區(qū)組效應(yīng)D.提高主效應(yīng)分辨率答案：B解析：中心點(diǎn)用于估計(jì)純誤差并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖诙螐澢?，若彎曲顯著則需增加軸點(diǎn)進(jìn)入響應(yīng)面設(shè)計(jì)。2.多選題（每題5分，共30分，每題至少有兩個(gè)正確答案，多選少選均不得分）2.1關(guān)于主成分分析PCA，下列說法正確的是A.第一主成分方向是數(shù)據(jù)方差最大方向B.主成分得分間樣本協(xié)方差為零C.若原始變量單位不同，應(yīng)先標(biāo)準(zhǔn)化D.保留主成分?jǐn)?shù)可依據(jù)Kaiser準(zhǔn)則（特征值>1）E.PCA可降低模型過擬合風(fēng)險(xiǎn)答案：ABCDE解析：PCA通過正交變換使得分不相關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)化避免量綱影響；Kaiser準(zhǔn)則常用；降維可減少變量數(shù)，降低過擬合。2.2下列哪些方法可直接處理缺失數(shù)據(jù)機(jī)制為MNAR（非隨機(jī)缺失）A.多重插補(bǔ)B.selectionmodelC.patternmixturemodelD.完整案例分析E.逆概率加權(quán)答案：BC解析：MNAR需建模缺失機(jī)制，selectionmodel與patternmixturemodel顯式建模；多重插補(bǔ)與IPW默認(rèn)MAR；完整案例導(dǎo)致偏倚。2.3在控制圖應(yīng)用中，關(guān)于平均運(yùn)行長度ARL，正確的有A.ARL?表示過程受控時(shí)平均點(diǎn)到信號(hào)長度B.ARL?表示過程失控時(shí)平均點(diǎn)到信號(hào)長度C.若ARL?=370，則虛發(fā)警報(bào)概率≈0.0027D.增加控制圖系數(shù)k可減小ARL?E.EWMA控制圖對(duì)中小漂移的ARL?小于Shewhart圖答案：ABCE解析：ARL?=1/α，α=0.0027對(duì)應(yīng)ARL?≈370；增加k會(huì)擴(kuò)大控制限，ARL?增大；EWMA對(duì)中小漂移更敏感，ARL?更小。2.4下列哪些技術(shù)可用于變量選擇以避免過擬合A.LASSOB.RidgeC.ElasticNetD.逐步回歸E.貝葉斯模型平均答案：ACDE解析：Ridge只收縮不置零，不能變量選擇；其余均可實(shí)現(xiàn)變量選擇或模型平均。2.5關(guān)于Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，正確的有A.是Mann-WhitneyU檢驗(yàn)的多組推廣B.要求各組方差齊性C.原假設(shè)為各組中位數(shù)相等D.若p<0.05，可進(jìn)一步進(jìn)行Dunn多重比較E.適用于有序分類數(shù)據(jù)答案：ACD解析：K-W不假設(shè)方差齊性；原假設(shè)為分布相同，實(shí)用中常解釋為位置參數(shù)/中位數(shù)；Dunn用于事后比較；有序分類可用，但需數(shù)值編碼。2.6在Meta分析中，導(dǎo)致異質(zhì)性的可能原因有A.研究設(shè)計(jì)差異B.人群基線不同C.測(cè)量工具差異D.發(fā)表偏倚E.隨機(jī)抽樣誤差答案：ABC解析：隨機(jī)誤差屬內(nèi)研究變異，異質(zhì)性指間研究變異；發(fā)表偏倚影響合并效應(yīng)而非直接產(chǎn)生異質(zhì)性。3.計(jì)算與綜合題（共80分）3.1（15分）某醫(yī)藥公司研發(fā)新型降壓藥，采用交叉設(shè)計(jì)，20名高血壓患者隨機(jī)分兩組，先后服用試驗(yàn)藥T與對(duì)照藥C，間隔2周清洗期。記錄服藥后4小時(shí)收縮壓下降值（mmHg）：患者1234567891011121314151617181920順序TCCTTCCTCTTCCTTCTCCTTCCTTCCTCTTCCTTCCTTCT下降1822152520192117231624142618192022152117C下降121810201614151319111792114151618101712（1）給出適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型，并說明假設(shè)。（2）計(jì)算兩種藥物平均下降差異的點(diǎn)估計(jì)與95%置信區(qū)間。（3）在α=0.05下給出檢驗(yàn)結(jié)論。答案與解析：（1）交叉設(shè)計(jì)常用模型：Y_{ijk}=μ+τ_i+π_j+γ_{k}+ε_(tái){ijk}，其中τ為藥物效應(yīng)，π為周期效應(yīng)，γ為個(gè)體效應(yīng)隨機(jī)。假設(shè)：差值d=T-C服從正態(tài)，個(gè)體間獨(dú)立，周期效應(yīng)可忽略或通過模型校正。（2）計(jì)算每位患者d_i：d:6,4,5,5,4,5,6,4,4,5,7,5,5,4,4,4,4,5,4,5d?=4.8，s_d=0.83，n=2095%CI=d?±t_{0.025,19}·s_d/√n=4.8±2.093×0.83/√20=4.8±0.39→(4.41,5.19)（3）H?:μ_d=0，t=d?/(s_d/√n)=4.8/(0.83/4.472)=25.9，p<0.001，拒絕H?，試驗(yàn)藥降壓效果顯著優(yōu)于對(duì)照。3.2（15分）某市交通部門欲建立多元線性回歸預(yù)測(cè)高峰時(shí)段公交車運(yùn)行時(shí)間（分鐘）。采集100條線路數(shù)據(jù)，變量：y=運(yùn)行時(shí)間，x1=里程(km)，x2=?？空緮?shù)，x3=專用道比例(%)，x4=天氣指數(shù)(1~5)。全模型回歸結(jié)果：系數(shù)β?0=5.2，β?1=2.1，β?2=0.8，β?3=?0.06，β?4=1.5標(biāo)準(zhǔn)誤SE1=0.15，SE2=0.20，SE3=0.04，SE4=0.50R2=0.81，調(diào)整R2=0.80，RSS=1200，TSS=6320。（1）寫出回歸方程，并解釋?duì)?3含義。（2）檢驗(yàn)x3系數(shù)是否顯著（α=0.05）。（3）計(jì)算x4對(duì)y的偏決定系數(shù)，并解釋。（4）若某線路里程15km，?？?0站，專用道比例40%，天氣指數(shù)3，預(yù)測(cè)運(yùn)行時(shí)間及95%預(yù)測(cè)區(qū)間（s2=RSS/(n-p)=1200/95≈12.63）。答案與解析：（1）y?=5.2+2.1x1+0.8x2?0.06x3+1.5x4；β?3=?0.06表示在其余變量不變下，專用道比例每增加1%，運(yùn)行時(shí)間平均減少0.06分鐘。（2）t=β?3/SE3=?0.06/0.04=?1.5，|t|<t_{0.025,95}≈1.985，p>0.05，不顯著。（3）先擬合不含x4的簡化模型，得RSS?=1800，則偏決定系數(shù)R2_{y4|123}=(RSS??RSS)/RSS?=(1800?1200)/1800=0.333，即控制x1,x2,x3后，x3可解釋33.3%的剩余變異。（4）y?=5.2+2.1×15+0.8×20?0.06×40+1.5×3=5.2+31.5+16?2.4+4.5=54.8min預(yù)測(cè)方差=s2(1+x?'(X'X)^{-1}x?)，設(shè)x?'(X'X)^{-1}x?≈0.06（題設(shè)給定），則SE_pred=√12.63×1.06≈3.66，t_{0.025,95}≈1.98595%PI=54.8±1.985×3.66→(47.5,62.1)min。3.3（20分）某質(zhì)量工程師記錄連續(xù)30天的產(chǎn)品缺陷數(shù)：3,2,5,4,6,2,1,0,3,4,5,7,3,2,4,6,5,3,2,4,5,6,8,4,3,2,5,7,6,4假設(shè)數(shù)據(jù)服從Poisson分布，建立c控制圖。（1）計(jì)算中心線與上下控制限（3σ）。（2）判斷過程是否受控。（3）若第31天缺陷數(shù)為9，是否應(yīng)報(bào)警？（4）若實(shí)際過程均值從λ?=4升至λ?=6，計(jì)算ARL?（使用正態(tài)近似）。答案與解析：（1）c?=Σc/30=120/30=4UCL=c?+3√c?=4+6=10，LCL=c??3√c?=4?6=?2→取0（缺陷數(shù)非負(fù)）（2）所有點(diǎn)∈[0,10]，無異常模式，過程受控。（3）9<UCL，不報(bào)警；但已接近上限，需警惕。（4）ARL?≈1/β，β為第二類錯(cuò)誤概率?？刂葡轠0,10]，λ?=6，正態(tài)近似N(6,6)β=P(0≤c≤10|λ=6)≈Φ((10.5?6)/√6)?Φ((?0.5?6)/√6)=Φ(1.84)?Φ(?2.65)=0.967?0.004=0.963ARL?=1/(1?β)=1/0.037≈27天。3.4（15分）某高校欲評(píng)估線上教學(xué)效果，隨機(jī)抽取8門課程，記錄學(xué)生平均滿意度y與教師數(shù)字素養(yǎng)得分x：x:6870727578808285y:7274757880828386（1）建立簡單線性回歸模型，給出方差分析表。（2）計(jì)算x與y的Pearson相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)H?:ρ=0（α=0.05）。（3）若某教師數(shù)字素養(yǎng)得分90，預(yù)測(cè)其課程滿意度及95%置信區(qū)間。答案與解析：（1）計(jì)算得：x?=76.25，?=78.75，Sxx=354.5，Syy=338.5，Sxy=344.5β?1=Sxy/Sxx=0.972，β?0=??β?1x?=4.68回歸方程：y?=4.68+0.972xSSReg=β?1Sxy=334.8，RSS=Syy?SSReg=3.7，TSS=338.5ANOVA：F=(SSReg/1)/(RSS/6)=334.8/0.617=542.6，p<0.001，顯著。（2）r=Sxy/√(SxxSyy)=344.5/√(354.5×338.5)=0.996t=r√(n?2)/√(1?r2)=0.996×√6/0.089=27.4，p<0.001，拒絕H?。（3）x?=90，y?=4.68+0.972×90=92.2SE_pred=√[MSE(1/n+(x??x?)2/Sxx)]=√[0.617(1/8+13.752/354.5)]=1.23t_{0.025,6}=2.44795%CI=92.2±2.447