2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高二數(shù)學(xué)2026.01本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上填寫自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名，并把條形碼粘貼在指定位置．2．請(qǐng)按照要求答題，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，再寫上新答案；不準(zhǔn)使用涂改液．不按以上要求作答，視為無(wú)效．3．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則的傾斜角為（）A B. C. D.2.已知向量，若向量與垂直，則（）A. B. C. D.23.記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A. B. C.1 D.24.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則（）A.12 B.15 C.18 D.215.已知雙曲線的離心率為e，一條漸近線的斜率為k，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.6.在等比數(shù)列中，已知，且，若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A127 B.255 C.511 D.10237.在三棱臺(tái)中，，且，若平面，則點(diǎn)到直線的距離為（）A B. C. D.8.設(shè)為曲線的焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，則最小值為（）A. B. C.5 D.7二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則（）A.B.可以作為空間中的一組基底C.若，則四點(diǎn)共面D.10.在數(shù)列中滿足，若數(shù)列單調(diào)遞增，且數(shù)列單調(diào)遞減，則（）A B.C. D.11.已知圓，直線，動(dòng)點(diǎn)在上，且動(dòng)點(diǎn)在圓上，則（）A.圓心在一條定直線上B.若的最小值恰為，則C.當(dāng)時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)可以為D.若，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線，若，則__________．13.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為__________．14.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)值為__________；若，且，則的取值范圍為__________四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)，且經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相切，求的方程．16.已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．（1）求的值；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的方程．17.如圖，在四棱錐中，平面．（1）證明：；（2）若均在球的球面上，且球的表面積為．（i）求的長(zhǎng)；（ii）求平面與平面夾角的余弦值．18.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）若，現(xiàn)將中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，…，第項(xiàng)移除，余下的項(xiàng)按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為．已知任意，求實(shí)數(shù)的最小值．19.已知橢圓的焦距為4，且的離心率為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)且斜率非零的直線與交于兩點(diǎn)，且在線段上．（i）證明：直線的斜率之和為0；（ii）若，求直線的斜率．2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高二數(shù)學(xué)2026.01本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上填寫自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名，并把條形碼粘貼在指定位置．2．請(qǐng)按照要求答題，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，再寫上新答案；不準(zhǔn)使用涂改液．不按以上要求作答，視為無(wú)效．3．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩點(diǎn)間斜率公式求出直線斜率即可求傾斜角.【詳解】設(shè)的傾斜角為，則由題可得直線斜率為.故選：C2.已知向量，若向量與垂直，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先求出向量，再由向量垂直的坐標(biāo)表示即可計(jì)算求解.【詳解】由題意向量，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以.故選：B3.記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，再由即可計(jì)算得解.【詳解】由函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，所以.故選：A4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)列出關(guān)于的方程組求出即可計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，所以.故選：C5.已知雙曲線的離心率為e，一條漸近線的斜率為k，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線離心率與漸近線的斜率得到關(guān)于的關(guān)系式，從而得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，則，又，所以，則漸近線方程為．故選：A.6.在等比數(shù)列中，已知，且，若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.127 B.255 C.511 D.1023【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題設(shè)求出公比得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，則由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可計(jì)算.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，故，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由得，即，即，解得，所以，所以，所以.故選：D

7.在三棱臺(tái)中，，且，若平面，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出和直線的單位方向向量即可由點(diǎn)到直線向量法距離公式直接計(jì)算求解.【詳解】由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，所以直線的單位方向向量為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：D8.設(shè)為曲線的焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，則最小值為（）A. B. C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，與拋物線聯(lián)立求出韋達(dá)定理，由韋達(dá)定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，接著過點(diǎn)P作垂直準(zhǔn)線并交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為即可計(jì)算求解.【詳解】由題可設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，且，聯(lián)立方程得，∴，∴，則，易知的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，∴如圖，過點(diǎn)P作垂直準(zhǔn)線并交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則（）A.B.可以作為空間中的一組基底C.若，則四點(diǎn)共面D.【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A，利用空間向量不共面的判定法則判斷B，利用空間向量的共面定理判斷C，利用空間向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D即可.【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，，，對(duì)于A，由題意得，，則，可得不成立，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由題意得，，，則，，設(shè)，得到，此方程組無(wú)解，則可以作為空間中的一組基底，故B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面，故C正確，對(duì)于D，由題意得，，則不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.在數(shù)列中滿足，若數(shù)列單調(diào)遞增，且數(shù)列單調(diào)遞減，則（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】由遞推公式結(jié)合題設(shè)條件依次代入即可求解判斷A；由前兩項(xiàng)和單調(diào)性得到即可求解判斷B；由結(jié)合遞推式即可計(jì)算求解判斷C；由結(jié)合求出的前2025項(xiàng)再累加即可求解判斷D.【詳解】，所以（舍去）或，所以或，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，故，故A正確；因?yàn)?，?shù)列單調(diào)遞增，且數(shù)列單調(diào)遞減，所以，故相鄰兩項(xiàng)，故B正確；因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：ABD11.已知圓，直線，動(dòng)點(diǎn)在上，且動(dòng)點(diǎn)在圓上，則（）A.圓心在一條定直線上B.若的最小值恰為，則C.當(dāng)時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)可以為D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)式求出圓心即可得解判斷A；由題意得到到的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系計(jì)算即可得解判斷B；由弦長(zhǎng)公式得到，求證其不成立即可得解判斷C；由題設(shè)分析得到即可列式求解判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以圓心，圓心定直線上，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若的最小值恰為，則到的距離為，∴，解得，選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，到直線的距離為，此時(shí)，若被圓截得的弦長(zhǎng)為，則，即，∵，∴不可能成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)和圓有公共點(diǎn)時(shí)，即，解得，此時(shí)顯然存在動(dòng)點(diǎn)使得，當(dāng)和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，易知，欲使最大，則需與圓相切于，且與圓相切于，如圖所示，顯然，當(dāng)時(shí)，最短，即最大，∴也最大，即最大，若，則，解得，∴，解得或，綜上所述，，選項(xiàng)D正確，故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線，若，則__________．【答案】2【解析】【分析】由直線垂直的充要條件即可計(jì)算求解.【詳解】直線即，若，則.故答案為：213.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】將代入橢圓求出即可分析計(jì)算求解離心率.【詳解】將代入橢圓得.所以，即，所以，則的離心率為.故答案為：14.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為__________；若，且，則的取值范圍為__________【答案】①.1②.【解析】【分析】求出，即可計(jì)算求解c；由c得到以及，進(jìn)而消元得到，接著構(gòu)造，由b的范圍和以及的單調(diào)性即可分析求解.【詳解】由題可知，∴，令，又，∴，∴，∴；∵，∴，且，∵，且由，及，可知，∴令函數(shù)，則，且易知為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，易知，∴的取值范圍為．故答案為：1；.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)，且經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相切，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可由點(diǎn)斜式求解；（2）先設(shè)切點(diǎn)為求出切點(diǎn)處的切線方程，代點(diǎn)求出切點(diǎn)即可求解切線方程.【小問1詳解】易知，所以切線斜率為∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】由題，∴，設(shè)切點(diǎn)為，∴切線方程為，又切線過點(diǎn)，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，切線方程為，即，∴的方程為，或．16.已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．（1）求的值；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線，可得到的值，進(jìn)一步用表示出來(lái)，解方程可得答案；（2）用表示出來(lái)，代入值，解方程可得答案.【小問1詳解】顯然直線的斜率非零，不妨設(shè)的方程為，聯(lián)立整理得，易知，設(shè)，∴，∴，∴．【小問2詳解】由（1）得，則，∴，∴．此時(shí)的方程為，即．17.如圖，在四棱錐中，平面．（1）證明：；（2）若均在球的球面上，且球的表面積為．（i）求的長(zhǎng)；（ii）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）依次求證、，進(jìn)而得到平面，即可求證；（2）（i）求證為的外接圓圓心且半徑以及平面即可分析計(jì)算求解；（ii）方法一：過作于，求證為二面角的平面角，并計(jì)算即可求解；方法二：建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面法向量，由向量法公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵，∴為正三角形，即有，在等腰梯形中，，則，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴．【小問2詳解】（i）∵，∴為等邊三角形，∴，即為四邊形外接圓的圓心，∴為的外接圓圓心，半徑，且平面，∵平面，∴，且，∴球的半徑，∵，∴，∴，∴．（ii）方法一：過作于，∵平面，∴平面，又∵平面，∴，∴為二面角的平面角，∵，∴二面角的平面角的余弦值為，∴平面與平面夾角的余弦值為．方法二：如圖所示，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，∴，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，∴平面與平面夾角的余弦值為．18.記數(shù)列前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）若，現(xiàn)將中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，…，第項(xiàng)移除，余下的項(xiàng)按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為．已知任意，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）分別由求出首項(xiàng)和得到第二條遞推式與原遞推式作差求出通項(xiàng)，再檢驗(yàn)即可求解；（2）先由得，再計(jì)算分析即可得證；（3）由數(shù)列的特性分析得到和，接著計(jì)算、，代入恒等式分析即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①又，②