答題模板16數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）有關(guān)的9類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一數(shù)列不等式的證明方法二不等式放縮方法三數(shù)列最值方法四參數(shù)求解方法五與三角函數(shù)綜合方法六與概率綜合方法七與導數(shù)綜合方法八與解析綜合第三部分題型專攻實施靶向訓練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明【題型02】不等式放縮【題型03】數(shù)列最值【題型04】參數(shù)求解【題型05】與三角函數(shù)綜合【題型06】與概率綜合【題型07】與導數(shù)綜合【題型08】與解析綜合【題型09】數(shù)列新定義第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學習成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值。

2.思維瓶頸：精準診斷學生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值）數(shù)列綜合大題是考查數(shù)學高階思維與核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體。試題超越基礎(chǔ)公式，將數(shù)列與不等式證明、放縮技巧、最值及參數(shù)求解深度融合，并廣泛與三角函數(shù)、概率、導數(shù)、解析幾何交叉，或設(shè)置“新定義”情境。它從數(shù)列作為離散函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，綜合運用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，通過代數(shù)變形、數(shù)學歸納、導數(shù)工具等方法解決問題，全面考查邏輯推理、運算求解及跨模塊整合能力。核心考查四大方向：數(shù)列與不等式：證明、放縮求和、求最值或參數(shù)范圍，需掌握裂項、等比等放縮技巧及數(shù)學歸納法。數(shù)列與其他知識交叉：與三角、概率、導數(shù)、解析幾何結(jié)合，檢驗知識聯(lián)系與遷移能力。數(shù)列新定義問題：理解新概念并探究性質(zhì)、求解，考查抽象素養(yǎng)與學習遷移能力。極限與收斂性（以探究為主）：借助單調(diào)有界性討論極限存在與求解。2.思維瓶頸（精準診斷學生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）數(shù)列特性把握不足：不善于從遞推關(guān)系求通項，忽略單調(diào)性、有界性等性質(zhì)的應(yīng)用。放縮技巧生硬：放縮“度”控制不當，盲目套用公式，缺乏目標導向的配湊能力。跨知識整合弱：難以建立數(shù)列與三角、概率、導數(shù)等知識的有效聯(lián)系。畏懼新定義：信息提取與轉(zhuǎn)化能力不足，無法將新定義化為已知模型。運算能力欠缺：復雜運算、遞推、變形過程中易出錯。缺乏探究意識：不善于從特殊項入手猜測規(guī)律并證明。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識體系：熟記數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）的相關(guān)知識內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點。2.通用解法模板化：針對高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導-驗證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯點專項突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計針對性訓練題，通過對比正確與錯誤解法，強化對知識邊界的理解，避免重復犯錯。結(jié)論背記一、二級結(jié)論1.數(shù)列放縮（1），其中：可稱為“進可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號的方向進行選擇。注：對于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個常數(shù)，即可放縮為符合裂項相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2），從而有：注：對于還可放縮為：（3）分子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混，通常在解題時，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時不妨先構(gòu)造出形式再驗證不等關(guān)系。（4）可推廣為：技法歸納方法一數(shù)列不等式的證明數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學教學中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學知識的綜合運用，還要求學生具備嚴謹?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強加練習.例題1（2025·遼寧沈陽·三模）已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出數(shù)列的公差，可求出數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項求和法求出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以，故.（2）因為，所以，故原不等式成立.例題2（2025·江蘇·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列與的所有項從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項和；②證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意可得，對于取，即可求出、，從而求出通項公式；（2）①首先求出，即可得到，從而求出其前20項和；②由，分及兩種情況討論，當時利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，由，取，得，即，解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，因為，所以，所以的前20項和為；②證明：因為，所以，所以當時，；當時，，綜上可得.例題3（25-26高三上·廣西南寧·開學考試）已知．(1)求的通項公式；(2)令，為的前項之積，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知可得，且，由等差數(shù)列的定義寫出通項公式即可；（2）利用導數(shù)證明，進而得到，可得，累加即可證.【詳解】（1）由，又由題意知，，左右同時除以得，所以，則，故是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，可得；（2）令函數(shù)，求導得，在上單調(diào)遞增，，即，取，則，于是，由（1）知，,，所以.例題4（2025·天津南開·一模）已知公差大于0的等差數(shù)列的前項和為，且是的等比中項．(1)求的通項公式及；(2)記為在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，為數(shù)列的前項和．（i）若，求的最大值；（ii）設(shè)，證明：．【答案】(1)；(2)（i）5；（ii）證明見解析..【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式及等差中項的性質(zhì)、通項公式求基本量，進而得到的通項公式及；（2）（i）根據(jù)已知得，即得，應(yīng)用等差、等比前n項和公式及分組求和得，再由能成立求的最大值；（ii）由（i）得，判斷其單調(diào)性即可得，應(yīng)用基本不等式及放縮有，應(yīng)用錯位相減法求右側(cè)的前n項和，即可證.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，即①，，即②，將①代入②得，因為，解得，所以．（2）（i）令，即，解得，所以，即的通項公式為所以．又，所以．由，得，因為，所以的最大值為5．（ii）由（i）知，則，所以．設(shè)①，則②，①②得，所以．因為，所以．綜上，．方法二不等式放縮放縮的基本思路是將通項適當放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過多角度觀察通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準突破口，怡當放縮，難度中等偏上、需強加練習.例題5（2025·河南·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)記的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知等式變形得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）驗證當時，不等式成立；當時，推導出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得不等式成立.【詳解】（1）由題設(shè)條件，可得若，則，用反證法，假設(shè)，由題設(shè)條件，顯然，這與已知條件矛盾，所以.因為，所以，，，所以，，由得，所以，又，所以是首項、公比均為的等比數(shù)列.所以，則.（2）顯然時，成立，當時，，所以，所以，所以，即，所以，所以.綜上，，得證.方法三數(shù)列最值例題6（2025·山東·三模）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求使得成立的的最大值；(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)45(3)【分析】（1）利用時結(jié)合已知等式得首項，再由代入等式，轉(zhuǎn)化得到是等差數(shù)列，進而求出的通項.（2）由求出，再通過與的前項和關(guān)系得到的分段表達式，分和討論的不等式，求解的最大值.（3）寫出的分段形式，時對通項進行裂項相消拆分，再分和計算前項和.【詳解】（1）因為，所以，在中令，得.所以當時，由及，得，所以.又，所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列..所以.（2）由（1）知（）.當時，，滿足上式，所以，則（）.當時，，不滿足上式，所以當時，，顯然成立；當時，有，所以，又，所以的最大值為45.（3）設(shè)，當時，，當時，所以.當時，上式也符合，所以.例題7（2025·福建·模擬預測）數(shù)列的前項和為，已知且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的最大值．【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）利用即可求解；（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）∵①，∴②，①-②得：，，②中令n＝2，則，∴，為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知：，則，所以所以當時，有最大值.方法四參數(shù)求解對于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問題,對于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過運算法則或者求導進行判斷,數(shù)列可通過作差法進行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏上、需強加練習.例題8（2025·河南·一模）數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求使成立的最小正整數(shù)的值【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知得，再應(yīng)用作差法及等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)（1）得，應(yīng)用裂項相消法求，根據(jù)不等式能成立求參數(shù)值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列，則，由，得，所以，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，因此，解得，所以滿足題意的最小正整數(shù).例題9（2025·四川達州·一模）已知為等差數(shù)列，前項和為，且．(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出等差數(shù)列的首項和公差，進而求出.（2）先求出，然后求出并化簡，進而求解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，因為.所以，解得.所以.（2）.所以.因為不等式對任意恒成立，則有對任意恒成立，又，所以.例題10（2025·寧夏·一模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）等式兩邊同時除以可得；（2）（ii）由錯位相減法求和即可；（ii）構(gòu)造數(shù)列，由不等式組求數(shù)列的最值大即可.【詳解】（1）因為，即，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列.（2）（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因為，所以，令，不妨設(shè)的第項取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.方法五與三角函數(shù)綜合數(shù)列、三角是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可和三角函數(shù)綜合考查，需強化復習例題11（2025·陜西西安·一模）將函數(shù)的零點按照從小到大的順序排列，得到數(shù)列，且.(1)求；(2)求的單調(diào)增區(qū)間，并說明在上的單調(diào)性；(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）解方程，結(jié)合求解；（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）說明是等差數(shù)列，根據(jù)求和公式求解.【詳解】（1）由，得，所以或，解得或，因為且，所以時，或，解得或當時，，此時，而，不合題意，所以.（2）由（1），由，得，因為，所以單調(diào)增區(qū)間為，因為，所以，當，即時單調(diào)遞增，當，即時，單調(diào)遞減；（3）當時，由或，得或，又，所以的奇數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為的等差數(shù)列.所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；所以方法六與概率綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題12（2025·四川成都·二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進行，只有答完一輪才能進入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機地派出一道通識題或?qū)ＷR題，派出通識題的概率為，派出專識題的概率為.已知某選手答對通識題與專識題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨立.(1)求該選手在一輪答題中答對題目的概率；(2)記該選手在第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】(1)；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算得解.（2）（i）將第3輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的事件進行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互獨立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出遞推公式，再利用構(gòu)造法求解得證.【詳解】（1）設(shè)事件“一輪答題中系統(tǒng)派出通識題”，事件“該選手在一輪答題中答對”，依題意，，，因此，所以該選手在一輪答題中答對題目的概率為.（2）（i）設(shè)事件“該選手在第輪答對題目”，各輪答題正確與否相互獨立，由（1）知，，當時，挑戰(zhàn)顯然不會終止，即，當時，則第1、2輪至少答對一輪，，由概率加法公式得；同理.（ii）設(shè)事件“第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止”，當時，第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的情況有兩種：①第輪答對，且第輪結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止；②第輪答錯，且第輪答對，且第輪結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止，因此第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的事件可表示為，則，而各輪答題正確與否相互獨立，因此，當時，，設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，當時，，整理得，而，則，解得或，當時，因此當時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；當時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以存在實數(shù)或，使得數(shù)列為等比數(shù)列.例題13（2025·四川德陽·模擬預測）某商場擬在年末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點數(shù)不超過2點，獲得1分，否則獲得2分，進行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到禮券，最多進行19輪游戲.(1)當進行完3輪游戲時，總分為，求的期望；(2)若累計得分為的概率為，（初始得分為0分，）.①證明數(shù)列，，，，是等比數(shù)列；②求活動參與者得到禮券的概率.【答案】(1)(2)①證明見解析，②【分析】（1）由題意可知每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨立，設(shè)進行完輪游戲時，得分的次數(shù)為，所以，，即可求出的期望.（2）①根據(jù)累計得分為分的概率為，分兩種情況討論，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法求證即可；②根據(jù)①可求出，再根據(jù)累加法可求出，再由從而求解即可.【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，設(shè)進行完輪游戲時，得分的次數(shù)為，所以，所以，，，，，而，所以隨機變量的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為：所以.（2）①證明：，即累計得分為分，是第一次擲骰子，向上點數(shù)不超過點，，則，累計得分為分的情況有兩種：（i），即累計得分，又擲骰子點數(shù)超過點，其概率為，（ii）累計得分為分，又擲骰子點數(shù)沒超過點，得分，其概率為，所以，所以，，，，，所以，，，，是首項為，公比為的等比數(shù)列.②因為數(shù)列，，，，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，各式相加，得，所以，，，，，所以活動參與者得到禮券的概率為：.例題14（2025·江蘇·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B兩種套餐，員工小李第一天午餐時隨機選擇一種套餐，如果前一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為；如果前一天選擇B套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為.(1)食堂對A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進行了改善后，對員工對于A套餐的滿意程度進行了調(diào)查，統(tǒng)計了120名員工的數(shù)據(jù)，如下表（單位：人）套餐A滿意度A套餐改善前A套餐改善后合計滿意204060不滿意303060合計5070120根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善有關(guān)？(2)若A套餐擬提供2種品類的素菜，種品類的葷菜，員工小李從這些菜品中選擇3種菜品，記選擇素菜的種數(shù)為X，求的最大值，并求此時n的值；(3)設(shè)員工小李第n天選擇B套餐的概率為，求.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)認為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系(2)，或(3)【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出的觀測值，再與臨界值作對比即可判斷；（2）利用古典概率模型、結(jié)合組合計數(shù)問題求出的表達式，構(gòu)造數(shù)列并判斷單調(diào)性求出最大值；（3）根據(jù)題干信息求出與的關(guān)系，再利用構(gòu)造法求出通項.【詳解】（1）零假設(shè)：認為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)計算，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即接受，因此認為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系.（2）依題意，，令，，當且僅當時取等號，當時，，當時，，即當時，數(shù)列單調(diào)遞減，于是，所以的最大值為，此時或.（3）由員工小李第n天選擇B套餐的概率為，則員工小李第n天選擇A套餐的概率為，因此，而，，又，因此，所以.方法七與導數(shù)綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題15（2025·福建福州·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足．(1)若，求；(2)若，求的通項公式；(3)記為數(shù)列的前項和，若，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式以及附加條件求出，再結(jié)合遞推公式即可求解.（2）令，可得，結(jié)合二倍角公式可引入新數(shù)列，，求得的值，并說明唯一即可求解.（3）將原不等式轉(zhuǎn)換為，先證明，可構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式，從而即可放縮，再證明，根據(jù)三角函數(shù)的有界性放縮即可得證.【詳解】（1）由題，，且，又，代入，解得，所以，，，故．（2）令，則有，即，又，則，此時不妨令，則，則有，即討論周期性對唯一性的影響：不妨令，則當時，，不合題意，舍去；當時，符合題意；此時，同理，唯一，即唯一．即，故．（3）由若，且，則，聯(lián)立解得，原不等式可轉(zhuǎn)化為，先證明：由，，由（2）可推，則，令函數(shù)，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有，所以在上單調(diào)遞增，又，則，所以，則，故，又因為，所以，證明：由，則，當且僅當時取等，所以，故，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是對進行適當?shù)姆趴s，由此即可順利得解.例題16（2025·河南·三模）已知函數(shù)(1)當時，求的零點個數(shù)；(2)若，求的最大值；(3)證明：.【答案】(1)兩個(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可得到的零點個數(shù)；（2）先利用必要性探路得到，再去證明的充分性；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，對進行放縮，再放縮求和即可得證.【詳解】（1）當時，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，所以有兩個零點.（2）由，得，下證當時，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.（3）證明：由（2）可得，當且僅當時取等號，所以，所以且因為當時，所以，所以即.例題17（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間(2)(3)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導函數(shù)，利用導數(shù)證明，由此確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合關(guān)系，，得出在上恒成立的必要條件為，再證明時，在恒成立，時不滿足條件，可得結(jié)論；（3）由（2）可建立關(guān)系式，令可得，取累加得證．【詳解】（1）當時，的定義域為，則，令，則，令，則，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增，所以在時取最小值，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間．（2）因為，，所以要使當時，，必須滿足，即．下面證明滿足題意：①當時，由，．令，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，所以當時，，即；②當時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，當時，，所以存在，使得，所以當時，，即在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以當時，不恒成立．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．（3）由（2）知，當，時，，即，所以．令，則，，所以令，則，所以，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三小問解決的關(guān)鍵在于找到不等式與函數(shù)在結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系.方法八與解析綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題18（2025·浙江·一模）已知漸近線為的雙曲線過點，過點且斜率為的直線交雙曲線于異于的點，記的面積為.(1)求雙曲線的方程；(2)求；(3)證明：.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）雙曲線的方程為代入計算得解；（2）聯(lián)立方程與，解得的橫坐標.求出，計算，代入得解；（3）將利用放縮法得到，利用裂項相消求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，代入得，故雙曲線的方程為.（2）聯(lián)立方程與，解得的橫坐標.因為，故，所以.（3）因為，故，當時成立.故.

例題19（2025·福建·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，為拋物線C上的一個動點（不與坐標原點重合），．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點，按照如下方式構(gòu)造點，設(shè)直線為拋物線C在點處的切線，過點作的垂線交拋物線C于另一點，記的坐標為．（?。┳C明：當時，；（ⅱ）設(shè)的面積為，證明：．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析

（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)及題意即可求解；（2）由題意求出直線，與拋物線聯(lián)立進而求出點的橫坐標，代入拋物線方程可得其縱坐標，進而可得與的不等關(guān)系，用累加法求解即可證明；（3）求出點F到直線的距離，求出弦長，進而可得的面積，結(jié)合可得，用放縮的方法求即可求解.【詳解】（1）拋物線C的準線方程為，所以，所以，解得，所以C的方程為；（2）（?。┰O(shè)，因為，所以點處的切線斜率為，所以直線斜率為，所以直線，與聯(lián)立可得，，可得，即的橫坐標為，所以，當時，有，又由，故，所以；（ⅱ）易知直線，F(xiàn)到直線的距離為，，所以，因為，由（1）知，即，所以當時，，所以當時，，所以，當時，，當時，．所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識的結(jié)合，需要綜合運用多方面知識方可得解.模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓練內(nèi)容緊密貼合當前考查方向與命題動態(tài)，幫助學生把握前沿考點。2.按題型進行系統(tǒng)分類與專項訓練，使學生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明（共7題）1．（2025·吉林長春·三模）記為數(shù)列的前項和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．【答案】(1)不是等比數(shù)列，且(2)證明見解析【分析】（1）當時，求出的值，當時，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合可得出結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于的方程，解出的值，可得出數(shù)列的通項公式，放縮可得，結(jié)合裂項相消法可證得所證不等式成立.【詳解】（1）因為，且對任意的，，當時，，當時，由可得，上述兩個等式作差得，即，所以，又因為，故數(shù)列不是等比數(shù)列，且該數(shù)列是從第項開始成公比為的等比數(shù)列，當時，，即，綜上所述，.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，且，，，，所以，，，因為、、成等比數(shù)列，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以，所以，故原不等式得證.2．（2025·山東聊城·模擬預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為．正項等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項與求和公式的關(guān)系，可得數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的概念，可得答案；（2）根據(jù)裂項相消求和，可得答案.【詳解】（1）由題意可得，所以因為，所以，即，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.（2）所以3．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，對任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式；(3)記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，再利用待定系數(shù)法解得，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求．（2）方法一：由題意得，再根據(jù)累乘法得到，方法二：構(gòu)造數(shù)列，得到數(shù)列為常數(shù)列即可求解；（3）由題意得，先證，再累加即可證得．【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，當且時，，，當時，滿足，綜上所述：.方法二：由（1）得：，，，，，令，則數(shù)列為常數(shù)列，，；（3）由（1）知，，下面證明，設(shè)，，則，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以．4．（2025·四川·模擬預測）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）分析可知，對任意的，且，可得出，變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證得結(jié)論成立；（2）利用（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項公式，分析可知數(shù)列是各項均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，分、兩種情況，由結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立；（3）由不等式的性質(zhì)得出，利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，可得出，由結(jié)合不等式的傳遞性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，且，可得，由，得，可得，由，得，可得，，以此類推可知，對任意的，且，所以，所以，可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為.（2）由（1）可得，所以，故，易知數(shù)列是各項均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，因為，所以，當時，，當時，，所以，所以，對任意的，，綜上所述，.（3）因為，所以，令①，可得②，①②得，所以，故，故對任意的，.5．（2025·河南·模擬預測）已知函數(shù)，，記的零點為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項；(3)證明：.【答案】(1)1(2)(3)證明見解析【分析】（1）對求導，確定單調(diào)性即可求解；（2）由通過作差得到，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性，確定數(shù)列單調(diào)性即可求解；（3）令，求導確定單調(diào)性，得到，再通過，分別令和，即可證.【詳解】（1）當時，，定義域為，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點1，即；（2）由的零點為，得，兩式相減得：，即，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得到，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列中的最小項是；（3）令，則，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，當且僅當時，等號成立，即，因為，所以,所以，所以，所以在中，令，得當且僅當時，等號成立，當時，，所以當且僅當時，，中等號成立，所以，所以，當且僅當時等號成立，當時，在中，令，得，所以，所以當時，，當時，成立，所以，綜上得證.6．（2025·江蘇連云港·模擬預測）在數(shù)列中，，對于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)成等比數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令，和，依次求出，利用等比數(shù)列定義判斷即可；（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，即可利用累加法求出，從而可得，，，再利用等比數(shù)列定義判斷即可；（3）當為奇數(shù)時，，，當為偶數(shù)時，，，利用放縮法求出數(shù)列的前項和為，即可證明.【詳解】（1）當時，成公差為1的等差數(shù)列，則，；當時，成公差為2的等差數(shù)列，則，；當時，成公差為3的等差數(shù)列，則．所以，，從而，故成等比數(shù)列.（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，可得：，，，，，累加得因為，，成公差為的等差數(shù)列，所以，，又因為，，成公差為的等差數(shù)列，所以，所以，得，，成等比數(shù)列．（3）由，由（2）知：當為奇數(shù)時，，，當為偶數(shù)時，，，故，且對一切正整數(shù)，有，時，，綜上，．7．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項和為．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項公式及前項和；（ⅱ）若，數(shù)列滿足，，求證：對任意正整數(shù)，都有．【答案】(1)或(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）方法1：由及，利用等差數(shù)列基本量的運算求解即可；方法2：先求出，然后利用化簡得，將已知條件代入求解即可.（2）（?。┡c相減得，，利用累乘法得，即可；（ⅱ）由（?。┑?，進而求得，累加法結(jié)合即可證明.【詳解】（1）方法1：，，，由或，于是或，所以或．方法2：顯然，則，于是，所以，相減得，即，所以，，又，，解得或.（2）（?。┊敃r，，即，所以，相減整理得，，所以，，…，，累乘得，，也滿足上式，所以．所以．（ⅱ），，顯然．，所以，，…，，累加得，得證．【題型02】不等式放縮（共3題）8．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)記的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)利用分和結(jié)合等差數(shù)列定義即可依次求出數(shù)列的首項和通項公式；（2）由錯位相減求和方法結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式即可求解；（3）方法一：由和放縮公式結(jié)合裂項相消求和法計算求證即可得證；方法二：由數(shù)列的單調(diào)性和放縮公式得到即可計算求證.【詳解】（1）由題令，則，解得，當時，，所以，即，因為，且是遞增數(shù)列，所以，所以，即是公差和首項均為2的等差數(shù)列，所以.（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，因為，所以，所以，則，兩式相減得，即.（3）方法一：，所以，①因為，所以，②①+②得，即，所以.方法二：因為是遞增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列.所以，所以，所以.9．（2024·上海靜安·一模）如果函數(shù)滿足以下兩個條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對任意的，有；②對于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和型函數(shù)的定義即可證明；（2）取值，則，再結(jié)合型函數(shù)的定義即可證明；（3）放縮得，再不斷放縮有，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】（1）記；對任意的，有；對于任意的，若，則，即.故函數(shù)是型函數(shù).（2）設(shè)，且，則.因此，可知在上為增函數(shù).（3）因為，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用型函數(shù)的性質(zhì)放縮得，最后再不斷放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可.10．（2025·貴州·模擬預測）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項公式；(3)證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進行計算，即可求得，的值；（2）由，分別化簡求得，，得到，得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可求解；（3）由（1）知且，求得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得證.【詳解】（1）解：由數(shù)列中，，，可得，.（2）解：由，可得，，所以，因為，所以，即，又因為，可得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為．（3）解：由（1）知且，可得，所以，又由，因為顯然成立（當且僅當時等號成立），所以，因此.【題型03】數(shù)列最值（共4題）11．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和；(3)若，求使取得最大值時的的值.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，作差可得，即可根據(jù)等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）求得，利用錯位相減法可求；（3）根據(jù)，可得；從而判斷的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）因為且，所以，由，可得：，兩式相減得：，因為，所以，，又，綜上，對任意的，，所以是首項和公比均為的等比數(shù)列，所以，.（2）由題意，，①②①②得所以，（3）由（1）可得，所以，時，由，可得；當時，，當時，，當時，，當時，，所以，所以，綜上，或時，取得最大值.12．（2025·陜西西安·模擬預測）等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．(1)求和的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2n項和，(3)求的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值.【分析】（1）通過基本量運算求得公差和公比，得到通項公式；（2）將分組，分別利用等差數(shù)列前項和公式和錯位相減法求得各組的和，得到；（3）利用化簡和式，討論的奇偶得到最值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，解得，所以，；（2）由（1），，，所以令，即①，則②，①-②得：，整理得所以；（3）因為，設(shè)所以，當為奇數(shù)時，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知隨增大而增大，故；當為偶數(shù)時，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知隨增大而減小，故，又當時，，介于與之間，所以的最大值為，最小值為.13．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項和為，且滿足，.(1)當數(shù)列為等差數(shù)列時，求的通項公式及；(2)當在單調(diào)遞增時，設(shè)，求的值；(3)當數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動數(shù)列時，設(shè)，求的最大值和最小值.【答案】(1)，.(2)(3)最大值為1，最小值為.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義列方程組解得首項和公差即可求得結(jié)果；（2）經(jīng)分析可知只有當時，在單調(diào)遞增，滿足題意，再利用裂項求和可得結(jié)果；（3）由（2）可知當時為等比數(shù)列且為擺動數(shù)列時，對表達式化簡分析可求的結(jié)果.【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，所以，所以，.（2）當數(shù)列為等差數(shù)列時，由（1）知，顯然在不單調(diào)；當數(shù)列為等比數(shù)列時，假設(shè)公比為，，解得或，當時，，易知在單調(diào)遞增；當時，，易知在不單調(diào)，所以，所以，.（3）當數(shù)列為等比數(shù)列時，由（2）知或，又為擺動數(shù)列，所以，，所以，當為奇數(shù)時，單調(diào)遞減，，當時取得最大值1，當為偶數(shù)時，單調(diào)遞增，，當時取得最小值，所以的最大值為1，最小值為.14．（2025·廣西來賓·模擬預測）已知數(shù)列的首項，且滿足，數(shù)列前n項和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求證：；(3)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2025.【分析】（1）對兩邊取倒數(shù)，并整理得，進而根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷；（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，結(jié)合（1）得，進而通過作差法比較大小即可證明；（3）結(jié)合（1）得，進而求數(shù)列的前n項和，再根據(jù)其單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）記，由題意，數(shù)列滿足，可得所以，又，所以，則為常數(shù)，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為（2）由（1）知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以得故，從而，所以.（3）解：由（1）知，所以，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則若，即，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，且所以滿足的最大整數(shù)n的值為2025.【題型04】參數(shù)求解（共7題）15．（2025·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求證：為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為.①求；②若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2)①；②【分析】（1）利用構(gòu)造法，即可得等差數(shù)列遞推關(guān)系，從而可求得通項公式；（2）①利用錯位相減法，即可求和；②利用分離參變量法，再利用遞推關(guān)系求解數(shù)列中的最大項，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由.則數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項公式為；（2）①由（1）得，則.于是，上兩式相減得：，所以.②由，得.令，所以，所以不是數(shù)列的最大項，不妨設(shè)的第項取得最大值.由，即解得，即數(shù)列的最大值為，所以，即的取值范圍是.16．（2025·遼寧葫蘆島·一模）設(shè)數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，滿足，記，分別為數(shù)列，的前項和，且，．(1)求的通項公式；(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出和，即可求出的通項公式；（2）先求出，可得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式求出，根據(jù)題意可得，即可求出的取值范圍.【詳解】（1），，解得，；由，可知，；，，又，，即，解得或（舍去），．（2）由（1）知：可知，，解得，所以為等差數(shù)列，故，存在，有即又所以故，整理解得．所以的取值范圍是.17．（2025·江蘇南通·模擬預測）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，不等式對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用及等差數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）求出及并裂項，再按分奇偶求出，進而求出的最小值即可.【詳解】（1）在正項數(shù)列中，，則，所以是等差數(shù)列.（2）由（1）知，等差數(shù)列的首項，公差，則，，，于是，而滿足上式，因此，，則，，顯然，且數(shù)列單調(diào)遞增，，因此，又不等式對任意正整數(shù)n恒成立，則，所以實數(shù)的取值范圍是.18．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，，若數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)已知，記，求.(3)在（2）的條件下，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由求出，進而得，由得，由得，最后利用累加法即可求解；（2）由（1）有，利用裂項相消法即可求解；（3）由恒成立，得恒成立，令，求出其最大值即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，所以，所以，由有：，即，化簡得，解得，所以，所以；又由，所以，由，所以，解得，當時，，當時，，所以；（2）由（1）有，所以；（3）由恒成立，所以，即恒成立，令，所以，當時，，當時，，當時，，所以，所以，所以，所以，所以實數(shù)t的取值范圍為.19．（24-25高二下·四川成都·月考）已知正項數(shù)列的首項為7，且，數(shù)列滿足，．(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)設(shè)，為數(shù)列的前n項和，若對任意，恒成立，求出與實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）應(yīng)用因式分解得出，進而得出等差數(shù)列通項公式，再應(yīng)用計算得出等比數(shù)列的通項公式；（2）應(yīng)用等比數(shù)列求和公式及等差數(shù)列求和公式分組求和即可求解；（3）應(yīng)用裂項相消計算得出取得最小值，最后解一元二次不等式即可.【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，即．又，所以是首項為7，公差為3的等差數(shù)列．因為，①所以當時，，②①-②得也滿足．故的通項公式為的通項公式為．（2）由（1）知，所以（3）因為，所以，當時，取得最小值．因為對任意恒成立，所以，整理得，解得．20．（2025·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列的前項和為，，.若，且數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求值即可.（2）利用錯位相減法求和.（3）分析數(shù)列的單調(diào)性，求的最大值，再解二次不等式即可.【詳解】（1）對數(shù)列，設(shè)公比為，由題意，因為，所以.又.所以.（2）由.所以.所以，所以，兩式相減得：，所以.（3）由.所以數(shù)列從第2項開始，單調(diào)遞減.所以.由或.所以實數(shù)的取值范圍是：.21．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為．若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明為常數(shù)即可證明為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求通項公式，從而得證；（2）先求出，根據(jù)通項公式的特征，采用錯位相減法求其前n項和，題設(shè)化簡為，通過討論為奇數(shù)或偶數(shù)，即可求λ的范圍.【詳解】（1）由已知，，，，，又，，數(shù)列中任意一項不為0，，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由第（1）問知，，則，所以①，②，所以①-②可得：，所以.由，得，化簡得.當為奇數(shù)時，有，即，而，所以；當為偶數(shù)時，有，而，所以.綜上，的取值范圍為.【題型05】與三角函數(shù)綜合（共3題）22．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知等式得出，兩邊同時平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）由（1）可求得，，利用裂項求和法求出，然后利用裂項求和法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立；（3）利用分析法可知，要證所證不等式成立，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）已知，即及，，化簡得，又所以數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，.又，所以，，.所以于是，，因為，所以，即.（3）定義，原不等式即下面證明，即，即證（*），設(shè)，則，于是在區(qū)間上是增函數(shù).因為，有，不等式（*）成立.故原不等式成立.23．（2025·福建漳州·模擬預測）設(shè)函數(shù)，且的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將所有的正零點按從小到大順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前30項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角恒等變換可先將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（2）由正弦函數(shù)性質(zhì)可得所有的正零點，則可得數(shù)列的奇數(shù)項及偶數(shù)項的通項公式，再利用等差數(shù)列求和公式分組計算即可得.【詳解】（1）因為，因為的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，又，所以，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為，令，得，所以或，，即或，，所以所有的正零點為或，，所以是以為首項，π為公差的等差數(shù)列，所以是以為首項，π為公差的等差數(shù)列，所以.24．（2025·廣東廣州·模擬預測）已知向量，，函數(shù)，的所有大于0的零點構(gòu)成遞增數(shù)列．(1)寫出的前6項；(2)記的所有偶數(shù)項構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡可得，令，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)可得或，取其中的正數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列可得結(jié)果；（2）由錯位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意．由，得．所以或．即或，取其中的正數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列．知的前6項為．（2）由（1）知，所以．所以．①．②①－②，得．所以.【題型06】與概率綜合（共6題）25．（2025·四川綿陽·模擬預測）甲乙兩人參加單位組織的知識答題活動，每輪活動由甲乙各答一個題，已知甲、乙第一輪答對的概率都為．甲如果第輪答對，則他第輪也答對的概率為，如果第輪答錯，則他第輪也答錯的概率為；乙如果第輪答對，則他第輪也答對的概率為，如果第輪答錯，則他第輪也答錯的概率為．在每輪活動中，甲乙答對與否互不影響．(1)若前兩輪活動中第二輪甲乙都答對求兩人第一輪也都答對的概率；(2)求證：，甲在第輪答對的概率為定值；【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互相獨立事件、互斥事件的概率公式，結(jié)合條件概率公式求解即可；（2）求出的遞推公式，再利用構(gòu)造法求出通項即可.【詳解】（1）記事件表示甲第輪答對，記事件表示乙第輪答對，則，所以，同理，，所以，則，即若前兩輪活動中第二輪甲乙都答對則兩人第一輪也都答對的概率為.（2）由題意可知，即，所以，因為，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以為定值.26．（2025·河南信陽·模擬預測）3位同學做某種游戲，通過猜拳決定勝利者.3人每次猜拳都可以出“石頭”“剪刀”“布”中的任意一種，其中“石頭”贏“剪刀”，“剪刀”贏“布”，“布”贏“石頭”.例如，當1人出“剪刀”，另外2人出“布”時，出“剪刀”的人即為勝利者；而當1人出“剪刀”，另外2人分別出“布”和“石頭”時，無法決定勝利者，猜拳繼續(xù)進行；當1人出“剪刀”，另外2人出“石頭”時，淘汰掉出“剪刀”的人，剩余2人繼續(xù)猜拳，贏的人為勝利者.(1)記第一回猜拳時出“石頭”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)求在第回猜拳決出勝利者的概率.【答案】(1)分布列見解析，1(2)【分析】（1）利用二項分布的知識求解分布列和數(shù)學期望即可.（2）分析出當時，若到第回合仍有3人猜拳，且在第回合決出勝利者，則概率為.再得到第回合仍有2人猜拳，且在第回合決出勝利者的概率為，從而得到在第回猜拳決出勝利者的概率.【詳解】（1）由題，，，，.所以的分布列如下：0123.（2）設(shè)為第回猜拳決出勝利者的概率.考慮3個人猜拳，每人有3種選擇，共27種可能性.若一回合決出勝利者，則某人出“石頭”且另外2人出“剪刀”或某人出“剪刀”且另外2人出“布”或某人出“布”且另外2人出“石頭”，共種可能，所以3人猜拳一次決出勝利者的概率為.若3人猜一次拳淘汰1人，則某人出“石頭”且另外2人出“布”或某人出“剪刀”且另外2人出“石頭”或某人出“布”且另外2人出“剪刀”，概率為.1人淘汰后，剩余2人猜拳，每人有3種選擇，共9種可能性.出拳不同情況有6種，出拳不同必定決出勝利者，故2人猜拳一次決出勝利者的概率為.3人猜拳既無人淘汰且未決出勝利者的概率為.當時，若到第回合仍有3人猜拳，且在第回合決出勝利者，則概率為.若到第回合時，有2人猜拳，且在第回合決出勝利者，則在第回合猜拳淘汰1人，概率為，所以第回合仍有2人猜拳，且在第回合決出勝利者的概率為，所以.當時，滿足該式，綜上，.所以在第回合猜拳決出勝利者的概率.27．（2025·湖北·三模）甲乙兩人參加單位組織的知識答題活動，每輪活動由甲乙各答一個題，已知甲、乙第一輪答對的概率都為.甲如果第輪答對，則他第輪也答對的概率為，如果第輪答錯，則他第輪也答錯的概率為；乙如果第輪答對，則他第輪也答對的概率為，如果第輪答錯，則他第輪也答錯的概率為.在每輪活動中，甲乙答對與否互不影響.(1)若前兩輪活動中第二輪甲乙都答對，求兩人第一輪也都答對的概率；(2)如果在每一輪活動中至少有一人答對，游戲就可以一直進行下去，直到他們都答錯為止.設(shè)停止游戲時進行了輪游戲，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)“甲在第輪活動中答對”，“乙在第輪活動中答對”，“甲乙在第輪活動中都答對”，，利用相互獨立事件的概率公式求出及，再由條件概率公式計算可得；（2）推導可得，，則每一輪甲乙都答錯的概率為，所以，再由錯位相減法求出，即可得證.【詳解】（1）設(shè)“甲在第輪活動中答對”，“乙在第輪活動中答對”，“甲乙在第輪活動中都答對”，，則，又，故；（2）第二輪甲答對的概率為，第二輪乙答對的概率為，依此類推得到，，每一輪甲乙都答錯的概率為，因此，則①所以，②①②得，其中，所以.28．（2025·安徽安慶·模擬預測）2023年華為盤古氣象大模型實現(xiàn)秒級預測全球天氣，突破了傳統(tǒng)NWP算力瓶頸，代表了AI在科學計算（AI

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Science）的重要突破，推動了全球氣象行業(yè)的智能化升級.未來天氣預報或?qū)⑦M入“分鐘級、街道級”的精準時代.現(xiàn)某城市根據(jù)氣象數(shù)據(jù)有兩種天氣狀態(tài)：晴天（S）和雨天（R），變化規(guī)律預測如下：①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率會下雨；②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率會轉(zhuǎn)晴.假設(shè)今天天氣是晴天，回答以下問題：(1)從明天開始接下來的三天中，天氣是晴天的天數(shù)用隨機變量X表示，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)長期來看，晴天和雨天的概率分布會趨于穩(wěn)定，從今天算起第n天預測是晴天的概率用表示，求的表達式及趨于的穩(wěn)定值.【答案】(1)分布列見解析，.(2)，趨于的穩(wěn)定值為.【分析】（1）列出的可能取值，求出對應(yīng)概率，可得的分布列，再根據(jù)期望的求法求期望.（2）找出數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，求的通項公式與極限即可.【詳解】（1）由題意可知：的值可以為：.且，，，.所以的分布列為：0123所以（2）由題意：數(shù)列中：，.設(shè)，由.所以，且.所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.因為，所以趨于的穩(wěn)定值為.29．（2025·重慶·一模）在某場乒乓球比賽中，甲、乙兩運動員進入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10，接下來比賽規(guī)則如下:兩人輪流各發(fā)一個球，誰贏此球誰就獲得1分，直到有一方得分超過對方2分時即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是實力的較量，也是心態(tài)的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為.(1)求甲以的比分贏得比賽的概率;(2)若要使甲運動員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6，求的范圍;(3)若，設(shè)甲運動員在第球比賽中獲勝的概率為，數(shù)列滿足，求證:.（參考知識:當時，若，則.）【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)條件概率公式即可得到答案；（2）記甲運動員在第球比賽中獲勝的概率為，可推得，再對分類討論即得；（3）根據(jù)（2）得到，則，化簡計算，最后利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可得證.【詳解】（1）記第一球比賽甲運動員獲勝的事件為，第二球比賽甲運動員獲勝的事件為，由題意知：，且，∴.即甲以的比分贏得比賽的概率為.（2）記甲運動員在第球比賽中獲勝的概率為，則，則,可知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則有，,①當時，，又，故是一個遞減數(shù)列，當時，，依題需使，即與條件矛盾,舍去；②當時，，不合題意；③當時，，又，故是一個遞增數(shù)列，依題意，只需，即，解得，故；④當時，，符合題意；⑤當時，，又，因此是一個擺動數(shù)列，若為偶數(shù)，則，；若為奇數(shù)，則是一個遞增數(shù)列，只需，而，因，于是，得：，解得，故.綜上：時，甲運動員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6.（3）當時，由（2）可得，，

則，，，，，故：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是得到，再對分類討論.30．（2025·湖北·模擬預測）某商場為回饋廣大顧客，開展消費抽獎促銷活動，抽獎箱里裝有5個除顏色外其他都相同的小球，其中3個黑球和2個紅球，取球結(jié)果2個紅球2個黑球紅?黑球各1個獎金300元200元100元(1)消費每滿2000元可參與一次抽獎，抽獎顧客一次性從抽獎箱中隨機抽取2個小球，按照表格領(lǐng)取獎金，求顧客抽獎一次所得獎金的期望；(2)若該商場對消費不足2000元的部分顧客設(shè)置二個幸運抽獎環(huán)節(jié)，第一個抽幸運獎顧客抽獎前，抽獎箱里仍然是3個黑球和2個紅球，每位抽幸運獎顧客從中隨機抽取1個小球，若取出黑球，則放回小盒中，無獎勵；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中，獎勵幸運禮品一份；下一位抽幸運獎顧客在前一位抽獎后的箱中繼續(xù)抽獎，直至紅球取完為止.設(shè)“第個抽幸運獎顧客獲得第1份幸運禮品”記為事件，設(shè)“第個抽幸運獎顧客獲得第2份幸運禮品”記為事件.（i）求和；（ii）求第位抽幸運獎顧客恰好獲得第2份幸運禮品的概率.【答案】(1)150元(2)（i），；（ii）【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式求出各可能取值的概率，利用期望公式計算可得；（2）（i）利用獨立事件的概率乘法公式和條件概率公式求解可得；（ii）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得.【詳解】（1）設(shè)一次抽獎的中獎金額為，則所有的可能取值為..則的分布列為100200300P故（元）.（2）（i），，因為，所以（ii）第個顧客獲得第1份幸運禮品，第個顧客獲得第2份幸運禮品的概率為：，因為，所以第個顧客獲得第2份幸運禮品的概率為：，所以第個抽幸運獎顧客獲得第二份幸運禮品的概率為.【題型07】與導數(shù)綜合（共7題）31．（2025·湖南岳陽·模擬預測）已知函數(shù)，且.(1)求;(2)已知為函數(shù)的導函數(shù)，證明：對任意的，均有；(3)證明：對任意的，均有.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得，只需滿足，計算即可得解；（2）先寫出，將不等式變形，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證其單調(diào)性，從而推導不等式成立；（3）由（1）中的結(jié)論，取得到，對不等式左邊求和，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)（裂項相消），證得結(jié)果.【詳解】（1）由得，令，則，①當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，且，不符題意；②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，又，所以，解得.（2）由（1）知，，要證，即證，進一步變形為證，即證.因為，令，則需證（），即證（）設(shè)，，，當時，，在單調(diào)遞增，所以，得證.（3）由（1）知，且，當時，，即；令（），則.要證，即證，因為，所以，而，得證.32．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數(shù)在上的最小值為0(1)求實數(shù)的值：(2)對任意的，數(shù)列滿足，且，證明：當大于1時，也大于1：(3)在（2）的條件下，若為數(shù)列的前項和，求證：【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1），分類討論，判斷單調(diào)性，求出的值；（2）由（1）可以判斷單調(diào)性，證明結(jié)論；（3）要證，只需證，設(shè)判斷單調(diào)性，進行放縮，進行累加證明.【詳解】（1）當時，，當時，，不成立當時，，當時，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取最小值，此時，解得.（2），設(shè)當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.（3）要證，只需證又所以只需證，即證，由于，只需證,，即證，由（2）可知，，即需證，設(shè)，所以單調(diào)遞減，因為,所以，即，所以，即，累加后得證.33．（2025·重慶·模擬預測）已知.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若對任意，恒有.（i）求的取值范圍;（ii）證明:對任意的正整數(shù)，.【答案】(1)；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）把代入，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）（i）等價變形不等式并構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)，按分類探討即可；（ii）由（i）的結(jié)論可得，再利用導數(shù)證明不等式，取，利用放縮法及裂項相消法求和得證.【詳解】（1）當時，函數(shù)，求導得，則，而，切線方程為，所以曲線在處的切線方程.（2）（i）對任意，不等式，設(shè)函數(shù)，求導得當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此；當時，令，求導得，，則，使得，當時，，函數(shù)在上遞增，當時，，即，因此，此時，不符合題意；當時，，不符合題意，所以的取值范圍是.（ii）由（i）得當時，，令函數(shù)，求導得，令函數(shù)，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，當時，，當時，，于是，所以.34．（2025·廣西·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，滿足.(1)當時，分別求的值，并猜想此時數(shù)列的通項公式（直接寫結(jié)論）；(2)當時，求的最大值；(3)當時，記數(shù)列的前項積為，求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依題將數(shù)列的遞推公式化簡成，依次賦值代入求出，由此猜想數(shù)列的通項公式；（2）解法一：將用表示，即得，設(shè)，，利用求導求出的最小值，即得的最大值；解法二：設(shè)，則易得，即得，，設(shè)，利用求導求出其最大值為，最后利用與和角公式、二倍角公式即可求得；解法三：利用凸函數(shù)的琴生不等式易得；（3）由（2），令，，推測出，即得，利用二倍角的正弦公式，將其化簡為，借助于正弦函數(shù)的值域即可求得其最大值.【詳解】（1）由可得，因，則由此猜想，.（2）解法一：由，可得，則，，令，，則當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞增，故.于是，.解法二：設(shè)，因，則可取，則，，于是，，，令，則，由，可得，，當時，，則，當時，，則，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，.因，記，則有，則，則，即，即，解得，（負根舍去），則，故.解法三：由解法二已得：，，對，，可知函數(shù)為上凸函數(shù)，由琴生不等式得：（當且僅當，即時，能取到等號）（3）由（2），令，則，依此類推，可得，而則，當且僅當，即時取到等號，此時，的最大值為.35．（2025·安徽·一模）已知函數(shù)為函數(shù)的導函數(shù).(1)證明：；(2)若函數(shù)，請判斷在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由；(3)若函數(shù)，證明：當時，.【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求出的導數(shù)，再分別計算和，通過三角函數(shù)的兩角和公式展開化簡，證明二者相等；（2）先求出的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理確定在上的零點個數(shù)；（3）令，再求的值，利用積化和差轉(zhuǎn)換即可證明.【詳解】（1）證明：由題可得，，.故.（2），故，，設(shè)，則，當時，，故單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)單調(diào)遞減，，故函數(shù)在上無零點；當時，，設(shè)，則，設(shè)，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，且，故存在，使，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，因為，故，又因為，故函數(shù)在上有1個零點.綜上所述，在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為2.（3）證明：令，所以，當且僅當時，上式取得等號，但不可能成立，所以當時，.36．（2025·天津紅橋·二模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程;(2)證明:恒成立；(3)證明:【答案】(1)(2)證明見解析；(3)證明見解析；【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率，再利用直線的點斜式方程可求得切線方程；（2）根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)和分別證明大于等于零恒成立即可；（3）依據(jù)（2）中結(jié)論可得，再利用等比數(shù)列前項和公式計算可得證明得出結(jié)論.【詳解】（1）當時，可得，所以；可得，又，所以在點處的切線方程為，即；（2）易知，要證明，可得，構(gòu)造函數(shù)，可得，可知當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；因此函數(shù)在處取得極小值，也是最小值，即可得恒成立，即；當且僅當時，等號成立；下面證明，令，所以；易知當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；因此函數(shù)在處取得極小值，也是最小值，即可得恒成立，即；當且僅當時等號成立，綜上可得，，恒成立，但等號不在同一點處取得，所以，即.（3）由（2）中結(jié)論可知；所以，因此；可知所以.37．（2025·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)，記，若滿足，則稱是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，其中，例如．(1)判斷函數(shù)是否為上的“可控函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，且的最大值為．（i）求函數(shù)的解析式；（ii）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和．求證：．【答案】(1)是“可控函數(shù)”，理由見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)新定義及二次函數(shù)值域的求法判斷即可；（2）（i）根據(jù)函數(shù)的定義域及函數(shù)在上為“可控函數(shù)”，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值可得出，再由“可控函數(shù)”的定義求解；（ii）結(jié)合新定義及函數(shù)的單調(diào)性不等式的性質(zhì)，先證明，再證．【詳解】（1）是上的“可控函數(shù)”．因為，由得，所以，因為，故函數(shù)是上的“可控函數(shù)”．（2）（i）由函數(shù)的定義域為，可得，由于，又因為，當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，所以當時，的取值范圍為，因為，所以由“可控函數(shù)”的定義可得函數(shù)是上的“可控函數(shù)”．所以的最大值不小于．若，由“可控函數(shù)”定義可知滿足的條件為可得，所以．又因為，由的單調(diào)性可得，當時，的取值范圍為，顯然，所以函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，所以的最大值為，得，則，所以函數(shù)的解析式為．（ii）先證明．由（i）可知函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，由“可控函數(shù)”性質(zhì)可知函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，所以．因為，且，所以，所以．再證．由（i）可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以若，則，若，則．又因為，所以時，均大于均小于．因為，所以當為奇數(shù)時，．若，可得．若，可得，所以對任意的．綜上所述．【題型08】與解析綜合（共7題）38．（2025·陜西渭南·一模）已知雙曲線．點在上．按如下方式構(gòu)造點．過點作斜率為的直線與的下支交于點．點關(guān)于軸的對稱點為．記點的坐標為(1)求的值：(2)記．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)記的面積為．證明：是定值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)點在上，求出雙曲線的方程，再由對稱性即可求得結(jié)果；（2）由和，表示出直線方程，根據(jù)，聯(lián)立方程化簡可得，又，即可得，即可得證；（3）由（2）知．又，所以，即得和坐標，然后表示出，化簡得證.【詳解】（1）由題知雙曲線．點在上，故，所以雙曲線．又過點斜率為的直線方程為．由雙曲線與直線的對稱性可知．所以．即.（2）因為，所以．因為所以．于是．①．由于，所以．且．兩式作差可得．②把①代入②可得．③由③-①得．即因為．所以又．所以故數(shù)列是首項為．公比為的等比數(shù)列．（3）由（2）知．又，所以．則．因為，且，所以，即是定值.39．（24-25高三上·山東威?！て谀┮阎獟佄锞€，點在上，為常數(shù)，，按如下方式依次構(gòu)造點，過點作軸的垂線交于點，過且斜率為的直線與的另一個交點為.記的坐標為.(1)當時，求；(2)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由點在可得，根據(jù)直線的方程聯(lián)立拋物線方程可得；（2）由點差法可得，得，進而確定，可得，進而可得，即得，即證；（3）由，由點差法可，進而可得直線的斜率為，可得，由直線的方程為，可得到直線的距離為，進而，即證.

【詳解】（1）

因為點在上，所以，解得，由題意知的坐標為，直線的方程為：，由，整理得，解得.（2）法一：由題意知的坐標為，所以，又，兩式相減得，即，由題意知，可得，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，可得，所以，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.法二：由題意知的坐標為，所以直線的方程為，由，可得，由題意知是直線與的公共點，所以，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，可得，所以，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（3）法一：的三個頂點為，因為，兩式相減得，即，所以直線的斜率為，可得，直線的方程為，即，設(shè)到直線的距離為，則所以，所以為定值.法2：的三個頂點為，可得，，所以，所以為定值.法3：要證為定值，只需證，即證與面積相等，因為，兩式相減得，即，所以直線的斜率為，同理可得直線的斜率為所以，可得點到直線的距離相等，所以，即為定值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵能用點差法得到，進而，確定是等差數(shù)列，可得，進而依次得到，，；第三問由，可得和直線的方程為，進而得到直線的距離，進而，即證.40．（2025·江西贛州·二模）已知點M到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，M的軌跡為C．點在C上，過作斜率為的直線交C于另一點，設(shè)與關(guān)于x軸對稱，過作斜率為的直線交C于另一點，設(shè)與關(guān)于x軸對稱，……，以此類推，設(shè)．(1)求C的方程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：；(3)求的面積．【答案】(1)或；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）討論在軸左側(cè)或右側(cè)，分別求出對應(yīng)軌跡方程即可；（2）由題設(shè)得，，結(jié)合斜率求得，根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出通項公式得，應(yīng)用裂項相消法求，即可證；（3）由（2）得，再由，結(jié)合向量模長、數(shù)量積的坐標表示化簡求值即可.【詳解】（1）當在軸左側(cè)時，在軸的非正半軸上，的方程為；當在軸右側(cè)時，的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，方程為，綜上，C的方程為或；（2）因為在上，所以，可得，依題意，則，所以，故數(shù)列是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，則，，所以，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，則；（3）由（2）得，所以，而，所以.41．（2025·安徽·三模）記拋物線的焦點為F，過原點O作斜率為1的直線l，l與E交于另一點，取的中點，直線與E交于另一點，取的中點，以此類推，記直線的斜率為．(1)求點的坐標；(2)證明：是遞減數(shù)列；(3)記的面積為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立，可解得，的坐標，進一步可求直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程即可求解；（2）聯(lián)立，可解得，的坐標，根據(jù)斜率公式可得.又因為，故，，即是遞增的正數(shù)數(shù)列，是遞減數(shù)列，即可證明；（3）由（2）得，當時，，，利用割補法及（2）中化簡可得，又，故.根據(jù)可知；由可知，進而可得，故，即可證明.【詳解】（1）如圖所示，聯(lián)立，解得或，故.又，所以，，故直線，聯(lián)立，解得或，故.（2）聯(lián)立，解得點，所以，，所以.又因為，故，于是，即，故是遞增數(shù)列.又由，可知是遞減數(shù)列，于是是遞減數(shù)列.（3）由（2）得，當時，，，利用割補法，知.而，故.而，故；又，故，由累乘法可知，而，故.故.綜上，.42．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率.(1)若橢圓過點，求橢圓的標準方程.(2)若直線均過點且互相垂直，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，設(shè).①求；②記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率得到之間的關(guān)系，再結(jié)合橢圓過點，求出的值，從而得到橢圓的方程.（2）①利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求得點的坐標，再根據(jù)三點共線得之間的關(guān)系；②求得，并利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【詳解】（1）因，可得：①，又橢圓過點，可得②，聯(lián)立①，②，解得，故橢圓的標準方程為；（2）①當直線中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時