湖南高一年級階段考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章到第二章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的并集定義即得.【詳解】因為，所以．故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可得到.【詳解】因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．所以命題“”的否定是：.故選：D.3.已知正數(shù)滿足，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助基本不等式建立不等式，再求解不等式即得【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．的最大值為.故選：C.4.某投資方對某項目提出兩個投資方案：方案一為一次性投資1000萬元；方案二為第一年投資200萬元，以后每年投資30萬元．下列不等式表示“經(jīng)過年后，方案一的總投資不多于方案二的總投資”的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)寫出方案二n年后的總投資額，再由不等式的描述寫出不等關(guān)系即可.【詳解】由題意，經(jīng)過n年后，方案二的總投資為萬元，則“經(jīng)過n年后，方案一的總投資不多于方案二的總投資”的不等式表示為.故選：B5.若，則（）A. B.C. D.的大小關(guān)系不確定【答案】B【解析】【分析】利用作差法即可比較大小.【詳解】因為，所以．故選：B.6.“”的一個充分不必要條件是（）A. B.0C. D.或【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，再根據(jù)充分不必要條件的定義和集合間的包含關(guān)系判斷可得答案.【詳解】等價于，解不等式，得或．因為“”可以推出“或”，但“或”不能推出“”，所以“”是“-1”的一個充分不必要條件．故選：A.7.已知.不等式對于任意滿足已知條件的實數(shù)恒成立，則的最大值為（）A.18 B.21 C.24 D.27【答案】D【解析】【分析】先分離參數(shù)，再利用“1的妙用”求最值即可.【詳解】不等式等價于，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以．故選：D.8.某校利用課外活動時間開展了羽毛球、乒乓球、籃球培訓(xùn)課．甲班共52名學(xué)生，每人至少報了上述培訓(xùn)課中的一門．已知報羽毛球、乒乓球、籃球培訓(xùn)課的人數(shù)分別為30，25，20，其中既報了羽毛球培訓(xùn)課又報了乒乓球培訓(xùn)課的有13人，既報了羽毛球培訓(xùn)課又報了籃球培訓(xùn)課的有8人，既報了乒乓球培訓(xùn)課又報了籃球培訓(xùn)課的有5人，則同時報了羽毛球、乒乓球、籃球培訓(xùn)課的學(xué)生人數(shù)是（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用韋恩圖來求解即可.【詳解】設(shè)同時報了羽毛球、乒乓球、籃球培訓(xùn)課的學(xué)生人數(shù)是．由圖可知，解得．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理即可逐一判斷各選項.【詳解】對于A，因為，則，不等式兩邊同除以，可得，故A正確；對于B，因為，所以，但是不能確定與的大小關(guān)系，故B錯誤；對于C，因為表示數(shù)軸上坐標(biāo)為的兩點之間的距離，表示數(shù)軸上坐標(biāo)為的兩點之間的距離，又，所以，故C正確；對于D，由可得，所以，故D錯誤．故選：AC.10.對于二次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.不存在實數(shù)，使得B.關(guān)于的方程有一個正根和一個負(fù)根C.該函數(shù)的圖象與軸交于負(fù)半軸D.若當(dāng)時，隨著的增大而增大，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，舉反例即可排除；對于B，由根的判別式和韋達(dá)定理即可判斷；對于C，由函數(shù)圖象經(jīng)過點即可說明；對于D，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口與對稱軸、單調(diào)性即得.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤．對于B，因的判別式，則方程有兩個不等實根；設(shè)兩根為，因，所以必一正一負(fù)，故B正確；對于C，令，得，即函數(shù)圖象與軸交于點，故C正確；對于D，該拋物線開口向上，對稱軸為，由題意需使，得，故D錯誤．故選：BC.11.已知為三個互不相等的正整數(shù)，命題，命題，命題．若只需滿足三個命題中僅有兩個是真命題，則．若，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分情況討論集合A中元素的特征，結(jié)合，分析得出的大小關(guān)系，最后逐一分析選項.【詳解】依題意可得當(dāng)或或時，．因為，所以滿足或或．因為，所以滿足或或，則c滿足或或或，所以，，，．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知全集，集合，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計算即可.【詳解】因為，所以．13.已知一元二次方程的一個根為，且，則______．【答案】3【解析】【分析】將代入方程并化簡得，與聯(lián)立即可求解.【詳解】因為是一元二次方程的一個根，所以，即，將代入方程，解得．故答案為：314.已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】由已知將變形得到，進(jìn)而得，再將變形并利用基本不等式求得其最小值即可.【詳解】因為，所以，所以，則，從而．又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷這些命題的真假．（1）有些奇數(shù)是合數(shù)；（2）任何實數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）至少有一個數(shù)能被3和5整除；（4）所有的反比例函數(shù)的圖象都是中心對稱圖象．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析（3）答案見解析（4）答案見解析【解析】【分析】根據(jù)命題中的量詞確定其命題性質(zhì)，再逐一判斷命題真假.【詳解】對于（1），因為“有些”是存在量詞，所以“有些奇數(shù)是合數(shù)”是存在量詞命題，比如，9是奇數(shù)也是合數(shù)，所以該命題是真命題；對于（2），因為“任何”是全稱量詞，所以“任何實數(shù)都有算術(shù)平方根”是全稱量詞命題.比如，是實數(shù)，但沒有算術(shù)平方根，所以該命題是假命題；對于（3），因為“至少有一個”是存在量詞，所以“至少有一個數(shù)能被3和5整除”是存在量詞命題．比如，15能被3和5整除，所以該命題是真命題；對于（4），因為“所有的”是全稱量詞，所以“所有的反比例函數(shù)的圖象都是中心對稱圖象”是全稱量詞命題.因反比例函數(shù)的解析式形如，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱，故該命題是真命題.16.（1）已知，證明：．（2）已知均正數(shù)，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先利用不等式的乘法法則得，然后利用不等式的加法法則證明即可；（2）結(jié)合不等式的加法法則，利用基本不等式證明即可.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，所以.（2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.同理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.17.如圖，是兩條長度足夠長的互相垂直的筆直小路，矩形的頂點分別在上，且該矩形區(qū)域內(nèi)種滿了荷花．為了讓觀賞者有更好的觀賞體驗，現(xiàn)計劃經(jīng)過點修一條小路，其中點在小路上，點在小路上，并在區(qū)域內(nèi)種滿荷花．已知，記的面積為．（1）設(shè)，試用表示，并求的取值范圍．（2）當(dāng)?shù)拈L度為多少時，取得最小值？最小值是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)時，S取得最小值，為2000.【解析】【分析】（1）利用三角形相似，根據(jù)相似比得，再由及其范圍列不等式求范圍；（2）根據(jù)已知有，應(yīng)用基本不等式求最小值，并確定取值條件，即可得.【小問1詳解】依題意，得，所以，即，得，所以，，所以，解得；【小問2詳解】由，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故時，S取得最小值，為2000.18.已知二次函數(shù)．（1）若函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于兩點，且點的橫坐標(biāo)為點的橫坐標(biāo)為4，求的值；（2）在（1）的條件下，求關(guān)于的不等式的解集；（3）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，代入求解可求得答案；（2）將（1）中的值代入不等式，求解即得；（3）不等式可化為，通過按與的大小關(guān)系分類來解含參不等式即得.【小問1詳解】由點在函數(shù)的圖象上，且點的橫坐標(biāo)為點的橫坐標(biāo)為4，可知.把兩點的坐標(biāo)代入，得解得【小問2詳解】由（1）知，不等式即，所以，解得，所以的解集為.【小問3詳解】由得，即，當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式解集為或1}；當(dāng)，即時，不等式的解集為或.故當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或.19.已知至少含兩個元素的集合是的子集，若對于中的任意兩個元素，都有（是正整數(shù)），則稱集合具有性質(zhì)．（1）試判斷集合和是否具有性質(zhì)，并說明理由．（2）若集合，證明：不可能具有性質(zhì)．（3）若集合，且具有性質(zhì)和，求中元素個數(shù)的最大值．【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，理由見解析（2）證明見解析（3）115.【解析】【分析】（1）根據(jù)定義判斷、是否具有性質(zhì)即可；（2）將集合中元素分為9個集合，進(jìn)行求解即可；（3）先說明連續(xù)13項中集合A中最多選取6項，然后求出集合A中共有115個元素，即可.【小問1詳解】對于集合，因為，所以集合不具有性質(zhì).對于集合，因為，所以集合具有性質(zhì).【小問2詳解】證明：將集合中的元素分為如下9個集合：，.從集合中取10個元素，則前8個集合至少要選9個元素，所以必有2個元素取自前8個集合中的同一集合，即存在2個元素，其差的絕對值為3，所以不可能具有性質(zhì).【小問3詳解】先說明連續(xù)13項中集合中元素的個數(shù)最多選取6項，以為例，構(gòu)造集合.①6，7，8都選上，因為具有性質(zhì)和，所以選6則不選1和11，選7則不選2和12，選8則不選3和13，另外4，9不能同時取，5，10不能同時取，所以選取的集合中的元素為4，5，6，7，8，故中屬于集合中的元素個數(shù)為5.②6，7，8中選2個，若只選6，7，則1，2，11，12，8不可取，5，13中只能取1個，4，9不能同時取，5，10不能同時取，比如取3，4，6，7，10，13，故中屬于集合中的元素不超過6個．若只選7，8，則2，3，12，13，6不可取，1，9中只能取1個，4，9不能同時取，5，10不能同時取，比如取1，4，5，7，8，11，故中屬于集合中的元素不超過6個．若只選6，8，同理，比如取2，5，6，8，9