試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁2021屆四川省綿陽市高三第三次診斷數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合A，再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出.【詳解】或，.故選：B.2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2，-1）在第四象限，故選：D3．若，滿足約束條件則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式組作出可行域，然后采用平移直線法求解出目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】作出可行域如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)縱截距最小，即有最小值，又，解得，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用線性規(guī)劃求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的步驟：（1）根據(jù)不等式組作出可行域；（2）采用平移直線法將直線的縱截距與目標(biāo)函數(shù)的最值聯(lián)系在一起；（3）通過平移直線確定出直線縱截距的最值，從而目標(biāo)函數(shù)最值可求.4．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，同比增長率一般是指和去年同期相比較的增長率，環(huán)比增長率一般是指和上一時(shí)期相比較的增長率.根據(jù)下圖，2020年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2020年全國居民每月消費(fèi)價(jià)格與2019年同期相比有漲有跌B．2020年1月至2020年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌C．2020年1月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大D．2020年我國居民消費(fèi)價(jià)格中3月消費(fèi)價(jià)格最低【答案】D【分析】根據(jù)同比與環(huán)比的概念，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，觀察圖中同比曲線，除11月份同比為-0.5，其余均是正值，所以2020年全國居民每月消費(fèi)價(jià)格與2019年同期相比有漲有跌，A正確.對(duì)于B，觀察圖中環(huán)比曲線，有正有負(fù)，如2月份0.8，3月份-1.2，環(huán)比有漲有跌，B正確.對(duì)于C，觀察圖中同比曲線，1月份同比增加5.4，大于其他月份同比值，故2020年1月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大，C正確.對(duì)于D，觀察圖中環(huán)比曲線，3月份環(huán)比值-1.2，4月份-0.9，易知4月份消費(fèi)價(jià)格比3月份低，故D錯(cuò)誤.故選：D.5．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓交軸于，兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，把圓心代入直線求出a，利用垂徑定理求.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心C：，半徑.因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得：a=4，所以圓心C：，.所以圓心到x軸距離為1，由垂徑定理得：.故選：A【點(diǎn)睛】求圓錐曲線的弦長：（1）特別的：圓中求弦長用垂徑定理；拋物線求焦點(diǎn)弦弦長用拋物線的焦點(diǎn)弦弦長公式：；（2）“設(shè)而不求法”，利用弦長公式求弦長，這是求弦長的一般方法.6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)，由偶函數(shù)性質(zhì)得出，由不等式可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由可得，即，解得；當(dāng)時(shí)，，則，又是偶函數(shù)，，由可得，即，解得，綜上，的解集為.故選：C.7．在平行四邊形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，∴，∴，故選：C8．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把a(bǔ)、b、c化為“同構(gòu)”形式，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小.【詳解】∵，∴，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】指、對(duì)數(shù)比較大?。海?）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.9．已知數(shù)列滿足：，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知關(guān)系求得數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】由題意，由得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，僅比為4，首項(xiàng)為4，所以．故選：C．10．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，且滿足.則的最小正周期為（）A． B．16 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象可以確定最小正周期的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可,【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖可知：，因?yàn)?，所以有，因?yàn)?，所以，所以，因此，故選：A11．已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓錐側(cè)面展開圖求得圓錐的母線和底面半徑，作出圓錐的軸截面，其外接圓是球的大圓，由圖形求得球半徑，從而可得球表面積．【詳解】設(shè)圓錐母線為，底面半徑為，則，解得，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，設(shè)球半徑為，，，，，所以球表面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是求得球的半徑．在球圓錐或圓柱、圓臺(tái)問題中可以作出圓柱（圓錐，圓臺(tái)）的軸截面，軸截面的外接圓為球的大圓，由此建立了球半徑與圓柱（圓錐圓臺(tái)）的量之間的關(guān)系．12．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而得，再求出線段的垂直平分線的方程為：，進(jìn)而得，再計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，故，設(shè)點(diǎn)，則，由拋物線的定義得：故直線的斜率為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，所以線段的垂直平分線的方程為：，故令得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而求得，再結(jié)合拋物線的定義計(jì)算即可.二、填空題13．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________.【答案】【分析】由，可得：，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，由，可得：，∴，即，故答案為：14．若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】求導(dǎo)得，進(jìn)而得，故切線方程為，再結(jié)合切線過點(diǎn)即可得.【詳解】解：函數(shù)，求導(dǎo)得，所以，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.15．已知雙曲線與拋物線有共同的一焦點(diǎn)，過的左焦點(diǎn)且與曲線相切的直線恰與的一漸近線平行，則的離心率為___________.【答案】【分析】由平行得切線方程，由直線與拋物線相切得的關(guān)系式，從而可得離心率．【詳解】因?yàn)閽佄锞€與雙曲線共焦點(diǎn)，所以，，拋物線方程為，雙曲線的左焦點(diǎn)為，過與一條漸近線平行的直線方程為，由得，所以，所以，從而，離心率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查考查求雙曲線的離心率．解題關(guān)鍵是求出雙曲線是（）的關(guān)系．建立等量關(guān)系的途徑是利用直線與拋物線相切，用寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后，判別式等于0．16．已知三棱錐中，，是邊長為的正三角形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以，因此，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，因此平面，而平面，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以，而，所以，而，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以，，在中，，解得（負(fù)值舍去），設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕ㄘ?fù)值舍去），因?yàn)椋?，在中，，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題通過取的中點(diǎn)，得到平面，結(jié)合已知再得到平面，進(jìn)而得到是解題的關(guān)鍵.三、解答題17．2020年5月28日，十三屆全國人大三次會(huì)議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會(huì)生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國民法典》并組織知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績(單位：分)，繪制成如圖所示的莖葉圖：（1）通過莖葉圖分析哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好；(不要求計(jì)算，分析并給出結(jié)論)（2）根據(jù)學(xué)生的競(jìng)賽成績，將其分為四個(gè)等級(jí)：測(cè)試成績(單位：分)等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀現(xiàn)已從高一?高二兩個(gè)年級(jí)成績?yōu)榱己玫耐瑢W(xué)中，用分層抽樣法抽出位同學(xué)參加座談會(huì)，要再從這位同學(xué)中任意選出人發(fā)言，求這人來自不同年級(jí)的概率.【答案】（1）高二年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好；（2）.【分析】（1）根據(jù)莖葉圖的特點(diǎn)，結(jié)合平均數(shù)、數(shù)據(jù)的集中情況進(jìn)行分析即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計(jì)算公式用列法法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由圖知：高二年級(jí)的學(xué)生成績的平均分高于高一年級(jí)考核成績的平均分；高二年級(jí)的學(xué)生成績比較集中，而高一年級(jí)的同學(xué)成績比較分散.高二年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好.（2）由圖知：高一?高二兩個(gè)年級(jí)數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)分別為，，若用分層抽樣法抽出人，則應(yīng)從高一?高二兩個(gè)年級(jí)各抽出人?人.設(shè)“位同學(xué)任意選出人發(fā)言，這人是來自不同年級(jí)的同學(xué)”為事件.將高一選出的人記為；?，高二選出的人記為：，，.可得，，，，，，，，，共有10種選法，事件包含?????共有種..選出的人是來自不同班的同學(xué)的概率等于.18．如圖，在四邊形中，，，為銳角三角形，且，，.（1）求的值；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理求解即可；（2）根據(jù)等面積法將的面積轉(zhuǎn)化為的面積，又由于為直角三角形，求出邊長，進(jìn)而計(jì)算面積即可.【詳解】解：在銳角中，，，，由正弦定理得，又因?yàn)闉殇J角三角形.，.，，.在中，，，，又，.【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.19．如圖，四棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，再根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，從而，再利用線面平行的判定定理證明；（2）易證平面，進(jìn)而得到平面平面，再由，得到平面，由求解.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.點(diǎn)為的中點(diǎn)，，且.又，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），，又，平面，.又平面平面，平面平面，平面，為四棱錐的高，，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言的敘述；（3）利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；（4）利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．20．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一定直線上，并求出此直線的方程.【答案】（1）；（2）證明見解析，直線.【分析】（1）由橢圓過定點(diǎn)，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程.（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再由點(diǎn)斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線.【詳解】（1）由題意，且，又，解得，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程整理得，，由，，即.直線的方程為.①過且與軸垂直的直線的方程為.②聯(lián)立①②可得.點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理確定的關(guān)系，進(jìn)而由的位置用表示出其橫坐標(biāo).21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在恒成立，再分和兩種情況討論，即可得解；（2）易知在上單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得存在，使得，即可得到在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即可得證.【詳解】解：（1）由，得.函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，在恒成立.當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè).易得，函數(shù)在上為增函數(shù)，，即與矛盾.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）易知在上單調(diào)遞增，又，，存在，使得，即，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增...【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）分別寫出曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求直線