2026屆云南省紅河州二中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20492．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.3．設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，在上隨機(jī)任取一個數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.5．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.6．已知是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.3 B.－3iC.-3 D.3i7．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.9．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.10．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.11．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為12．已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正三棱柱的底面邊長和高均為2，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)到平面的距離為______.14．已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.15．圓關(guān)于直線的對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______16．已知正方體,點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動,且始終保持平面,設(shè)直線與底面所成的角為,則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個不同的點(diǎn)、，直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）在第（2）問條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，請問：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱時的面積是否達(dá)到最大？并說明理由.18．（12分）如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，為的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點(diǎn)和M，N兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值21．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對任意的，總存在使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即所以，解得或，因?yàn)?，所?所以，，所以當(dāng)時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B2、A【解析】考點(diǎn)：直線的傾斜角專題：計(jì)算題分析：因?yàn)橹本€的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點(diǎn)評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線方程的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生對基礎(chǔ)知識熟練掌握3、C【解析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，，即，或，即，當(dāng)時，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C4、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A5、C【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.6、C【解析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】由題得，所以復(fù)數(shù)z的虛部為－3.故選：C.7、A【解析】由題可得動點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A8、D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D9、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.10、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進(jìn)而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設(shè)高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.11、D【解析】根據(jù)基本不等式知識對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于A，時為負(fù)值，故A錯誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯誤對于，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故，D正確，C錯誤故選：D12、C【解析】由題意，設(shè)，直線方程為，則由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求出，進(jìn)而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的性質(zhì)：在拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，所以在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達(dá)定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)面距離的公式可以直接求出.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，由已知，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，，即：，取，得，，則點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.14、【解析】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為.點(diǎn)為該雙曲線上的點(diǎn)，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.15、【解析】先將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得圓心坐標(biāo)(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線的位置直接看出(2,2)點(diǎn)的對稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為原點(diǎn),所以所求對稱圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：16、【解析】畫出立體圖形,因?yàn)槊婷?在底面內(nèi)運(yùn)動,且始終保持平面,可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動,因?yàn)槊婷?直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內(nèi)運(yùn)動,且始終保持平面可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動,面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當(dāng)最短時,,即最大,即角最大設(shè)正方體的邊長為,故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點(diǎn)問題時,應(yīng)畫出圖形,尋找?guī)缀侮P(guān)系,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱時，的面積達(dá)到最大，理由見解析.【解析】（1）設(shè)，可得出，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線的方程；（3）設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為零可求得，分析可知當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時，的面積達(dá)到最大，求出直線與橢圓的切點(diǎn)坐標(biāo)，可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)?，設(shè)，則，，所以，橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則軸，故直線、的傾斜角互補(bǔ)，易知點(diǎn)，若直線軸，則、為橢圓短軸的兩個頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)、，則，，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，則，所以，解得，因此，直線的方程為.【小問3詳解】解：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，聯(lián)立，可得（*），，解得，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時，此時的面積取最大值，當(dāng)時，方程（*）為，解得，此時，即點(diǎn).此時，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，因此，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱時，的面積達(dá)到最大.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值18、（1）見解析；（2）.【解析】（1）推導(dǎo)出PQ⊥AD，從而PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，則AQ∥BC，推導(dǎo)出MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值【詳解】（1）由已知PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，∴△ANQ∽△BCN，，又，∴，∴MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，∴PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，∵底面底面是菱形，∴△ABD是正三角形，∴由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），設(shè)平面BMQ的法向量＝（x，y，z），∴，由（1）知MN∥PA，∴，∴，取z＝1，得，平面BQP的法向量，設(shè)二面角M﹣BQ﹣P的平面角為θ，則cosθ＝，∴二面角M﹣BQ﹣P的余弦值為19、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結(jié)合可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡整理可求解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以①又因?yàn)檫^且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以設(shè)點(diǎn)，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因?yàn)?，，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，，都是長度，所以，所以，整理可得，又因?yàn)?，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為020、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)椋悦鍼AQ//面MNC【小問2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD