杜郎口中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線+的傾斜角是（）A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.3．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對?x0，f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)4．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，.若存在三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．如果，，…，是拋物線C：上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，，…，，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn).若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.47．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長為2，則它的體積為（）A. B.C. D.8．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）A. B.C. D.9．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．已知“”的必要不充分條件是“或”，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.11．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.12．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______.14．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為___________時用料最省.15．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個的樣本個體的編號是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795416．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實(shí)數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn).（1）若直線過點(diǎn)且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.18．（12分）某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需要再收費(fèi)5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費(fèi)用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機(jī)分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費(fèi)為45元的概率.19．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)的兩個極值點(diǎn)分別為，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角【詳解】由直線方程知直角斜率為，在上正切值為1的角為，即為傾斜角故選：B2、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D3、B【解析】由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由最小值非負(fù)可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，，不合題意；若，則時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B4、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.5、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有兩個實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖谌齻€零點(diǎn)，所以方程有三個實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時，由得，解得，有且只有一個實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時，有兩個實(shí)數(shù)根，即有兩個實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實(shí)數(shù)根，則故選：B6、A【解析】根據(jù)拋物線定義得個等式，相加后，利用已知條件可得結(jié)果.【詳解】拋物線C：的準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用拋物線的定義解題是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】由幾何關(guān)系先求出一個正四面體的高，再結(jié)合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，連接，由幾何關(guān)系知，，則正八面體體積為.故選：C8、C【解析】依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算9、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D10、A【解析】首先解不等式得到或，根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】，解得或，因?yàn)椤啊钡谋匾怀浞謼l件是“或”，所以.實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A11、B【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)橹本€：和：的距離，由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標(biāo)為，故圓的方程為；故選：B12、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線所以，即故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)所給的通項(xiàng)公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，而，，∴，則，故答案為：.14、【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進(jìn)而求得表面積，結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時最小，即用料最省，此時，可得.故答案為：.15、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測的3袋牛奶編號為：331、572、455、068.故答案為：068.16、【解析】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時，最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因?yàn)?、在拋物線上，則，兩式相減得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，直線的斜率為，此時，直線的方程為，即.18、(1)公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數(shù)，運(yùn)用平均數(shù)的公式即可；由于中位數(shù)將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數(shù)位于哪一組，然后建立關(guān)于中位數(shù)的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據(jù)題意分別確定總的基本事件個數(shù)，以及事件“快遞費(fèi)為45元”包括的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數(shù)分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為設(shè)中位數(shù)為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數(shù)為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設(shè)四件禮物分為二個包裹E、F，因?yàn)槎Y物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過5千克，故E和F的重量數(shù)分別有，，，，共5種，對應(yīng)的快遞費(fèi)分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【點(diǎn)睛】主要考查了頻率分布直方圖的平均數(shù)，中位數(shù)求解，以及古典概型，屬于中檔題.19、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因?yàn)椋?，即，解?20、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達(dá)定理即可得出答案.【小問1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；【小問2詳解】解：點(diǎn)滿足，故點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可求得.【小問1詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，，因?yàn)楫?dāng)時，，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，故?shù)列的前項(xiàng)和.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，把問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值為0的方程有兩個正根，再構(gòu)造函數(shù)求解作答.(2)將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)