吉林省長春市九臺區(qū)四中2026屆數(shù)學高三第一學期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．2．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調遞減的是（）A． B． C． D．4．正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則（）A． B．1 C． D．25．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形6．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知三棱柱的所有棱長均相等，側棱平面，過作平面與平行，設平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關系為()A． B．C． D．8．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．9．函數(shù)與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．1010．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．11．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．112．過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點，，為的準線上的一點，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動點到直線的距離和他到點距離相等，直線過且交點的軌跡于兩點，則以為直徑的圓必過_________.14．秦九韶算法是南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例，若輸入，的值分別為4，5，則輸出的值為______.15．直線（，）過圓：的圓心，則的最小值是______.16．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取_____人．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.18．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產品所用時間，對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調查名工人，求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望．19．（12分）在直角坐標系中，已知圓，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線平分圓M的周長.（1）求圓M的半徑和圓M的極坐標方程；（2）過原點作兩條互相垂直的直線，其中與圓M交于O，A兩點，與圓M交于O，B兩點，求面積的最大值.20．（12分）已知三棱柱中，，是的中點，，.（1）求證：；（2）若側面為正方形，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項，第3項，第4項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和．22．（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點；（2）設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，求證：；（3）若，且不等式對一切正實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．【點睛】本題考查程序框圖，是基礎題．2、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．3、C【解析】

由每個函數(shù)的單調區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調區(qū)間，屬基礎題.4、B【解析】

根據(jù)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質以應用，屬于中檔題.5、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因為所以所以所以所以所以當時，為直角三角形；當時即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．6、D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應用，屬于基礎題7、B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，，設為的中點，為的中點，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補角，分別為，設三棱柱的棱長為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B【點睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算，考查了學生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學生直觀想象的核心素養(yǎng).8、C【解析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．9、C【解析】

根據(jù)直線過定點，采用數(shù)形結合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結果.【詳解】由題可知：直線過定點且在是關于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關于對稱所以故選：C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應用，數(shù)形結合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎函數(shù)的性質，屬難題.10、D【解析】

由復數(shù)的綜合運算求出，再寫出其共軛復數(shù)，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復數(shù)的運算，考查共軛復數(shù)與模的定義，屬于基礎題．11、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.12、C【解析】

設拋物線的解析式，得焦點為，對稱軸為軸，準線為，這樣可設點坐標為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點，，是與的交點，又軸，∴可設點坐標為，代入，解得，又∵點在準線上，設過點的的垂線與交于點，，∴.故應選C.【點睛】本題考查拋物線的性質，解題時只要設出拋物線的標準方程，就能得出點坐標，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用動點到直線的距離和他到點距離相等，,可知動點的軌跡是以為焦點的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原點O.【詳解】設點，由題意可得，，，可得，設直線的方程為，代入拋物線可得，，，，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點.故答案為：（0,0）【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時考查了方程的思想和韋達定理，考查了運算能力，屬于中檔題.14、1055【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖中的程序，即可求得結果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下：，滿足，，滿足，，滿足，，滿足，，不滿足，輸出.故答案為：1055.【點睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行，屬基礎題.15、；【解析】

求出圓心坐標，代入直線方程得的關系，再由基本不等式求得題中最小值．【詳解】圓：的標準方程為，圓心為，由題意，即，∴，當且僅當，即時等號成立，故答案為：．【點睛】本題考查用基本不等式求最值，考查圓的標準方程，解題方法是配方法求圓心坐標，“1”的代換法求最小值，目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”．16、1．【解析】

先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學生占的比例為，所以應從高三年級學生中抽取的人數(shù)為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當時，化為，當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設得，故．所以a的取值范圍為18、（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為．（2）被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，，，的分布列如下：故【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù)，求離散型隨機變量分布列，根據(jù)分布列求解期望，關鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.19、（1），（2）【解析】

先求出，再求圓的半徑和極坐標方程；（2）設求出,,再求出得解.【詳解】（1）將化成直角坐標方程，得則，故，則圓，即，所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標方程，得.即圓M的極坐標方程為.（2）設，則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標和極坐標的互化，考查極徑的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取的中點，連接，，證明平面得出，再得出；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算，即可得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，，，，，故，又，，平面，平面，，，分別是，的中點，，．（2）解：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，在平面內作直線的垂線，以為原點，以，，為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，2，，，1，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得：，，，，．直線與平面所成角的正弦值為，．【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質，考查空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．21、（1），；（2）.【解析】

(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式；(2)求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:，所以，所以解得設等比數(shù)列的公比為，所以又(2)由（1）知，因為①當時,②由①②得，，即，又當時，不滿足上式，.數(shù)列的前2020項的和設③，則④，由③④得：，所以，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質，錯位相減法求和,考查學生的邏輯推理能力,化歸與轉化能力及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學運算.是中檔題.22、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

（1）令，根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間，求出極小值，進而求解；（2）轉化思想，要證，即證，即證，構造函數(shù)進而求證；（3）不等式對一切正實數(shù)恒成立，，設，分類討論進而求解．【詳解】解：（1）令，所以，當時，，在