全等三角形二次全等典型習(xí)題在初中幾何的學(xué)習(xí)旅程中，全等三角形無疑是一座至關(guān)重要的橋梁，它不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜幾何知識的基礎(chǔ)，其蘊(yùn)含的邏輯推理與轉(zhuǎn)化思想，更是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的關(guān)鍵。而在全等三角形的各類問題中，“二次全等”題型常常成為同學(xué)們理解和掌握的難點(diǎn)。這類題目并非一眼就能看穿全等條件，往往需要我們進(jìn)行兩次或以上的全等三角形證明，方能抵達(dá)目標(biāo)。本文將結(jié)合典型例題，深入剖析二次全等問題的解題思路與技巧，助力同學(xué)們更好地駕馭這一幾何難點(diǎn)。一、“二次全等”的核心特征與解題要義所謂“二次全等”，顧名思義，是指在一個幾何問題中，為了證明最終的目標(biāo)三角形全等，需要先通過一次（或多次）全等三角形的證明作為鋪墊，獲取關(guān)鍵的邊或角的等量關(guān)系，進(jìn)而為第二次（或后續(xù)）全等證明創(chuàng)造充分條件。其核心特征在于“間接性”和“遞進(jìn)性”。第一次全等的結(jié)論，往往是第二次全等證明中不可或缺的“鑰匙”。破解這類問題的要義在于：1.明確目標(biāo)：清晰最終需要證明哪兩個三角形全等。2.逆向溯源：分析要證明這對目標(biāo)三角形全等，目前已具備哪些條件，還缺少哪些關(guān)鍵條件。3.順向推導(dǎo)與橋梁構(gòu)建：通過已知條件，觀察能否先證明其他一對（或幾對）三角形全等，從而得到所缺的關(guān)鍵條件，搭建起通往目標(biāo)全等的橋梁。二、典型例題深度剖析類型一：利用第一次全等獲取關(guān)鍵邊相等例題1已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。求證：△AFD≌△CEB。思路分析：要證△AFD≌△CEB，我們先審視已知條件：AD=BC（已知），若能證明AF=CE，DF=BE，或者找到兩組對應(yīng)角相等及一組夾邊相等，即可得證。但題目中直接給出的關(guān)于AF、CE、DF、BE的關(guān)系并不明確，也未提及相關(guān)角的信息。已知E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，這提示我們可能需要連接一些輔助線，或者先證明其他三角形全等以獲取邊或角的關(guān)系。注意到AD∥BC且AD=BC，這是一個非常重要的條件，它提示我們四邊形ABCD可能是平行四邊形，但我們暫不直接使用這個判定。我們可以嘗試證明△ADC≌△CBA。證明過程：1.第一次全等：證明△ADC≌△CBA在△ADC和△CBA中，∵AD=BC（已知），∠DAC=∠BCA（∵AD∥BC，內(nèi)錯角相等），AC=CA（公共邊），∴△ADC≌△CBA（SAS）?！郉C=AB，∠DCA=∠BAC（全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）。2.利用中點(diǎn)及已得結(jié)論，準(zhǔn)備第二次全等條件∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)（已知），∴DF=FC=1/2DC，AE=EB=1/2AB。又∵DC=AB（由△ADC≌△CBA所得），∴DF=EB，F(xiàn)C=AE。3.第二次全等：證明△AFD≌△CEB在△AFD和△CEB中，∵AD=BC（已知），∠ADF=∠CBE？（此角關(guān)系不明顯，換一組條件）我們已證得∠DCA=∠BAC，即∠DCF=∠BAE。且DF=EB（已證），F(xiàn)C=AE（已證）。（若考慮△AFC和△CEA，似乎也可行，但目標(biāo)是△AFD和△CEB）換個思路，在△AFD和△CEB中：AD=BC（已知），DF=EB（已證），還需AF=CE。如何證AF=CE？可在△AFC和△CEA中考慮。在△AFC和△CEA中，F(xiàn)C=AE（已證），∠FCA=∠EAC（已證∠DCA=∠BAC），AC=CA（公共邊），∴△AFC≌△CEA（SAS）。∴AF=CE（全等三角形對應(yīng)邊相等）?，F(xiàn)在回到△AFD和△CEB：AD=BC（已知），DF=EB（已證），AF=CE（已證），∴△AFD≌△CEB（SSS）。點(diǎn)評：本題通過第一次證明△ADC≌△CBA，得到了DC=AB以及一組對應(yīng)角相等，進(jìn)而利用中點(diǎn)性質(zhì)得到了DF=EB和FC=AE，為證明AF=CE（通過△AFC≌△CEA）創(chuàng)造了條件，最終達(dá)成目標(biāo)△AFD≌△CEB的證明。第一次全等為后續(xù)證明提供了關(guān)鍵的邊相等關(guān)系。類型二：利用第一次全等獲取關(guān)鍵角相等例題2已知：如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求證：BD=CE。思路分析：要證BD=CE，最直接的思路是證明BD和CE所在的三角形全等，即△ABD和△ACE。我們來看這兩個三角形的已知條件：AB=AC（已知），AD=AE（已知）。若能證明它們的夾角∠BAD=∠CAE，即可利用SAS證明全等。而題目中給出∠BAC=∠DAE，這兩個角有公共部分∠DAC，因此可以通過角的和差關(guān)系來推導(dǎo)∠BAD=∠CAE。這里的“角的和差”是關(guān)鍵，但如果∠BAC和∠DAE沒有公共部分，可能就需要先證明另一對三角形全等以獲得這個角相等關(guān)系。本題雖然看似可以直接通過角的運(yùn)算得到，但為了體現(xiàn)“二次全等”的思路，我們可以假設(shè)∠BAC和∠DAE是分別位于兩個不同頂點(diǎn)的等角，需要通過一次全等過渡。（*此處為了貼合主題，我們略微調(diào)整題目的初始呈現(xiàn)，假設(shè)圖形中∠BAC與∠DAE并非有公共頂點(diǎn)，例如點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC外，此時直接推導(dǎo)∠BAD=∠CAE不直觀，需要先證另一對三角形全等*）（調(diào)整后題目描述，更貼合二次全等）已知：如圖，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，G為BC中點(diǎn)，且FG⊥DE，F(xiàn)G⊥BC。求證：BD=CE。(此調(diào)整可能略顯復(fù)雜，我們?nèi)曰氐皆己唵晤}目，但強(qiáng)調(diào)其思想可以延伸)回歸原始例題2的核心思想提煉：原始例題中，∠BAC=∠DAE，所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。這是一步到位的角的等量代換。但如果題目條件改為：AB=AC，AD=AE，且∠B=∠C，要證BD=CE。此時，直接證明△ABD≌△ACE缺少∠BAD=∠CAE。我們可能需要先證明△ABE≌△ACD（AAS或ASA），得到∠BAE=∠CAD，然后∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，即∠BAD=∠CAE，再證△ABD≌△ACE（SAS）。這就是典型的通過第一次全等獲取關(guān)鍵角相等，進(jìn)而進(jìn)行第二次全等證明。證明過程（調(diào)整后的假設(shè)情景，以體現(xiàn)二次全等）：已知AB=AC，AD=AE，∠B=∠C。求證BD=CE。1.第一次全等：證明△ABE≌△ACD在△ABE和△ACD中，∠B=∠C（已知），AB=AC（已知），∠BAE=∠CAD？（未知，若已知∠BAC是公共角則可，但此處假設(shè)不知）（此處為了構(gòu)造二次全等，我們假設(shè)已知∠ADB=∠AEC）若已知∠ADB=∠AEC，則∠AEB=180°-∠AEC，∠ADC=180°-∠ADB，故∠AEB=∠ADC。在△ABE和△ACD中，∠B=∠C（已知），∠AEB=∠ADC（已證），AB=AC（已知），∴△ABE≌△ACD（AAS）?！唷螧AE=∠CAD（全等三角形對應(yīng)角相等）。2.獲取關(guān)鍵角相等∵∠BAE=∠CAD（已證），∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE（等式性質(zhì)），即∠BAD=∠CAE。3.第二次全等：證明△ABD≌△ACE在△ABD和△ACE中，AB=AC（已知），∠BAD=∠CAE（已證），AD=AE（已知），∴△ABD≌△ACE（SAS）?！郆D=CE（全等三角形對應(yīng)邊相等）。點(diǎn)評：此調(diào)整后的情景更能體現(xiàn)“二次全等”中通過第一次全等獲取關(guān)鍵角相等的思路。第一次全等（△ABE≌△ACD）的目的是為了得到∠BAE=∠CAD，通過角的等量代換（作差）得到△ABD和△ACE的夾角相等，從而為第二次全等證明鋪平道路。類型三：利用線段和差構(gòu)建全等條件的二次全等例題3已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC中點(diǎn)，AF⊥BD于E，交BC于F。求證：∠ADB=∠CDF。思路分析：要證∠ADB=∠CDF，直接證明所在三角形△ABD與△CFD全等條件不足?？紤]構(gòu)造輔助線，過點(diǎn)C作AC的垂線，交AF延長線于G。這樣可以構(gòu)造出與△ABD全等的直角三角形，通過第一次全等得到對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，再以此為基礎(chǔ)證明△CDF與△CGF（或其他三角形）全等，從而得到∠ADB=∠CDF。證明過程：1.構(gòu)造輔助線并第一次全等：證明△ABD≌△CAG過點(diǎn)C作CG⊥AC，交AF延長線于點(diǎn)G?！摺螧AC=90°，AF⊥BD，∴∠ABD+∠BAE=90°，∠CAG+∠BAE=90°。∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）。在△ABD和△CAG中，∠ABD=∠CAG（已證），AB=AC（已知），∠BAD=∠ACG=90°（已知及所作輔助線），∴△ABD≌△CAG（ASA）?！郃D=CG（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠ADB=∠G（全等三角形對應(yīng)角相等）。2.利用中點(diǎn)及等量代換∵D為AC中點(diǎn)（已知），∴AD=DC。又∵AD=CG（已證），∴DC=CG（等量代換）。3.第二次全等：證明△CDF≌△CGF∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACB=45°?！逤G⊥AC，∠ACB=45°，∴∠GCF=∠ACB=45°（等量代換）。在△CDF和△CGF中，DC=GC（已證），∠DCF=∠GCF=45°（已證），CF=CF（公共邊），∴△CDF≌△CGF（SAS）?！唷螩DF=∠G（全等三角形對應(yīng)角相等）。4.結(jié)論∵∠ADB=∠G（已證），∠CDF=∠G（已證），∴∠ADB=∠CDF（等量代換）。點(diǎn)評：本題通過巧妙構(gòu)造輔助線，先證明了△ABD≌△CAG，得到了邊AD=CG和角∠ADB=∠G，為后續(xù)證明準(zhǔn)備了關(guān)鍵條件。然后利用中點(diǎn)性質(zhì)和角度關(guān)系，證明了△CDF≌△CGF，從而將∠CDF與∠G聯(lián)系起來，最終證得結(jié)論。這種通過構(gòu)造輔助線實現(xiàn)第一次全等，進(jìn)而為第二次全等創(chuàng)造條件的思路，在復(fù)雜幾何題中尤為常見。三、解題策略與技巧總結(jié)解決二次全等問題，如同攀登一座需要中轉(zhuǎn)的山峰，不能期望一步登頂。以下是一些實用的解題策略與技巧：1.審清題意，標(biāo)記已知：仔細(xì)閱讀題目，將所有已知條件在圖形上清晰標(biāo)記出來，包括邊的相等、角的相等、平行、垂直等關(guān)系。2.明確目標(biāo)，逆向思維：時刻牢記最終要證明的全等三角形是哪一對，分析需要哪些條件，哪些條件已經(jīng)具備，哪些條件缺失。3.挖掘隱含，尋找橋梁：已知條件中沒有直接給出的，要思考能否通過已知條件推導(dǎo)出隱含信息，或者通過證明另一對易證的三角形全等，來獲取所缺失的關(guān)鍵條件（邊或角）。這“另一對易證的三角形”就是連接已知與未知的橋梁。4.輔助線助力，構(gòu)造全等：當(dāng)直接證明困難時，要勇于嘗試添加輔助線。常見的輔助線作法有：倍長中線、截長補(bǔ)短、作高、構(gòu)造公共邊或公共角等，目的是構(gòu)造出一對新的、便于證明的全等三角形。5.步步為營，條理清晰：證明過程要規(guī)范，每一步推理都要有依據(jù)。第一次全等的結(jié)論要明確寫出，以便在第二次全等證明中直接引用。6.及時總結(jié)，反思?xì)w納：做完一道題后，要回顧整個解題過程，思考第一次全等是如何為第二次全等服務(wù)的，關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在哪里，從中提煉出這類題目的共性解法。四、結(jié)語“二次全等”問題是對同學(xué)們?nèi)热切沃R掌握程度和邏輯推理能力的綜合考查。它要求我們不僅要熟悉全等三角形的判定