初一幾何——三角形內(nèi)外角平分線模型在初中幾何的學(xué)習(xí)旅程中，三角形無疑是一座重要的里程碑。而角平分線，作為三角形中的關(guān)鍵“線條”，常常與角度計(jì)算、圖形性質(zhì)緊密相連，演化出多種頗具挑戰(zhàn)性的幾何模型。其中，三角形內(nèi)外角平分線相交形成的角度關(guān)系，更是各類考試中頻繁出現(xiàn)的考點(diǎn)。今天，我們就一同深入探討這些模型，剖析其內(nèi)在規(guī)律，掌握破解此類問題的核心方法。一、內(nèi)角平分線模型：雙內(nèi)角平分線的“邂逅”我們從最基礎(chǔ)也最常見的模型開始——三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交。模型描述：在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，它們相交于點(diǎn)O。我們需要探究∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。思路剖析：要找到∠BOC與∠A的關(guān)系，我們自然要聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°。而在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°。這里的∠OBC和∠OCB，正是∠ABC和∠ACB的一半，因?yàn)锽O、CO是角平分線。推理過程：設(shè)∠ABC=2α，∠ACB=2β。因?yàn)锽O平分∠ABC，所以∠OBC=α；同理，CO平分∠ACB，所以∠OCB=β。在△ABC中，∠A+2α+2β=180°，即α+β=(180°-∠A)/2=90°-∠A/2。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(α+β)。將α+β=90°-∠A/2代入上式，可得：∠BOC=180°-(90°-∠A/2)=90°+∠A/2。結(jié)論：三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于90°加上第三個(gè)內(nèi)角的一半。即∠BOC=90°+∠A/2。記憶口訣與理解：這個(gè)結(jié)論可以理解為，兩個(gè)內(nèi)角各貢獻(xiàn)了一半給夾角，而這兩個(gè)一半的和，根據(jù)三角形內(nèi)角和，恰好是90°減去第三個(gè)角的一半，再用180°去減，就得到了90°加上第三個(gè)角的一半。記住這個(gè)關(guān)系，在選擇或填空題中可以直接應(yīng)用，大大提高解題速度。二、內(nèi)外角平分線模型：內(nèi)角與外角平分線的“對(duì)話”接下來，我們探討一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交的情況，這比雙內(nèi)角平分線模型稍顯復(fù)雜，但同樣有規(guī)律可循。模型描述：在△ABC中，BO是∠ABC的內(nèi)角平分線，CO是∠ACB的外角平分線，它們相交于點(diǎn)O。我們需要探究∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。思路剖析：同樣，我們還是要借助角平分線的定義和三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）。這里出現(xiàn)了一個(gè)外角，即∠ACB的外角，我們不妨記為∠ACD，那么∠ACD=∠A+∠ABC。CO是∠ACD的平分線，BO是∠ABC的平分線。推理過程：設(shè)∠ABC=2α，∠ACD=2γ。因?yàn)锽O平分∠ABC，所以∠OBC=α；因?yàn)镃O平分∠ACD，所以∠OCD=γ。在△ABC中，∠ACD是外角，所以∠ACD=∠A+∠ABC，即2γ=∠A+2α，可得γ=(∠A+2α)/2=∠A/2+α。在△BOC中，∠OCD是其外角，所以∠OCD=∠BOC+∠OBC，即γ=∠BOC+α。將γ=∠A/2+α代入上式，可得：∠A/2+α=∠BOC+α。兩邊同時(shí)減去α，得到∠BOC=∠A/2。結(jié)論：三角形一個(gè)內(nèi)角平分線與另一個(gè)外角平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。即∠BOC=∠A/2。記憶口訣與理解：這個(gè)結(jié)論相對(duì)簡(jiǎn)潔，夾角恰好是第三個(gè)內(nèi)角的一半?？梢赃@樣理解，外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，它的一半就等于這兩個(gè)內(nèi)角和的一半，而其中一個(gè)內(nèi)角的一半被內(nèi)角平分線分走，剩下的就是第三個(gè)內(nèi)角的一半。這個(gè)模型的結(jié)論在證明和計(jì)算中也非常有用。三、雙外角平分線模型：外角平分線的“聯(lián)盟”最后，我們來看看兩個(gè)外角平分線相交的情況。模型描述：在△ABC中，BO是∠ABC的外角平分線，CO是∠ACB的外角平分線，它們相交于點(diǎn)O。我們需要探究∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。思路剖析：此時(shí)，點(diǎn)O位于三角形的外部。我們依然從角平分線定義出發(fā)，考慮這兩個(gè)外角與∠A的關(guān)系。推理過程：設(shè)∠ABC的外角為∠CBE，∠ACB的外角為∠BCF。BO平分∠CBE，CO平分∠BCF。設(shè)∠CBE=2α，∠BCF=2β。因?yàn)锽O平分∠CBE，所以∠OBC=α；因?yàn)镃O平分∠BCF，所以∠OCB=β。∠ABC+∠CBE=180°（平角），所以∠ABC=180°-2α；同理，∠ACB=180°-2β。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+(180°-2α)+(180°-2β)=180°。整理可得：∠A+180°=2α+2β，即α+β=(∠A+180°)/2=∠A/2+90°。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(α+β)。將α+β=∠A/2+90°代入，可得：∠BOC=180°-(∠A/2+90°)=90°-∠A/2。結(jié)論：三角形兩個(gè)外角平分線的夾角等于90°減去第三個(gè)內(nèi)角的一半。即∠BOC=90°-∠A/2。記憶口訣與理解：這個(gè)結(jié)論與雙內(nèi)角平分線模型有些“對(duì)稱”的美感，一個(gè)是90°加一半，一個(gè)是90°減一半。理解時(shí)，注意兩個(gè)外角和與內(nèi)角的關(guān)系，以及它們一半的和與內(nèi)角的關(guān)系，通過三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到。四、模型應(yīng)用與解題技巧掌握了這三個(gè)基本模型及其結(jié)論，我們?cè)诮鉀Q相關(guān)問題時(shí)就能更加游刃有余。應(yīng)用場(chǎng)景：1.直接計(jì)算角度：當(dāng)題目中給出三角形一個(gè)角的度數(shù)，以及角平分線的條件時(shí)，可以直接套用模型結(jié)論求出交點(diǎn)形成的角的度數(shù)。2.證明角度關(guān)系：在證明題中，若涉及到角平分線的夾角，可以利用模型結(jié)論作為中間步驟，簡(jiǎn)化證明過程。3.輔助線構(gòu)造：有時(shí)題目不會(huì)直接給出角平分線模型，但通過作輔助線構(gòu)造出角平分線，可以利用模型結(jié)論找到突破口。例題解析：例1：在△ABC中，∠A=60°，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，則∠BOC的度數(shù)為多少？解：直接應(yīng)用雙內(nèi)角平分線模型結(jié)論：∠BOC=90°+∠A/2=90°+60°/2=90°+30°=120°。例2：在△ABC中，∠A=80°，BO是∠ABC的平分線，CO是∠ACB的外角平分線，則∠BOC的度數(shù)為多少？解：應(yīng)用內(nèi)角與外角平分線模型結(jié)論：∠BOC=∠A/2=80°/2=40°。例3：在△ABC中，∠A=50°，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的外角平分線，則∠BOC的度數(shù)為多少？解：應(yīng)用雙外角平分線模型結(jié)論：∠BOC=90°-∠A/2=90°-50°/2=90°-25°=65°。解題技巧總結(jié)：*準(zhǔn)確識(shí)別模型：拿到題目后，首先要仔細(xì)觀察圖形，判斷是哪一種角平分線模型（雙內(nèi)角、內(nèi)外角、雙外角）。*牢記結(jié)論公式：三個(gè)模型的結(jié)論要記準(zhǔn)，不要混淆。特別是角度的一半以及加減90°的關(guān)系。*靈活運(yùn)用定義與定理：模型結(jié)論是基于角平分線定義和三角形內(nèi)角和（外角）定理推導(dǎo)出來的。在解答題中，不能只寫結(jié)論，要有必要的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)思維邏輯。*多做練習(xí)，熟能生巧：通過練習(xí)不同變式的題目，加深對(duì)模型的理解和應(yīng)用能力。五、總結(jié)與提升三角形內(nèi)外角平分線模型是初一幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但其內(nèi)在規(guī)律清晰，結(jié)論明確。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，不僅要記住結(jié)論，更要理解結(jié)論的推導(dǎo)過程，這樣才能在復(fù)雜多變的題目中靈活運(yùn)用。遇到具體問題