八年級數(shù)學(xué)下冊《四邊形》講義同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識，對平面圖形有了一定的認(rèn)識。從今天開始，我們將進入一個新的圖形世界——四邊形。生活中，四邊形無處不在，我們書本的封面、課桌的桌面、教室的窗戶，乃至遠處的高樓大廈，都離不開四邊形的身影。本章我們將系統(tǒng)地學(xué)習(xí)四邊形的定義、性質(zhì)、判定以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，探索它們在幾何世界中的奧秘。一、四邊形的基本概念（一）四邊形的定義與構(gòu)成元素在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做四邊形。組成四邊形的四條線段叫做四邊形的邊。相鄰兩邊的公共端點叫做四邊形的頂點。連接不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。四邊形相鄰兩邊所組成的角叫做四邊形的內(nèi)角，簡稱四邊形的角。四邊形用表示它各個頂點的字母來表示，字母的順序通常按順時針或逆時針方向排列。例如，我們可以把一個四邊形記作“四邊形ABCD”。（二）四邊形的內(nèi)角和與外角和我們知道，三角形的內(nèi)角和是固定的。那么四邊形呢？我們可以通過添加輔助線的方法，將四邊形轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角形。連接四邊形的一條對角線，它就被分成了兩個三角形。因為一個三角形的內(nèi)角和是180°，所以四邊形的內(nèi)角和就是兩個三角形內(nèi)角和的總和，即：四邊形的內(nèi)角和=180°×2=360°。與三角形類似，四邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做四邊形的外角。四邊形的外角和又是多少呢？四邊形的每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角，大小相等。我們通常取每個頂點處的一個外角。四邊形的外角和，就是這四個外角的度數(shù)之和。由于四邊形的每一個內(nèi)角與它相鄰的外角互為鄰補角，即它們的和為180°，所以四個內(nèi)角與四個外角的總和為180°×4=720°。已知四邊形內(nèi)角和為360°，因此四邊形的外角和為720°-360°=360°。有趣的是，無論是三角形、四邊形，還是我們后續(xù)可能學(xué)習(xí)的更多邊形，它們的外角和都是360°，這是一個恒定不變的規(guī)律。二、平行四邊形在眾多四邊形中，有一類四邊形因其兩組對邊分別平行而具有特殊的性質(zhì)，我們稱之為平行四邊形。（一）平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“?”表示，例如平行四邊形ABCD可記作“?ABCD”。（二）平行四邊形的性質(zhì)根據(jù)平行四邊形的定義，我們可以推導(dǎo)出它的一些基本性質(zhì)：1.邊的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等。即，在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。2.角的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等，鄰角互補。即，在?ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，等等。3.對角線的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分。即，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則OA=OC，OB=OD。4.對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點。這些性質(zhì)是解決平行四邊形相關(guān)問題的基礎(chǔ)，同學(xué)們需要熟練掌握，并能靈活運用它們進行推理和計算。例如，已知平行四邊形的一組鄰邊長度和一個內(nèi)角的度數(shù)，我們就可以求出其他邊的長度和其他角的度數(shù)；已知平行四邊形兩條對角線的長度及其交點，我們可以求出對角線被交點分成的四條線段的長度。（三）平行四邊形的判定判定一個四邊形是不是平行四邊形，除了根據(jù)定義（兩組對邊分別平行）外，還有其他幾種方法：1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么它就是平行四邊形。2.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。如果一個四邊形的兩組對角分別相等，那么它就是平行四邊形。3.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，那么它就是平行四邊形。4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。如果一個四邊形有一組對邊平行且相等，那么它就是平行四邊形。在具體解題時，我們需要根據(jù)題目所給的條件，靈活選擇合適的判定方法。有時，可能需要綜合運用多種判定方法或結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)來解決問題。三、特殊的平行四邊形平行四邊形是一類重要的四邊形，在此基礎(chǔ)上，如果我們對其邊、角或?qū)蔷€再增加一些特定的條件限制，就會得到一些更為特殊的平行四邊形，它們分別是矩形、菱形和正方形。（一）矩形（長方形）1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是我們常說的長方形。2.性質(zhì)：矩形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有以下特殊性質(zhì)：*矩形的四個角都是直角。*矩形的對角線相等。此外，矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。3.判定：*根據(jù)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。*對角線相等的平行四邊形是矩形。*有三個角是直角的四邊形是矩形。（二）菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2.性質(zhì)：菱形同樣具有平行四邊形的所有性質(zhì)，并且具有以下特殊性質(zhì)：*菱形的四條邊都相等。*菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，即兩條對角線所在的直線。3.判定：*根據(jù)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。*對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。*四條邊都相等的四邊形是菱形。（三）正方形1.定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。從定義可以看出，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。2.性質(zhì)：正方形同時具有平行四邊形、矩形和菱形的所有性質(zhì)：*正方形的四條邊都相等。*正方形的四個角都是直角。*正方形的對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，它有四條對稱軸。3.判定：*根據(jù)定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。*有一組鄰邊相等的矩形是正方形。*有一個角是直角的菱形是正方形。正方形可以看作是“完美”的四邊形，它集中了各類特殊平行四邊形的優(yōu)點。思考與辨析：矩形、菱形、正方形與平行四邊形之間存在著怎樣的包含關(guān)系？我們可以這樣理解：平行四邊形是“母體”，矩形和菱形是平行四邊形的“孩子”，而正方形則是矩形和菱形“共同的孩子”，它兼具了矩形的“直角”特性和菱形的“等邊”特性。四、梯形除了平行四邊形及其特殊類型外，梯形是另一種常見的特殊四邊形。（一）梯形的定義一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。其中，平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底），不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底之間的距離叫做梯形的高。（二）特殊的梯形1.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。*性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即經(jīng)過兩底中點的直線。*判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。2.直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。直角梯形有一條腰與兩底垂直，這條腰就是梯形的高。解決梯形問題時，常常需要通過添加輔助線，將梯形轉(zhuǎn)化為我們熟悉的平行四邊形和三角形來解決。例如，可以過梯形的一個頂點作一腰的平行線，或者過上底的兩個頂點分別作下底的垂線等。五、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議本章我們學(xué)習(xí)了四邊形的基本概念，重點研究了平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及梯形的定義、性質(zhì)和判定方法。這些知識并非孤立存在，它們之間有著密切的聯(lián)系和區(qū)別。知識脈絡(luò)梳理：從一般四邊形出發(fā)，我們學(xué)習(xí)了具有兩組對邊平行的平行四邊形。平行四邊形因其特殊的對稱性和邊、角、對角線的性質(zhì)，成為了本章的核心。在此基礎(chǔ)上，通過強化邊（鄰邊相等）或角（一個角是直角）的條件，我們得到了菱形和矩形這兩種特殊的平行四邊形。而當(dāng)這兩個強化條件同時滿足時，便得到了最為特殊的正方形。此外，我們還學(xué)習(xí)了只有一組對邊平行的梯形，以及特殊的等腰梯形和直角梯形。學(xué)習(xí)建議：1.重視概念的理解：準(zhǔn)確把握每種四邊形的定義是學(xué)好本章的基礎(chǔ)，定義既是性質(zhì)的出發(fā)點，也是判定的依據(jù)。2.理清性質(zhì)與判定的聯(lián)系與區(qū)別：性質(zhì)是“已知圖形是什么，它有什么特點”；判定是“已知圖形有什么特點，它是什么圖形”。兩者互為逆過程，需要對比記憶，靈活運用。3.注重動手實踐與直觀感受：通過畫圖、折紙、測量等方式，加深對圖形性質(zhì)的理解和記憶。4.善于總結(jié)歸納：例如，將各種特殊四邊形的性質(zhì)和判定方法整理成表格進行對比，找出它們的共性與特性，有助于系統(tǒng)掌握知識。5.多做練習(xí)，注重應(yīng)用：通過解決不同類型