數(shù)列極限考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.數(shù)列$\{a_n\}$收斂是$\{a_n\}$有界的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，則$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|$的值為（）A.一定不存在B.等于$|A|$C.等于$A$D.可能存在也可能不存在3.設(shè)$a_n=\frac{2n+1}{n}$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$等于（）A.0B.1C.2D.34.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n$（）A.一定為0B.一定為$\infty$C.為常數(shù)但不一定為0D.可能為0，也可能為$\infty$，還可能為常數(shù)5.數(shù)列$a_n=(-1)^n$的極限是（）A.1B.-1C.0D.不存在6.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^n}{3^{n+1}+(a+1)^n}=\frac{1}{3}$，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-4,2)$B.$(-4,-2)$C.$(-2,4)$D.$(2,4)$7.若$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a{n}^{2}+bn-1}{2{n}^{2}-n+2}=\frac{1}{2}$，則$a$，$b$的值為（）A.$a=1$，$b=-1$B.$a=1$，$b=0$C.$a=2$，$b=-1$D.$a=2$，$b=0$8.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}$，$a_1=2$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$的值是（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{3}{2}$D.29.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{n^2}{2^n}$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$為（）A.0B.1C.2D.不存在10.設(shè)$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，且$A>B$，則一定存在正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，有（）A.$a_n>b_n$B.$a_n\geqb_n$C.$a_n<b_n$D.以上都不對(duì)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列數(shù)列收斂的有（）A.$a_n=\frac{1}{n}$B.$a_n=(-1)^n\frac{1}{n}$C.$a_n=n^2$D.$a_n=\sinn$2.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，則以下正確的有（）A.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$B.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B$C.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=A\cdotB$D.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}(B\neq0)$3.設(shè)$\{a_n\}$是有界數(shù)列，$\{b_n\}$是無窮小量，則（）A.$\{a_n+b_n\}$是有界數(shù)列B.$\{a_n-b_n\}$是有界數(shù)列C.$\{a_n\cdotb_n\}$是無窮小量D.當(dāng)$a_n\neq0$時(shí)，$\{\frac{b_n}{a_n}\}$是無窮小量4.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n^2-1}$B.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^3}{n^2+1}$C.$\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{2}{3})^n$D.$\lim\limits_{n\to\infty}\sinn$5.對(duì)于數(shù)列極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，以下說法正確的有（）A.對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$，存在正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，$|a_n-A|<\varepsilon$B.數(shù)列$\{a_n\}$的極限是唯一的C.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，則$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n-A|=0$D.改變數(shù)列$\{a_n\}$的有限項(xiàng)，不影響其極限值6.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n+3}{2a_n-1}=\frac{4}{7}$，則下列可能是$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$的值有（）A.5B.6C.7D.87.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_n=\frac{n+k}{n+1}$，若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$，則$k$的值可能為（）A.1B.2C.-1D.-28.下列關(guān)于數(shù)列極限的性質(zhì)中，正確的有（）A.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，則$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=|A|$B.若$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$C.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，且$A>0$，則存在正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，$a_n>0$D.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，且$a_n\leqb_n$，則$A\leqB$9.已知數(shù)列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，則（）A.當(dāng)$\{b_n\}$有界時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0$B.當(dāng)$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0$C.當(dāng)$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n$可能為0D.當(dāng)$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$為非零常數(shù)時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0$10.若$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a\cdot3^n+b\cdot2^n}{3^n-2^n}=2$，則$a$，$b$的值可能為（）A.$a=2$，$b=0$B.$a=2$，$b=1$C.$a=2$，$b=-1$D.$a=1$，$b=2$三、判斷題（每題2分，共20分）1.有界數(shù)列一定收斂。（）2.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，且$A>B$，則一定存在正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，$a_n>b_n$。（）3.若數(shù)列$\{a_n\}$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$唯一。（）4.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，則$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty$。（）5.若$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.改變數(shù)列的有限項(xiàng)，不影響其收斂性及極限值。（）7.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$，則$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$。（）8.若數(shù)列$\{a_n\}$的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都收斂于同一值$A$，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。（）9.無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。（）10.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，則$\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述數(shù)列收斂與數(shù)列有界的關(guān)系。2.求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5n^2-3n+1}{2n^2+n-2}$的值，并說明求解依據(jù)。3.什么是數(shù)列的極限？請(qǐng)用$\varepsilon-N$語言描述。4.若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，說明$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$的證明思路。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論數(shù)列$\{a_n\}$，$a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}$的收斂性。2.設(shè)$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$不存在，討論$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)$的情況。3.已知$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，討論$\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n$的取值情況，其中$\{b_n\}$為任意數(shù)列。4.討論當(dāng)$|q|<1$和$|q|\geq1$時(shí)，等比數(shù)列$\{a_n\}$，$a_n=a_1q^{n-1}$的極限情況。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.B9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題1.AB2.ABCD3.ABCD4.AC5.ABCD6.C7.AB8.ABCD9.ABD10.AC三、判斷題1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡(jiǎn)答題1.數(shù)列收斂則一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。例如數(shù)列$\{(-1)^n\}$有界但不收斂。2.分子分母同時(shí)除以$n^2$，可得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5n^2-3n+1}{2n^2+n-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{5}{2}$，依據(jù)是有理函數(shù)極限求法，當(dāng)$n\to\infty$時(shí)，$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n^2}$極限為0。3.設(shè)$\{a_n\}$為數(shù)列，$A$為定數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)$\varepsilon$，總存在正整數(shù)$N$，使得當(dāng)$n>N$時(shí)有$|a_n-A|<\varepsilon$，則稱數(shù)列$\{a_n\}$收斂于$A$，定數(shù)$A$稱為數(shù)列$\{a_n\}$的極限。4.要證$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$，即證對(duì)任意$\varepsilon>0$，存在$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，$|(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon$。由$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$可分別找到$N_1$，$N_2$使$|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}$，$|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}$，取$N=\max\{N_1,N_2\}$進(jìn)行證明。五、討論題1.當(dāng)$n$為偶數(shù)時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n}{n+1}=1$；當(dāng)$n$為奇數(shù)時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n}{n+1}=-1$，左右極限不相等，所以數(shù)列$\{a_n\}