雙曲線考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.雙曲線$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的實軸長為（）A.3B.4C.6D.82.雙曲線$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$的漸近線方程為（）A.$y=\pm2x$B.$y=\pm\frac{1}{2}x$C.$y=\pm4x$D.$y=\pm\frac{1}{4}x$3.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的一個焦點為$(5,0)$，且$a=3$，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$B.$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$C.$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1$D.$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$4.雙曲線$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$5.雙曲線$x^{2}-y^{2}=1$的焦點坐標(biāo)為（）A.$(\pm\sqrt{2},0)$B.$(0,\pm\sqrt{2})$C.$(\pm1,0)$D.$(0,\pm1)$6.若雙曲線$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{3}=1$的離心率為2，則$m$的值為（）A.1B.$\sqrt{3}$C.3D.97.雙曲線$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{k}=1$的離心率$e\in(1,2)$，則$k$的取值范圍是（）A.$(0,4)$B.$(0,12)$C.$(1,4)$D.$(1,12)$8.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線與圓$(x-2)^{2}+y^{2}=1$相切，則雙曲線的離心率為（）A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$B.$\sqrt{3}$C.2D.$\frac{3}{2}$9.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的一條漸近線方程為$y=\frac{3}{4}x$，則該雙曲線的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{3}{4}$10.雙曲線$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線方程是（）A.$y=\pm\frac{a}x$B.$y=\pm\frac{a}x$C.$y=\pm\frac{a^{2}}{b^{2}}x$D.$y=\pm\frac{b^{2}}{a^{2}}x$二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于雙曲線的說法正確的有（）A.平面內(nèi)到兩個定點$F_1,F_2$的距離之差的絕對值等于定值（小于$|F_1F_2|$）的點的軌跡為雙曲線B.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$C.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的離心率$e=\frac{c}{a}$，且$e\gt1$D.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的焦點到漸近線的距離為$b$2.若雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線與圓$x^{2}+(y-2)^{2}=1$相切，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$B.雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.雙曲線的離心率為2D.雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$3.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b\gt0)$的右焦點與拋物線$y^{2}=12x$的焦點重合，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的實軸長為4B.雙曲線的離心率為$\frac{3}{2}$C.雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$D.$b=\sqrt{5}$4.對于雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$，下列說法正確的有（）A.雙曲線的頂點坐標(biāo)為$(\pma,0)$B.雙曲線的焦點坐標(biāo)為$(\pmc,0)$，其中$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$C.雙曲線的漸近線與雙曲線有交點D.雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊5.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)$的離心率為2，則（）A.$m=3n$B.漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$C.漸近線方程為$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$D.漸近線方程與$m,n$的值無關(guān)6.雙曲線$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的性質(zhì)有（）A.焦點在$y$軸上B.實軸長為$2a$C.漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$D.離心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$7.若雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的離心率為$\sqrt{2}$，則（）A.$a=b$B.漸近線方程為$y=\pmx$C.雙曲線為等軸雙曲線D.焦點到漸近線的距離為$a$8.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$，則（）A.雙曲線的實軸長為4B.雙曲線的離心率為2C.雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$D.焦點到漸近線的距離為$2\sqrt{3}$9.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線與圓$(x-a)^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$的位置關(guān)系可能是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定10.若雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線與拋物線$y=x^{2}+1$相切，則（）A.雙曲線的漸近線方程為$y=\pm2x$B.雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$C.雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{1}{2}x$D.雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$三、判斷題（每題2分，共20分）1.平面內(nèi)到兩個定點的距離之差等于定值的點的軌跡是雙曲線。（）2.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線方程是$y=\pm\frac{a}x$。（）3.雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越窄。（）4.雙曲線$x^{2}-y^{2}=1$的焦點在$y$軸上。（）5.若雙曲線$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)$的離心率為2，則$n=3m$。（）6.雙曲線$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的實軸長為$2b$。（）7.雙曲線的漸近線與雙曲線有且只有一個交點。（）8.雙曲線$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的離心率為$\frac{3}{2}$。（）9.等軸雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$。（）10.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的焦點到漸近線的距離為$a$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述雙曲線的定義。2.寫出雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線方程和離心率公式。3.已知雙曲線的離心率為2，實軸長為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。4.說明雙曲線的離心率與雙曲線開口大小的關(guān)系。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$與$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的異同點。2.當(dāng)雙曲線的離心率變化時，雙曲線的形狀會發(fā)生怎樣的變化？3.討論雙曲線漸近線的作用。4.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$，若其漸近線與圓$x^{2}+y^{2}=r^{2}(r\gt0)$相切，討論$r$與$a,b$的關(guān)系。答案一、單項選擇題1.C2.A3.A4.A5.A6.A7.B8.A9.A10.A二、多項選擇題1.ABCD2.AB3.ABCD4.ABD5.BD6.ABCD7.ABC8.ABCD9.BC10.AB三、判斷題1.×2.√3.×4.×5.×6.×7.×8.×9.√10.×四、簡答題1.平面內(nèi)到兩個定點$F_1,F_2$的距離之差的絕對值等于定值（小于$|F_1F_2|$且大于零）的點的軌跡叫雙曲線。2.漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，離心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。3.實軸長$2a=4$，則$a=2$，$e=\frac{c}{a}=2$，所以$c=4$，$b^{2}=c^{2}-a^{2}=12$，標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$或$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{12}=1$。4.離心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$，$e$越大，$\frac{a}$越大，雙曲線開口越開闊。五、討論題1.相同點：漸近線方程形式類似，離心率公式相同。不同點：焦點位置不同，前者焦點在$x$軸，后者在$y$軸；頂點坐標(biāo)不同，前者為$(\pma