初中數(shù)學(xué)必備公式1模塊一數(shù)與式實(shí)數(shù)(含二次根式)1.相反數(shù):實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是—a.特別地,0的相反數(shù)是0.3.倒數(shù):非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是.特別地,±1的倒數(shù)是其本身.24.科學(xué)記數(shù)法表示形式a×10n1≤a<10n的確定1.當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值≥10時(shí),n是正整數(shù),n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;2.當(dāng)0<原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)整數(shù),n的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)字前0的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前的0)5.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的常用方法(1)比較被開方數(shù):如果兩個(gè)數(shù)的根指數(shù)相同,我們可以通過比較被開方數(shù)的大小來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.(2)數(shù)軸比較法:根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù),結(jié)合圖形(3)法則比較法:根據(jù)“正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù),正數(shù)大于負(fù)數(shù);兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小”進(jìn)行比較.(4)作差比較法:當(dāng)a—b>0時(shí),a>b;當(dāng)a—b=0時(shí),a=b;當(dāng)a—b<0時(shí),a<b.(5)作商比較法:已知a,b為正數(shù),若,則a>b;若,則a=b;若則a<b.(6)倒數(shù)比較法:已知a,b為正數(shù),若則a<b.(7)平方比較法:已知a,b為正數(shù),若a2>b2,則a>b.6.二次根式的運(yùn)算及估值二次根式的運(yùn)算1.加減運(yùn)算:先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并;3.除法運(yùn)算a≥0,b>0)二次根式的估值2.找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個(gè)能開得盡方的整數(shù),如4和9;4.確定這個(gè)根式的值在開方后所得的兩個(gè)整數(shù)之間,如2<、<3溫馨提示牢記常見的無理數(shù)的近似值:3整式分式名稱運(yùn)算法則公式同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變,指數(shù)相加.an=am+n(m,n都是正整數(shù))同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變,指數(shù)相減am÷an=am—n(a≠0,m,n都是正整數(shù),并且m>n)冪的乘方底數(shù)不變,指數(shù)相乘(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))積的乘方把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘(ab)n=anbn(n是正整數(shù))乘法公式平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差(a+b)(a—b)=a2—b2完全平方公式:兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍(a±b)2=a2±2ab+b24提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)注意:因式分解要分解徹底公式法逆用平方差公式:a2—b2=(a+b)(a—b);逆用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2分組分解法ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)十字相乘法r2+(a+b)r+ab=(r+a)(r+b)3.分式的乘方運(yùn)算(n是正整數(shù)).4.通過面積法推導(dǎo)平方差公式如圖1所示,陰影部分的面積為a2—b2,如圖2所示,陰影部分的面積為(a+b)(a—b),所以可以得到(a+b)(a—b)=a2—b2.平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù);等號(hào)右邊是一個(gè)二項(xiàng)式,這個(gè)二項(xiàng)式是左邊兩個(gè)二項(xiàng)式中相同項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方差.5.通過面積法推導(dǎo)完全平方公式①如圖1所示,因?yàn)檫呴L為a+b的正方形的面積為(a+b)2,它的面積還可以看成是兩個(gè)小正方形的面積與兩個(gè)長方形的面積的和,即a2+2ab+b2,所以可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2.②如圖2所示,因?yàn)檫呴L為a—b的小正方形的面積為(a—b)2,它的面積還可以看成是大正方形的面積減去兩個(gè)小長方形的面積,即a2—ab—b(a—b)=a2—2ab+b2,所以可以得到(a—b)2=a2—2ab+b2.完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):等號(hào)左邊是兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等號(hào)右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式,即這兩個(gè)數(shù)的平方和加(或減)這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.5模塊二方程(組)與不等式(組)-次方程(組)分式方程-元二次方程一元二次方程及其應(yīng)用一般形式:ar2+br+c=0(a≠0).求根公式r=(b2—4ac≥0)根的判別式Δ=b2—4ac>0?一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;Δ=b2—4ac=0?一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;Δ=b2—4ac<0?一元二次方程無實(shí)數(shù)根根與系數(shù)的關(guān)系若r1,r2是關(guān)于r的一元二次方程ar2+br+c=0(a≠0)的兩個(gè)根,則r1+r2=—,r1r2=實(shí)際應(yīng)用一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用一般會(huì)涉及增長(或下降)率問題:設(shè)a為原來的量,若m為平均增長率,2為增長次數(shù),b為增長后的量,則a(1+m)2=b;若m為平均下降率,2為下降次數(shù),b為下降后的量,則a(1—m)2=b6不等式(組)-、知識(shí)結(jié)構(gòu)不等式的性質(zhì)1如果a>b,那么a±c>b±c不等式的性質(zhì)2如果a>b,c>0,那么ac>bc(或>不等式的性質(zhì)3如果a>b,c<0,那么ac<bc(或<對(duì)稱性如果a>b,那么b<a傳遞性如果a>b,b>c,那么a>c2.不等式組的解法及解集表示解法先分別求出各個(gè)不等式的解集,再求出這些解集的公共部分解集的類型及表示類型(a>b)在數(shù)軸上表示解集(r≥a,〈(r>b同大取大r≥a(r<a,〈(r≤b同小取小r≤b(r≤a,〈(r≥b大小小大取中間b≤r≤a(r>a,〈(r<b大大小小取不了無解溫馨提示:在數(shù)軸上表示解集時(shí),要注意“<”和“>”在數(shù)軸上表示為空心圓圈,“≤”和“≥”在數(shù)軸上表示為實(shí)心圓點(diǎn).7-、知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊三函數(shù)平面直角坐標(biāo)系及函數(shù)初步(1)關(guān)于r軸對(duì)稱:橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)(a,b)關(guān)于r軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,—b);(2)關(guān)于y軸對(duì)稱:橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同,即點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(—a,b);(3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱:橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(—a,—b).2.圖形變換與坐標(biāo)特征已知圖形上任意一點(diǎn)A(a,b).圖形變換對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征變換(k>0)向上平移k個(gè)單位長度A1(a,b+k)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)加k向下平移k個(gè)單位長度A2(a,b—k)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)減k向右平移k個(gè)單位長度A3(a+k,b)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)加k向左平移k個(gè)單位長度A4(a—k,b)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)減k對(duì)稱變換關(guān)于r軸對(duì)稱A5(a,—b)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)與原坐標(biāo)互為相反數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱A6(—a,b)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)與原坐標(biāo)互為相反數(shù)溫馨提示:當(dāng)圖形的平移方向與坐標(biāo)軸不平行時(shí),可以把這種平移分解為沿兩坐標(biāo)軸平行方向的兩次平移.8-次函數(shù)y=kr+b(k,b為常數(shù),k≠0)k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0所在象限性質(zhì)當(dāng)k>0時(shí),y隨r的增大而增大當(dāng)k<0時(shí),y隨r的增大而減小2.一次函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法一般步驟1.設(shè):設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kr+b(k≠0);2.代:找出一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)A(r1,y1),B(r2,y2),將坐標(biāo)分別代入一次(y1=kr1+b,函數(shù)的解析式,得到方程組〈(y2=kr2+b;3.解:解方程組可得k,b的值;4.寫:將k,b的值代入y=kr+b中即可3.一次函數(shù)圖象的平移平移前的函數(shù)解析式平移方式(m>0)平移后的函數(shù)解析式y(tǒng)=kr+b(k≠0)向左平移m個(gè)單位長度y=k(r+m)+b左加右減向右平移m個(gè)單位長度y=k(r—m)+b向上平移m個(gè)單位長度y=kr+b+m上加下減常數(shù)項(xiàng)向下平移m個(gè)單位長度y=kr+b—m9反比例函數(shù)反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)k的符號(hào)k>0k<0所在象限增減性在每一個(gè)象限內(nèi),y隨r的增大而減小在每一個(gè)象限內(nèi),y隨r的增大而增大圖象特征1.關(guān)于直線y=±r成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱;2.圖象無限接近坐標(biāo)軸,但不與坐標(biāo)軸相交,即r≠0,y≠0與k的幾何意義有關(guān)的圖形面積S△AOP=S矩形OAPB=|k|S△APPI=2|k|(點(diǎn)PI,P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用二次函數(shù)與幾何圖形綜合題二次函數(shù)y=ar2+br+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)a的符號(hào)a>0a<0開口方向?qū)ΨQ軸r=—r=—頂點(diǎn)坐標(biāo)))增減性當(dāng)r<—時(shí),y隨r的增大而減小; 當(dāng)r>—時(shí),y隨r當(dāng)r<—時(shí),y隨r的增大而增大; 當(dāng)r>—時(shí),y隨r最值時(shí),y取最小值,y最小值=當(dāng)r=—時(shí),y取最大值,y最大值=2.二次函數(shù)圖象與a,b,c的關(guān)系aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對(duì)稱軸為y軸a,b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)a,b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0過原點(diǎn)c>0與y軸交于正半軸c<0與y軸交于負(fù)半軸bacb2—4ac=0與r軸有唯一的交點(diǎn)(頂點(diǎn))b2—4ac>0與r軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2—4ac<0與r軸無交點(diǎn)3.二次函數(shù)圖象的平移平移前的函數(shù)解析式平移方式(m>0)平移后的函數(shù)解析式y(tǒng)=a(r—h)2+k(a≠0)向左平移m個(gè)單位長度y=a(r—h+m)2+k左加右減向右平移m個(gè)單位長度y=a(r—h—m)2+k向上平移m個(gè)單位長度y=a(r—h)2+k+m上加下減常數(shù)項(xiàng)向下平移m個(gè)單位長度y=a(r—h)2+k—m溫馨提示:若二次函數(shù)的圖象僅上下平移,則不需要轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,在等式右邊直接加上(向上平移)或減去(向下平移)相應(yīng)數(shù)值即可.模塊四三角形線段、角、相交線與平行線平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別條件結(jié)論作用判定同位角相等兩直線平行由角的數(shù)量關(guān)系確定直線的位置關(guān)系內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行性質(zhì)兩直線平行同位角相等由直線的位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)溫馨提示:從角的關(guān)系得到兩直線平行,是平行線的判定;從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系,是平行線的性質(zhì).三角形全等三角形-、知識(shí)結(jié)構(gòu)線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)的線段三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與它所對(duì)的邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段續(xù)表線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線圖形語言作圖語言過點(diǎn)A作AD丄BC于點(diǎn)D取邊BC的中點(diǎn)D,連接AD作上BAC的平分線AD,交BC于點(diǎn)D標(biāo)示圖形符號(hào)語言①AD是△ABC的高;②AD是△ABC的邊BC上的高;③AD丄BC于點(diǎn)D;④上ADC=90。,上ADB=90。(或上ADC=上ADB=①AD是△ABC的中線;②AD是△ABC的邊BC上的中線;③BD=DC=BC;④D是邊BC的中點(diǎn)①AD是△ABC的角平分線;②AD平分上BAC,交BC于點(diǎn)D;③上1=上2=上BAC推理語言“AD是△ABC的高,:AD丄BC(或上ADB=“AD是△ABC的中線, :BD=DC=BC2“AD平分上BAC, :上1=上2=上BAC用途舉例①線段垂直;②角度相等①線段相等;②面積相等角度相等重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點(diǎn)三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)2.判斷兩個(gè)三角形全等的思路(一直角邊一斜邊—HL(已知兩邊〈找夾角—SAS(找另一邊—SSS(邊為角的對(duì)邊—找任一角—AAS已知一邊一角〈(找夾角的另一邊—SAS(邊為角的鄰邊〈找夾邊的另一角—ASA(找邊的對(duì)角—AAS(找夾邊—ASA(找任一角的對(duì)邊—AAS圖形的相似相似三角形周長的比等于相似比.AIBIBICICIAI如圖,若△ABC0△AIBICI,AB=BC=AIBIBICICIAI則k.推論:相似多邊形周長的比等于相似比.2.相似三角形面積比的性質(zhì)相似三角形面積的比等于相似比的平方.如圖,若△ABC0△AIBICIk,分別作出△ABC與△AIBICI的高AD和AIDI,則3.相似三角形對(duì)應(yīng)線段比的性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比;(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.銳角三角函數(shù)/A的正弦/A的對(duì)邊asinA=/A的對(duì)邊a斜邊c/A的余弦/A的鄰邊bcosA=/A的鄰邊b斜邊c/A的正切/A的對(duì)邊atanA=/A的對(duì)邊a/A的鄰邊b2.特殊角的三角函數(shù)值銳角A銳角三角函數(shù)sinA 22222 2tanA31模塊五四邊形多邊形與平行四邊形特殊的平行四邊形1.多邊形的性質(zhì)多邊形(n≥3)內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和等于(n—2)×180。外角和定理n邊形的外角和等于360。正多邊形正n邊形的每個(gè)內(nèi)角等于外角正n邊形的每個(gè)外角等于2.平行四邊形與特殊平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形矩形菱形正方形邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行,四條邊都相等對(duì)邊平行,四條邊都相等角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角對(duì)角線對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分且相等兩條對(duì)角線互相垂直平分,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形,有2條對(duì)稱軸既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形,有2條對(duì)稱軸既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形,有4條對(duì)稱軸3.平行四邊形與特殊平行四邊形的判定模塊六圓圓的基本性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系與圓有關(guān)的計(jì)算定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧滿分技法如圖,根據(jù)圓的對(duì)稱性,有以下五個(gè)結(jié)論:^^^^①AC=BC;②AD=DB;③AE=BE;④AB丄CD;⑤CD是ΘO的直徑2.圓周角定理及其推論定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖,/A=/BOC推論同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖,/A=/D.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.如圖,/ACB=90。+AB是ΘO的直徑3.扇形的相關(guān)計(jì)算公式圓的周長:C=2πrr為圓(或扇形)的半徑,n。為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù),l為扇形的弧長扇形的弧長:l=圓的面積:S=πr2nπr2扇形的面積:S扇形=360=2lr模塊七圖形的變化尺規(guī)作圖1.過一點(diǎn)P作已知直線的垂線(1)點(diǎn)P在直線上.①以點(diǎn)P為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交直線l于A,B兩點(diǎn);②分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)M;③畫直線MP.直線MP即為所求垂線(如圖).(2)點(diǎn)P在直線外.①以點(diǎn)P為圓心,大于點(diǎn)P到直線l的距離為半徑畫弧,分別交直線l于A,B兩點(diǎn);②分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)N;③畫直線PN.直線PN即為所求垂線(如圖).2.作已知角的平分線已知:/AOB.求作:/AOB的平分線.作法:①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點(diǎn)C,D;②分別以點(diǎn)C,D為圓心,大于CD的長為半徑畫弧,兩弧在/AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)E;③畫射線OE.射線OE即為/AOB的平分線(如圖).投影與視圖常見幾何體的三視圖幾何體直觀圖主視圖左視圖俯視圖正三棱柱正四棱柱正六棱柱續(xù)表幾何體直觀圖主視圖左視圖俯視圖正三棱錐正四棱錐正六棱錐圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似網(wǎng)格作圖名稱作圖方法對(duì)稱作出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)的對(duì)稱點(diǎn),依次連接平移按平移方向和平移距離,平移原圖形各關(guān)鍵點(diǎn),得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),依次連接旋轉(zhuǎn)連接原圖形各關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心,按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn),得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),依次連接位似作出原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn),依次連接模塊八統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)概率名稱確定方法特點(diǎn)應(yīng)用