專題強化6追及相遇問題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.進一步熟練掌握勻變速直線運動公式的應(yīng)用(重點)。2.會分析追及相遇問題中物體速度、位移變化，會根據(jù)位移關(guān)系及速度關(guān)系列方程(難點)。兩物體在同一直線上一前一后運動，速度相同時它們之間可能出現(xiàn)距離最大、距離最小或者相遇(碰撞)的情況，這類問題稱為追及相遇問題。一、一定可以追上的追及問題例1一輛汽車停在十字路口等待綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以恒定加速度a＝3m/s2開始行駛，恰在這時一人騎自行車以v0＝6m/s的速度勻速駛過，從后面超過汽車。(1)求汽車啟動后追上自行車所用時間及追上時汽車的速度大?。?2)汽車啟動后，在追上自行車前，兩者的距離如何變化？追上自行車前距離最遠(yuǎn)時兩者速度有什么關(guān)系？(3)求汽車追上自行車前兩者的最大距離。答案(1)4s12m/s(2)見解析(3)6m解析(1)汽車追上自行車時，兩者位移相等，x汽＝x自，即12at2＝v0將v0＝6m/s，a＝3m/s2代入，得t＝4s由v＝at得，追上時汽車的速度大小v＝12m/s(2)當(dāng)v汽<v自時兩者距離在不斷變大，當(dāng)v汽＝v自時兩者距離最大，當(dāng)v汽>v自時兩者距離逐漸變小，直至汽車追上并超過自行車。即當(dāng)兩車速度相等時距離最遠(yuǎn)。(3)由at0＝v0得t0＝v0a＝2由位移公式得：x汽'＝12at02＝12×3×22x自'＝v0t0＝6×2m＝12mΔx＝x自'－x汽'＝6m。拓展畫出例1情形中汽車和自行車的v－t圖像，并由圖像分析求解汽車追上自行車前兩車的最大距離)以及汽車追上自行車時所用時間。答案v－t圖像如圖所示汽車追上自行車前兩車速度相等時兩車的距離最大，由v－t圖像可知Δx＝6m；當(dāng)汽車追上自行車時，兩者的v－t圖像與t軸圍成的面積相等，t＝4s。例2(2024·成都市高一期中)汽車A以vA＝4m/s的速度向右做勻速直線運動，發(fā)現(xiàn)前方相距x0＝7m處、以vB＝10m/s的速度同向運動的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小a＝2m/s2。從B車剛剎車開始計時。求：(1)A追上B前，A、B間的最遠(yuǎn)距離；(2)汽車B運動的位移及A追上B所用的時間。答案(1)16m(2)25m8s解析(1)當(dāng)A、B兩汽車速度相等時，兩車間的距離最遠(yuǎn)，即v＝vB－at＝vA解得t＝3s此時汽車A的位移為xA＝vAt＝12m汽車B的位移xB＝vBt－12at2＝21故最遠(yuǎn)距離Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m(2)根據(jù)題意可知，汽車B從開始勻減速直到靜止經(jīng)歷的時間t1＝vBa＝5運動的位移為xB'＝vB22a汽車A在t1時間內(nèi)運動的位移為xA'＝vAt1＝20m此時兩車相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12m汽車A需再運動的時間t2＝ΔxvA＝故A追上B所用時間t總＝t1＋t2＝8s1.對于一定可以追上的追及問題，常見的模型有：(1)勻加速追勻速(2)勻加速追勻減速(3)勻速追勻減速。2.當(dāng)速度相等時存在兩者距離的最大值。3.對于追勻減速的運動，我們應(yīng)判斷是在運動停止前相遇，還是在運動停止后相遇。二、不一定追上的追及問題例3一輛客車從靜止開始以a＝1m/s2做勻加速直線運動的同時，在車的后面s＝20m處有一乘客騎自行車以6m/s的速度勻速追趕這輛車，(1)判斷乘客能否追上這輛客車？(2)若不能，二者間的最小距離為多少？答案見解析解析(1)法一：由臨界條件知當(dāng)v車＝v人時乘客如果能追上就可以追上即at＝v人解得t＝6sx車＝12at2＝12×1×62m＝18x人＝v人t＝6×6m＝36m如圖所示x人<x車＋s故追不上法二：由位移關(guān)系v人t＝s＋12at2即6t＝20＋12tΔ＝36－4×12×20<0即追不上。(2)最小距離Δx＝x車＋s－x人＝(18＋20－36)m＝2m。拓展例3中若客車在自行車前s'＝10m處。(1)自行車能否追上客車？(2)若能追上，經(jīng)過多長時間二者相遇。答案(1)法一：由臨界判斷，at＝v人，解得t＝6sx人＝v人t＝6×6m＝36m，x車＝12at2＝x人>x車＋s'，故可以追上法二：判別式法：由位移關(guān)系v人t＝s'＋12at即6t＝12t2＋Δ＝36－4×12×10>0故相遇兩次。(2)由位移關(guān)系x人＝x車＋s'即6t＝12t2＋解得t1＝2s，t2＝10s1.不一定追上的追及問題，常見的模型有：(1)勻速追勻加速(2)勻減速追勻速(3)勻減速追勻加速(4)勻加速追勻加速(5)勻減速追勻減速。2.對于判斷能否追上時，我們可以利用判別式法。(1)Δ<0，追不上(2)Δ＝0，相遇一次(3)Δ>0，相遇兩次。*三、有條件限制的追及問題例4一輛摩托車能達到的最大速度為30m/s，要想在3min內(nèi)由靜止起沿一條平直公路追上前面1000m處正以20m/s的速度勻速行駛的汽車。(1)判斷在追趕過程中摩托車能一直加速嗎？(2)如果在3min內(nèi)摩托車能追上汽車，摩托車至少以多大加速度啟動？(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)答案見解析解析(1)t0＝3min＝180s，假設(shè)摩托車在180s內(nèi)一直做勻加速直線運動，設(shè)追上汽車時，摩托車的速度為v。由v汽t0＋1000m＝v2t代入數(shù)據(jù)得v≈51.1m/s>30m/s，超過了摩托車所能達到的最大速度，所以摩托車先做勻加速直線運動，速度達到最大值后做勻速直線運動。(2)設(shè)摩托車加速時間為t1，加速度為a，3min內(nèi)摩托車恰好能追上汽車時，加速度最小，則有at1＝v1＝30m/s12at12＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1代入數(shù)據(jù)得a≈0.56m/s2。特別提醒：如果車輛有最大速度的限制，要注意車輛達到最大速度前后運動狀態(tài)的不同。分析追及相遇問題的解題技巧：(1)一個條件：即速度相等，它往往是物體間能夠追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。(2)兩個關(guān)系：即時間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個關(guān)系可通過畫運動示意圖得到。(3)常用解題方法有：臨界分析法、數(shù)學(xué)解析法、v－t圖像法。專題強化練[分值：70分][1~4題，每題5分]1.(2024·安康市高一期中)某次打撈中，打撈船順?biāo)?，水流速度?m/s，發(fā)現(xiàn)在下游36m處有同樣順?biāo)鞯钠∥铮驌拼⒓磫影l(fā)動機，以2m/s2的加速度向漂浮物運動，到達漂浮物處的時間為()A.6s B.9sC.(210－2)s D.無法計算答案A解析設(shè)打撈船到達漂浮物處的時間為t，則有vt＋12at2＝vt＋36m，解得t＝6s。故選A2.(2025·重慶市高一期中)運動員將足球以大小為9m/s的速度踢出，足球沿草地以大小為1.5m/s2的加速度做勻減速直線運動，運動員在將足球踢出的同時以大小為6m/s的速度勻速追趕足球。運動員追上足球所用的時間為()A.2s B.4s C.6s D.7s答案B解析設(shè)足球的初速度為v0，運動員的速度為v，經(jīng)時間t追上，滿足方程v0t－12at2＝代入數(shù)據(jù)解得t＝4s此時足球的速度為v1＝v0－at＝3m/s還未停止運動，符合勻減速運動規(guī)律，運動員追上足球所需時間為4s，故選B。3.(2024·天津市高一期中)兩個物體同時同地向同一方向做直線運動，它們的v－t圖像如圖所示，則前4s內(nèi)()A.4s末乙與甲相距最遠(yuǎn)B.甲的平均速度等于乙的平均速度C.2s末乙追上甲D.乙追上甲時距出發(fā)點20m遠(yuǎn)答案B解析v－t圖像與t軸所圍的面積表示位移，則4s內(nèi)兩物體位移相等，即4s末乙追上甲相遇，乙追上甲時距出發(fā)點x＝v甲t＝40m，選項A、D錯誤；4s末兩物體位移相等，則甲的平均速度等于乙的平均速度，選項B正確；2s末兩物體速度相等，此時兩物體相距最遠(yuǎn)，選項C錯誤。4.(多選)汽車甲停在一條平直路邊，此時汽車乙從甲旁邊經(jīng)過，此后兩輛汽車的速度—時間圖像如圖所示，下列說法正確的是()A.汽車甲的加速度大于汽車乙的加速度B.10s時汽車甲追上了汽車乙C.兩車相遇前，兩車間的最大距離為10mD.兩車相遇時汽車甲的位移為100m答案ACD解析v－t圖線的斜率表示加速度，可知汽車甲的加速度大于汽車乙的加速度，選項A正確；v－t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，可知10s時乙的位移大于甲的位移，因t＝0時兩車在同一位置，所以10s時汽車甲還沒有追上汽車乙，選項B錯誤；10s時兩車共速，此時兩車距離最大，則相遇前兩車之間的最大距離為Δx＝12×(2＋5)×10m－12×10×5m＝10m，選項C正確；由題圖可知，甲、乙兩車的加速度分別為a1＝510m/s2＝0.5m/s2，a2＝5-210m/s2＝0.3m/s2，設(shè)經(jīng)過時間t兩車相遇，則12a1t2＝v0t＋12a2t2，解得t＝20s，兩車相遇時汽車甲的位移為x＝12a1t25.(9分)(來自教材)在平直的公路上，一輛小汽車前方26m處有一輛大客車正以12m/s的速度勻速前進，這時小汽車從靜止出發(fā)以1m/s2的加速度追趕。求：(1)(4分)小汽車何時追上大客車？追上時小汽車的速度有多大？(2)(5分)追上前小汽車與大客車之間的最遠(yuǎn)距離是多少？答案(1)26s26m/s(2)98m解析(1)設(shè)小汽車追上大客車時所經(jīng)歷的時間為t1，則有v1t1＋26m＝12at代入數(shù)據(jù)解得t1＝26s(t1'＝－2s舍去)小汽車追上大客車時的速度為v2＝at1＝26m/s。(2)當(dāng)小汽車與大客車的速度相等時，它們相距最遠(yuǎn)，此時小汽車的速度為12m/s，經(jīng)歷的時間為t2＝12s，則追上前小汽車與大客車之間的最遠(yuǎn)距離是Δx＝26m＋v1t2－12at22＝98[6~8題，每題6分]6.(2024·深圳市高一月考)如圖，甲車在平直公路上以速度v勻速行駛，當(dāng)它經(jīng)過停在路旁的乙車時，乙車立即從靜止開始啟動，做勻加速直線運動，經(jīng)過t時間追上甲車。下列說法正確的是()A.乙車加速運動的加速度大小為vB.乙車追上甲車時的速度大小為2vC.從啟動到追上甲車的過程中，乙車的平均速度為vD.乙車追上甲車前，兩車的最大距離為12答案C解析假設(shè)乙車追上甲車時速度大小為v1，則12v1t＝vt，解得v1＝2v，B錯誤；乙車加速運動的加速度大小為a＝v1t＝2vt，A錯誤；從啟動到追上甲車的過程中，乙車的平均速度為v＝0+v12＝v，C正確；當(dāng)乙車速度與甲車速度相等時，兩車距離最大，可得兩車的最大距離為s＝x7.(2024·深圳市高一期中)在平直的公路上，自行車和與其同方向行駛的汽車同時經(jīng)過A點，自行車以v＝4m/s速度做勻速運動，汽車以v0＝10m/s的初速度、a＝0.25m/s2的加速度剎車。自行車追上汽車所用時間應(yīng)為()A.46s B.48s C.50s D.52s答案C解析當(dāng)汽車減速到零時所用的時間為t0＝v0a＝100.25s＝40s，此時汽車的位移為x1＝v022a＝200m，自行車的位移為x2＝vt0＝160m<x1，故此時還沒有追上汽車，自行車仍需要再運動t1才能追上汽車，則有t1＝x1-x2v＝10s，故自行車追上汽車所用的總時間為8.(多選)(2024·濟南市高一月考)在平直的公路上，一輛小汽車后方24m處有一輛大客車正以13m/s的速度勻速前進，這時小汽車以1m/s2的加速度從靜止啟動，與大客車同向行駛。下列說法正確的是()A.經(jīng)過13s兩車速度相同B.兩車可相遇2次C.兩車速度相同時，間距為84.5mD.小汽車運動8s時，兩車間距為72m答案AB解析兩車速度相同的時間為t0＝va＝131s＝13s，故A正確；兩車相遇時有12at2＋d＝vt，解得t1＝2s，t2＝24s，故兩車可相遇2次，故B正確；兩車速度相同時，間距為s1＝vt0－12at02－d＝(13×13－12×1×132－24)m＝60.5m，故C錯誤；小汽車運動8s時，兩車間距為s2＝vt3－12at32－d＝(13×8－12×1×89.(10分)高速公路上，一輛大貨車以20m/s的速度違規(guī)行駛在快速道上，另有一輛SUV小客車以32m/s的速度跟隨其后并逐漸接近。大貨車的制動性能較差，剎車時的加速度保持在4m/s2，而SUV小客車配備有ABS防抱死剎車系統(tǒng)，剎車時能使小客車的加速度保持在8m/s2。若前方大貨車突然緊急剎車，SUV小客車司機的反應(yīng)時間是0.5s，為了避免發(fā)生追尾事故，貨車和客車之間至少應(yīng)保留多大的距離？答案31m解析在反應(yīng)時間里客車做勻速運動的距離x1＝v1t0＝32×0.5m＝16m若客車恰好與貨車不發(fā)生追尾事故，則速度相等是恰好避免追尾的條件；速度相等時v1－a1(t－0.5s)＝v2－a2t客車剎車時的加速度大小a1＝8m/s2，貨車剎車時的加速度大小a2＝4m/s2，代入數(shù)據(jù)得t＝4s設(shè)貨車與客車之間的距離至少為s，則s＋v2t－12a2t2＝x1＋v1(t－0.5s)－12a1(t－0.5s代入數(shù)據(jù)得s＝31m。10.(13分)(2024·宿遷市高一期中