專(zhuān)題06三角函數(shù)中重點(diǎn)公式及三角恒等變換與應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專(zhuān)練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：任意角與弧度制1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.正角：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角；負(fù)角：一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；零角：一條射線沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)，就稱(chēng)它形成了一個(gè)零角。2、旋轉(zhuǎn)與運(yùn)算：(1)角的加法：角的終邊旋轉(zhuǎn)角后所得的終邊對(duì)應(yīng)的角是.(2)角的減法：。3、與角終邊相同的角的集合：.4、弧度制(1)1弧度角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.(2)弧度公式：（為圓的半徑，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為）。(3)弧長(zhǎng)公式：.(4)角度與弧度換算：；。(5)扇形面積公式：.（為圓的半徑，扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為）知識(shí)點(diǎn)2：三角函數(shù)的概念1、三角函數(shù)定義1：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記作.即；把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記作.即；把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記作.即。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)，通常記為：正弦函數(shù)：;余弦函數(shù)：;正切函數(shù)：.2、三角函數(shù)定義2：設(shè)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）為角終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為：，則：，，.3、三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)表：角度弧度無(wú)無(wú)4、三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)：口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.第一象限：sin0,cos0,tan0,第二象限：sin0,cos0,tan0,第三象限：sin0,cos0,tan0,第四象限：sin0,cos0,tan0,5、角的表示(1)同終邊的角可表示為；軸上角：；軸上角：.(2)象限角第一象限角：；第二象限角：；第三象限角：；第四象限角：.(3)區(qū)分第一象限角、銳角以及小于的角第一象限角：;銳角：;小于的角：.6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:平方關(guān)系：；商數(shù)關(guān)系：.知識(shí)點(diǎn)3：誘導(dǎo)公式（其中：）1、誘導(dǎo)公式一：2、誘導(dǎo)公式二：3、誘導(dǎo)公式三：4、誘導(dǎo)公式四：5、誘導(dǎo)公式五：6.誘導(dǎo)公式六：,注意INCLUDEPICTURE"D:\\WeChatFiles\\wxid_u7nrj8n1wqrl22\\FileStorage\\File\\Documents\\WeChatFiles\\wxid_u7nrj8n1wqrl22\\FileStorage\\File\\Documents\\WeChatFiles\\wxid_u7nrj8n1wqrl22\\FileStorage\\File\\2022-06\\注解1JS.TIF"：①同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.②“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱(chēng)的變化．；.③解決給角求值的基本原則：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．知識(shí)點(diǎn)4：兩角和與差的正弦.余弦.正切公式1、兩角和與差的正弦：:；:；2、兩角和與差的余弦：:；:；3、兩角和與差的正切：:；:.4、倍角公式(1)，變形：.(2).變形：降冪公式：；(3).5、輔助角公式（異名化同名）（其中,).（其中,).6、有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2、(4)sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±π4)7、半角公式：sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).注意：(1)由于taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)，不涉及符號(hào)問(wèn)題，使用方便，但需要注意該公式成立的條件．(2)涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關(guān)系的題目時(shí)，常用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)和cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2).8、化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題：看角（二倍、互余、互補(bǔ)或特殊角關(guān)系）；看名（同名時(shí)，聯(lián)想公式即可；異名時(shí)，切化弦或弦化切）；看結(jié)構(gòu)特征（聯(lián)想公式）.絕招：配角（即將已知角和目標(biāo)角進(jìn)行“加加減減”運(yùn)算）①“顯性”互余關(guān)系；②“隱性”互余關(guān)系;③互補(bǔ)關(guān)系；④二倍關(guān)系；⑤特殊角關(guān)系.（1）時(shí)，；（2）時(shí)，；（3）時(shí)，，；（4）；（5）；（6）1的代換：；9、弦化切.(1)；(2)（轉(zhuǎn)化為分式）；(3)（轉(zhuǎn)化為齊次式）；(4)；(5)；.【題型01終邊相同的角（含n分、n倍角）】1．（23-24高一下·陜西·月考）（多選題）已知角與角的終邊相同，則角可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】借助終邊相同的角的概念逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故D正確；當(dāng)時(shí)，，故B正確；令，解得，不符，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.2．（多選題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義直接求解即可.【詳解】與終邊相同的角可寫(xiě)為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.3．（多選題）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】根據(jù)給定條件，由的范圍，求出的范圍作答.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，則，于是，顯然終邊在x軸上方，所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.故選：CD4．（24-25高一上·江蘇鹽城·月考）（多選題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．1弧度的角與的角一樣大B．銳角一定是第一象限角C．若是第三象限角，則是第二或第四象限角D．終邊在軸正半軸上的角的集合為【答案】BCD【分析】根據(jù)弧度制定義判斷A選項(xiàng)；由銳角的范圍和第一象限角的范圍判斷B選項(xiàng)；根據(jù)象限角的范圍求得的范圍，結(jié)合象限角的范圍判斷C選項(xiàng)；根據(jù)角的終邊可直接得到角的集合，判斷D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)弧度制的定義可知1弧度的角約等于，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；銳角，第一象限角，B選項(xiàng)正確；若是第三象限角，則，則當(dāng)時(shí)，，是第四象限角，當(dāng)時(shí)，，是第二象限角，故C選項(xiàng)正確；終邊在軸正半軸上的角的集合為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.5．（23-24高一上·廣西河池·月考）（多選題）下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．第二象限的角都是鈍角B．小于的角是銳角C．是第三象限的角D．角的終邊在第一象限，那么角的終邊在第二象限【答案】ABD【分析】對(duì)A，舉反例說(shuō)明；對(duì)B，舉反例說(shuō)明；對(duì)C，利用終邊相同的角判斷；對(duì)D，舉反例說(shuō)明.【詳解】對(duì)于A，是第二象限角，但不是鈍角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，銳角是之間的角，如，但不是銳角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以與角終邊相同，在第三象限，故C正確；對(duì)于D，若終邊在第一象限，而終邊在第一象限，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.【題型02扇形的弧長(zhǎng)和面積公式】1．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）折扇與書(shū)畫(huà)結(jié)合，使其成為書(shū)畫(huà)藝術(shù)的特殊載體，具有文化和歷史價(jià)值.如圖是一幅書(shū)法折扇的一部分，則該扇面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與的延長(zhǎng)線交于圓心，圓心角，扇形半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式結(jié)合題意列方程組求出，再由扇形面積公式即可計(jì)算得解.【詳解】如圖，與的延長(zhǎng)線交于圓心，設(shè)圓心角，扇形半徑，則，解得，則該扇面的面積為..故選：B2．（25-26高一上·山西晉城·月考）小李同學(xué)在學(xué)習(xí)了《任意角和弧度制》后，臨摹了一件扇形瓷器盤(pán)（圖1）的大致形狀，如圖2所示，已知在扇形中，，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．弧長(zhǎng)C．扇形的周長(zhǎng)為 D．扇形的面積為【答案】D【分析】根據(jù)弧度制與角度制的互化判斷A；根據(jù)弧長(zhǎng)公式判斷B：根據(jù)扇形的周長(zhǎng)和面積公式判斷C和D.【詳解】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：，B正確；對(duì)于C：扇形的周長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D：扇形的面積為，D錯(cuò)誤；故選：D3．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）已知某扇形的弧長(zhǎng)為，圓心角為，則（

）A．該扇形的半徑為 B．該扇形的周長(zhǎng)為C．該扇形的面積為 D．該扇形的面積為【答案】AD【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)，面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該扇形所在圓的半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為，則，A正確；該扇形的周長(zhǎng)為，該扇形的面積為，BC錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.4．（23-24高一上·福建福州·期末）（多選題）已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的半徑和圓心角可能為（

）A．半徑為2，圓心角為1 B．半徑為1，圓心角為2C．半徑為1．圓心角為4 D．半徑為4，圓心角為1【答案】AC【分析】根據(jù)扇形的面積，弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為：l，半徑為r，所以，，解得：，則，或，則，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.故選：AC5．（23-24高一上·四川綿陽(yáng)·月考）（多選題）若扇形周長(zhǎng)為36，當(dāng)這個(gè)扇形面積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．扇形的圓心角為2radB．扇形的弧長(zhǎng)為18C．扇形的半徑為9D．扇形圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)為【答案】ABC【分析】根據(jù)扇形的面積公式，弧長(zhǎng)公式，及二次函數(shù)最值可得解.【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為，所以扇形弧長(zhǎng)為，所以面積，當(dāng)時(shí)，面積有最大值，（rad）此時(shí)，，圓心角弧度數(shù)，所對(duì)弦長(zhǎng)為.故選：ABC【題型03三角函數(shù)的定義與推廣】1．（25-26高一上·江蘇淮安·期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)定義可得，從而計(jì)算出答案.【詳解】終邊過(guò)點(diǎn)，故，所以.故選：C2．（24-25高一上·江蘇淮安·期末）已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則＝（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】因?yàn)棣恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，再由，解得，由正切函數(shù)定義得：，故選：A．3．（24-25高一下·廣西柳州·開(kāi)學(xué)考試）已知角的終邊在第二象限，且終邊上有一點(diǎn)，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求出即可求出，再根據(jù)角的終邊在第二象限即可求出.【詳解】由題意可得，得或，因角的終邊在第二象限，則.故選：A4．（25-26高一上·寧夏銀川·月考）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】.A：，所以本選項(xiàng)不正確；B：，所以本選項(xiàng)不正確；C：，所以本選項(xiàng)正確；D：，所以本選項(xiàng)不正確，故選：C5．（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）角α的終邊落在直線上，則的值為（

）A．－ B．C． D．±【答案】D【分析】分角的終邊在第一和第三象限討論，由正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)，由，得當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)，∴，∴．故選：D【題型04同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（含知一求二、弦切齊次化）】1．（24-25高一上·浙江金華·月考）已知角，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】由，得，又，所以.故選：A.2．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由題意，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，解?故選：B.3．（24-25高一下·江西·月考）（多選題）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先判斷角終邊所在位置，在判斷其三角函數(shù)的符號(hào)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，為第二象限角，故，?故選：BD4．（24-25高一下·廣西柳州·開(kāi)學(xué)考試）（多選題）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由，，得，，又，，解得，，故A正確，B錯(cuò)誤，則，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.5．（24-25高一下·貴州遵義·月考）（多選題）已知角A為的內(nèi)角，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由題意,結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,可求得與的值,依次計(jì)算選項(xiàng)中的式子的值,即可選出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)榻茿為的內(nèi)角，所以,所以,所以因?yàn)?所以,所以所以,或（舍）,所以選項(xiàng)A:,所以選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B:,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C:,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D:,所以選項(xiàng)D正確.故選:AD.6．（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用商數(shù)關(guān)系化弦為切，再將代入即可得解；（2）根據(jù)平方關(guān)系將化為，再利用商數(shù)關(guān)系化弦為切，再將代入即可得解；（3）根據(jù)平方關(guān)系將化為，再利用商數(shù)關(guān)系化弦為切，再將代入即可得解.【詳解】（1）.（2）.（3）.【題型05sinα·cosα、sinα±cosα】1．（25-26高一上·河南安陽(yáng)·期中）（多選題）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，由已知可得，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，由，可得，所以，故C，D都正確．故選：ACD2．（24-25高一上·甘肅平?jīng)觥て谀ǘ噙x題）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合完全平方公式代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)棰?，所以，則，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；所以，所以②，故D正確；由①②聯(lián)立可得，，，故B錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤．故選：AD3．（24-25高一下·廣東汕頭·期中）若，則．【答案】【分析】將已知條件兩邊平方得，再由商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系求目標(biāo)式的值.【詳解】由，則，.故答案為：4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知，則【答案】【分析】，然后將條件兩邊平方即可得出答案.【詳解】，，所以，所以，故答案為：.5．（24-25高一下·江蘇蘇州·月考）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若如圖所示的角，且小正方形與大正方形的面積之比為，則的值為．【答案】【分析】將小正方形與大正方形的面積之比表示關(guān)于的三角函數(shù)，從而可求，再結(jié)合同角關(guān)系求的值.【詳解】大正方形的邊長(zhǎng)為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，故，故所以，故，所以，即，故或，因?yàn)?，故，所以，故答案為?【題型06應(yīng)用誘導(dǎo)公式求值與化簡(jiǎn)】1．（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求下列三角函數(shù)值．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)1(4)【分析】利用誘導(dǎo)公式可求各式的值.【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．2．（24-25高一上·山東菏澤·月考）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，再由同角三角函數(shù)的商關(guān)系，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，化為齊次式的形式，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由得所以.（2）由（1）知，，所以.3．（24-25高一下·山東日照·月考）已知，且，(1)求的值.(2)化簡(jiǎn).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)以及的范圍，求出，進(jìn)而得出三角函數(shù)值；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由題意可得，，解得或，又，則，故，則，故.（2）原式.【題型07兩角和差公式的正用與逆用】1．利用和（差）公式，求下列各式的值(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)2-【分析】利用和（差）公式的三角函數(shù)公式求解.【詳解】（1）解：，；（2），；（3），；（4），.2．化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)．【分析】（1）用誘導(dǎo)公式變形后應(yīng)用兩角和的余弦公式變形；（2）用誘導(dǎo)公式變形后應(yīng)用兩角差的正弦公式變形；（3）把變形后應(yīng)用兩角和的正弦公式變形；（4）把變形后應(yīng)用兩角和的余弦公式變形；【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．3．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，且及，求的值；【答案】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得的值，結(jié)合兩角和的正弦公式即可得的值.【詳解】由可得，由，得，則，由于，所以.4．已知，則（

）A．-3 B．-5 C．5 D．3【答案】A【分析】利用化弦為切及和差公式即可求解.【詳解】，可得，所以.故答案為：.5．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）將化簡(jiǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角和差正弦化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：B.6．（24-25高一下·江蘇南京·期中）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，利用兩角和的正切公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?所以.故選：C.7．（24-25高一下·江西撫州·期末）已知，則．【答案】【分析】利用和差角的余弦公式求解即得.【詳解】由，得，整理得，所以.故答案為：【題型08二倍角公式、半角公式】1．以下各式的值錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)倍角公式對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：A.2．（24-25高一下·甘肅定西·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，求出結(jié)果.【詳解】由二倍角公式得.故選：D.3．（24-25高一下·河南南陽(yáng)·期末）已知是第四象限角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用差角的正切公式求得，結(jié)合角的象限求出角的正余弦，利用二倍角公式代入計(jì)算即得.【詳解】由可得，解得，因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以，，由解得所?故選：D.4．若，則．【答案】【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：5．（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，兩式平方相加可得，分兩種情況，求出，利用正切二倍角公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，又，兩式平方相加得，得．由得，故，；或由得，故，．綜上所述，．故選：A．6．（24-25高一下·遼寧丹東·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系可得，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則..則.故選：C【題型09降冪公式】1．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解法一：利用降冪公式運(yùn)算求解即可；解法二：利用誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.【詳解】解法一：．解法二：，所以．故選：B.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二倍角的余弦公式求出、的值，代入計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，，因此，.故選：B.3．化簡(jiǎn)．【答案】2【分析】運(yùn)用降冪公式將化成，整理后再用誘導(dǎo)公式將化成，化簡(jiǎn)即得.【詳解】．故答案為：2.4．（23-24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）的值是..【答案】/0.25【分析】綜合運(yùn)用兩角和的余弦公式、輔助角公式、降冪的余弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求值.【詳解】原式.故答案為：【題型10輔助角公式】1．．【答案】【分析】利用兩角差的正弦公式即可得到化簡(jiǎn)結(jié)果【詳解】又故答案為：或2．（24-25高一下·北京·期中）若，則的最小值為．【答案】【分析】由輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的值域可得.【詳解】由輔助角公式可得，所以最小值為.故答案為：.3．（24-25高一下·安徽·期中）函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】利用和角公式展開(kāi)，再用輔助角公式將其化成正弦型函數(shù)即可求得最大值.【詳解】由，可得.故答案為：.4．函數(shù)的最小正周期是.【答案】【分析】借助降冪公式及輔助角公式，將原函數(shù)變?yōu)檎倚院瘮?shù)即可得.【詳解】，則.故答案為：.5．（23-24高一下·江蘇南通·月考）已知函數(shù)，則的最小值為.【答案】【分析】將函數(shù)解析式利用和角公式展開(kāi)，運(yùn)用降冪公式和輔助角公式將其化成正弦型函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求得.【詳解】由，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故答案為：.6．（24-25高一下·江蘇南京·月考）．【答案】2【分析】利用余弦二倍角，輔助角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】.故答案為：2【題型11積化和差、和差化積公式】1．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題及和差化積公式可得，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式可得答案.【詳解】由和差化積公式：，又注意到，則.故選：A2．（24-25高一下·河南南陽(yáng)·期末）已知銳角滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用和差化積公式得到，再結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】由和差化積公式得，欲求，則求即可，因?yàn)槭卿J角，所以，且，故求即可，解得，則，當(dāng)時(shí)，，而，得到，故B正確.故選：B3．的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意對(duì)目標(biāo)式合理變形，再利用積化和差公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】首先，我們先對(duì)合理變形，得到，，由積化和差公式得，同理可得，，則，得到，故A正確.故選：A4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由積化和差公式及余弦二倍角公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由，可得：，即，又，結(jié)合平方差公式可得：.故選：C5．已知，，(1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和差化積公式，求出，然后利用二倍角公式，結(jié)合齊次式法求解可得．（2）利用和差化積公式，求出，然后利用二倍角公式，結(jié)合齊次式法求解可得．【詳解】（1），①又，．②，由①②，得，即．．（2）由（1）知．．【題型12給值求值問(wèn)題】1．（24-25高一下·江蘇南通·月考）已知，則.【答案】/【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：.2．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）已知，則.（2）若，則.【答案】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式求解；（2）拆角，結(jié)合二倍角公式求解.【詳解】（1）.（2）因?yàn)?，所?故答案為：，.3．已知，則.【答案】/-0.6【分析】先利用誘導(dǎo)公式將進(jìn)行變形，再結(jié)合二倍角公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋琿，已知，將其代入可得：.因?yàn)?，所?故答案為：.4．（24-25高一下·山東臨沂·期中）已知，都是銳角，，，則．【答案】【分析】由，都是銳角及，，根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，，再根據(jù)兩角差的正弦公式求解即可．【詳解】因?yàn)?，都是銳角，所以，則，又，所以，所以，，則，故答案為：．5．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，且，則．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)已知，再根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，由得，則，又，且，所以．故答案為：.6．（2025高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】利用齊次式下的弦切互化和和差角的正切公式求解.【詳解】由條件知，則，因?yàn)?，所以．故．故答案為?．（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知，，，則．【答案】【分析】由和角正弦公式得，結(jié)合已知及平方關(guān)系求相關(guān)函數(shù)值，進(jìn)而求.【詳解】，因?yàn)?，所以，，由，，所以，，綜上，．故答案為：8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知為第一象限角，為第二象限角，且，，則的值為.【答案】【分析】由及兩角差的余弦公式求出，即可求出，再求出，最后由兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，，則，所以，所以，所以，由于為第二象限角，，則，所以，所以.故答案為：9．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，，＝，＝，則＝.【答案】/【分析】由已知利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出以及，再利用兩角差的余弦公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故由，得.又∵，∴，＝，∴，則，故答案為：.【題型13給值求角問(wèn)題】1．已知，均為銳角，，，則，.【答案】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式即可求出，先確定的范圍，再求出的正弦值即可.【詳解】因?yàn)椋裕忠?，均為銳角，所以，則，所以，所以，，又因，所以，則，所以.故答案為：；.2．設(shè)，，且，則.【答案】【分析】根據(jù)三角恒等變化化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合，，解方程即可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即又，，所以，則可得，則故.故答案為：.3．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為銳角，且，則角等于.【答案】/【分析】根據(jù)已知角與未知角之間的關(guān)系，先用已知角表示出的正切值，從而再求出的正切值．【詳解】，．又因?yàn)槭卿J角，所以．故答案為：．4．（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開(kāi)學(xué)考試）已知角，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求出，再根據(jù)求出，注意求得的范圍，再根據(jù)結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.【詳解】角，由得，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，而，同理有，所以，且，得.故選：A.5．已知均為鈍角，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)恒等變形求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及兩角和的余弦公式，結(jié)合角的范圍，即可求解.【詳解】，即，得，由，且均為鈍角，所以，，，由，所以，所以.故選：C6．（多選題）已知滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)兩角和的正弦公式即可判斷A；根據(jù)兩角差的余弦公式即可判斷B；根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷C；根據(jù)二倍角的正切公式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，，則，所以，故A錯(cuò)誤；由，得，，所以，則，故B正確；由，，得，，，所以，故C正確；因?yàn)椋裕?，故D正確.故選：BCD.1．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各式的值為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤．2．已知是第二象限角，點(diǎn)為其終邊上一點(diǎn)，且，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的定義，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為其終邊上一點(diǎn)，且，由三角函數(shù)的定義，可得，解得或或，又因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所?故選：D.3．（24-25高一下·四川雅安·月考）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，結(jié)合兩角差的正切公式即可求得答案.【詳解】由于，故，則，故選：A4．已知（），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方關(guān)系求出，即可求出、，再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解得（舍去）或，所以，則，則.故選：A5．（24-25高一下·福建寧德·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】又條件根據(jù)同角關(guān)系求，再結(jié)合二倍角公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以，又，所以，所以，故選：A.6．若，則（

）A．0 B． C．1 D．4【答案】C【分析】根據(jù)兩角和正切公式展開(kāi)后再代入即可.【詳解】，即，則，.故選：C.7．（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用降冪公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】，解得：，故選：D8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，顯然，所以，則，又，所以，所以.故選：D9．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由，則.故選：B.10．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)兩角和的正弦公式展開(kāi)，再利用輔助角公式，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，得出答案.【詳解】由，得，所，由二倍角公式得，又，所以，所以.故選：B11．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，所?故選：A.12．（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由，結(jié)合兩角差的正弦展開(kāi)化簡(jiǎn)即可.【詳解】原式.故選：A13．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先正切化為正弦和余弦，再利用輔助角和二倍角公式化解得到，再利用角的變換表示，最后利用三角函數(shù)二倍角公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，.故選：C.14．式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換公式即可得出答案.【詳解】原式.故選：B.15．（23-24高一上·云南昆明·月考）（多選題）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角大于第一象限角C．若角為第三象限角，那么為第二象限角D．若角與角的終邊在一條直線上，則【答案】AD【分析】根據(jù)象限角的范圍可以判斷ABC，根據(jù)終邊相同的角的范圍可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，是第二象限角，故A正確；對(duì)于B，是第三象限角，是第一象限角，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是第三象限角，是第四象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若角與角的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差的整數(shù)倍，故D正確；故選：AD16．（25-26高一·全國(guó)·假期作業(yè)）（多選題）若角的終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)終邊的位置分類(lèi)討論，按照正弦函數(shù)的定義求值即可.【詳解】若的終邊在第二象限，在的終邊上取一點(diǎn)，則，所以．若的終邊在第四象限，在的終邊上取，則，所以．故選：AC17．（24-25高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·月考）（多選題）設(shè)，已知是方程的兩根，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于，的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，完全平方公式，平方差公式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，是方程的兩根，則，，即，解得，此時(shí)，符合題意，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，得，，，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B及已知得，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：BD18．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選題）已知，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及角的范圍得到；B選項(xiàng)，根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到，去掉不合要求的解；C選項(xiàng)，利用湊角法求解；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，得到．【詳解】A選項(xiàng)，由，得，故A正確；B選項(xiàng)，由，得，因?yàn)?，所以，又，其中，若，則，則，與矛盾，所以，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故C正確；D選項(xiàng)，由及，得，故D正確．故選：ACD19．（23-24高一下·遼寧·期中）（多選題）下列等式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角恒等變換的公式，以及積化和差公式，逐項(xiàng)運(yùn)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：BCD.20．（23-24高一下·江西·月考）（多選題）下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)和差化積公式判斷A，根據(jù)正切的半角公式判斷B，根據(jù)積化和差公式判斷C，根據(jù)特殊值判斷D.【詳解】由和差化積公式，得，故A錯(cuò)誤；根據(jù)半角公式，得，故B正確；由積化和差公式，得，故C正確；當(dāng)時(shí)，等式左邊有意義，右邊無(wú)意義，故D錯(cuò)誤.故選：BC.21．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期末）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問(wèn)題，如圖所示，弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分.若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的弧長(zhǎng)為，則此弧田的面積為.【答案】【分析】設(shè)扇形的半徑為，利用弧長(zhǎng)公式求出的值，然后利用扇形的面積減去三角形的面積可得出弧田的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的弧長(zhǎng)為，解得，扇形面積為，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，則，所以，，，則，所以，，因此，弧田的面積為.故答案為：.22．（23-24高一下·廣東廣州·期中）函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】由當(dāng)時(shí)，即所以的最大值為：故答案為：23．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，平方可得，即，化簡(jiǎn)可得，即，解得或，其中，則，當(dāng)時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：24．（24-25高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)在時(shí)取得最大值，則.【答案】【分析】由輔助角公式可得，再由正弦型函數(shù)的最值可得，最后由正切的和差角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，其中，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，則.故答案為：25．已知，且，，則的值為.【答案】【分析】應(yīng)用差角正切公式先求出，再求，進(jìn)而求角即可.【詳解】解：因?yàn)?，且，所?又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?/p>