小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：使學(xué)生理解行程問題中速度、時(shí)間、路程三者之間的基本關(guān)系，并能熟練運(yùn)用比例的知識(shí)分析和解決較復(fù)雜的行程問題，特別是當(dāng)路程一定、速度一定或時(shí)間一定時(shí)，另外兩個(gè)量之間的比例關(guān)系及其應(yīng)用。2.過程與方法：通過例題解析和變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察—分析—?dú)w納—應(yīng)用”的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用比例思想解決實(shí)際問題的能力，提升邏輯思維和抽象概括能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和勇于探索的精神。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)*教學(xué)重點(diǎn)：理解并運(yùn)用“路程一定，速度和時(shí)間成反比例；速度一定，路程和時(shí)間成正比例；時(shí)間一定，路程和速度成正比例”的關(guān)系解決行程問題。*教學(xué)難點(diǎn)：在復(fù)雜的行程問題中，準(zhǔn)確判斷不變量，從而確定另外兩個(gè)量之間的比例關(guān)系，并將比例關(guān)系靈活應(yīng)用于解題過程。三、教學(xué)準(zhǔn)備*PPT課件（包含例題、示意圖、練習(xí)題）*板書設(shè)計(jì)（主要知識(shí)點(diǎn)、關(guān)鍵解題步驟）*練習(xí)紙（針對(duì)性練習(xí)題）四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)舊知，情境導(dǎo)入(約5分鐘)1.回顧基本公式：師：同學(xué)們，我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過行程問題的基本數(shù)量關(guān)系，誰能說說路程、速度、時(shí)間三者之間是什么關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生回答：路程=速度×?xí)r間(S=v×t)，速度=路程÷時(shí)間，時(shí)間=路程÷速度）2.引出比例：師：非常好。如果我們知道這三個(gè)量中的一個(gè)量是固定不變的，那么另外兩個(gè)量之間會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？比如，當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間是成正比還是反比呢？（引導(dǎo)學(xué)生回憶比例的知識(shí)，得出：路程一定，速度和時(shí)間成反比例；速度一定，路程和時(shí)間成正比例；時(shí)間一定，路程和速度成正比例。）3.情境引入課題：師：今天我們就來深入研究如何運(yùn)用這些比例關(guān)系，巧妙地解決一些更復(fù)雜的行程問題。這類問題如果用常規(guī)的算術(shù)方法或者列方程可能會(huì)比較麻煩，但用比例法往往能化繁為簡(jiǎn)，找到解題的捷徑。（板書課題：用比例法解決行程問題）（二）探索新知，例題解析(約20分鐘)例題1：基礎(chǔ)鞏固型（路程一定，速度與時(shí)間成反比）甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，甲、乙的速度比是3:2。求甲、乙兩人到達(dá)B地所用的時(shí)間比。1.讀題分析：師：題目告訴我們什么？要求什么？（生：已知甲、乙速度比3:2，從A到B路程相同，求時(shí)間比。）2.引導(dǎo)思考：師：A地到B地的路程是固定不變的。當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間成什么比例關(guān)系？（生：反比例關(guān)系。）師：反比例關(guān)系意味著什么？（生：速度越快，時(shí)間越短；速度比等于時(shí)間的反比。）3.規(guī)范解答：師：很好。設(shè)A、B兩地路程為S（一定），甲的速度為v?，時(shí)間為t?；乙的速度為v?，時(shí)間為t?。則有S=v?×t?=v?×t?，所以v?/v?=t?/t?。已知v?:v?=3:2，所以t?:t?=3:2，那么t?:t?=2:3。答：甲、乙兩人到達(dá)B地所用的時(shí)間比是2:3。4.小結(jié)方法：師：在路程一定的情況下，速度比和時(shí)間比互為反比。直接將速度比的前后項(xiàng)交換位置，就得到了時(shí)間比。例題2：進(jìn)階應(yīng)用型（相遇問題中的比例）甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米，相遇時(shí)甲車行了120千米。求A、B兩地的距離。1.讀題分析，畫線段圖輔助（PPT展示或板書）：師：這是一個(gè)相遇問題。兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇時(shí)所用的時(shí)間怎么樣？（生：相遇時(shí)，兩車行駛的時(shí)間相同。）2.關(guān)鍵突破：師：時(shí)間一定，路程和速度成什么比例？（生：正比例關(guān)系，路程比等于速度比。）3.計(jì)算路程比：師：甲、乙兩車的速度比是多少？（生：40:60=2:3）師：所以，相遇時(shí)甲、乙兩車行駛的路程比也是2:3。4.求出乙車路程：師：甲車行了120千米，對(duì)應(yīng)比例中的2份。那么1份是多少千米？乙車行了3份，是多少千米？（生：1份是120÷2=60千米，乙車路程是60×3=180千米。）5.求出總路程：師：A、B兩地的距離就是甲、乙兩車相遇時(shí)所行路程之和。（生：120+180=300千米。）6.規(guī)范解答（板書）：解：甲、乙速度比=40:60=2:3相遇時(shí)，時(shí)間一定，路程比=速度比=2:3甲車路程120千米對(duì)應(yīng)2份，每份：120÷2=60（千米）乙車路程：60×3=180（千米）A、B兩地距離：120+180=300（千米）答：A、B兩地的距離是300千米。7.拓展思考：師：如果這道題讓我們求相遇時(shí)間，怎么求？（生：用甲車路程除以甲車速度，120÷40=3小時(shí)。）例題3：稍復(fù)雜變式（速度變化，時(shí)間差問題）一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將車速提高25%，則可提前40分鐘到達(dá)。那么甲、乙兩地相距多少千米？1.初步感知：師：這道題看起來復(fù)雜一些，涉及到車速的變化和時(shí)間的提前。我們一步一步來分析。首先看第一句話：“如果把車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)。”這里什么是不變的？（生：甲乙兩地的路程不變。）2.第一部分分析（全程提速20%）：師：原速度和提高后的速度比是多少？（引導(dǎo)學(xué)生：設(shè)原速為v，則提速20%后速度為1.2v。原速:提速后速度=v:1.2v=5:6）師：路程一定，速度和時(shí)間成反比，那么原時(shí)間和提速后的時(shí)間比是多少？（生：6:5）師：時(shí)間差是1小時(shí)，對(duì)應(yīng)幾份？（生：6-5=1份，所以1份就是1小時(shí)。）師：那么原定時(shí)間就是6份，即6小時(shí)。（板書：原定時(shí)間t=6小時(shí)）3.第二部分分析（行駛120千米后提速25%）：師：“如果以原速行駛120千米后，再將車速提高25%，則可提前40分鐘到達(dá)?！边@40分鐘是針對(duì)哪一段路程節(jié)省下來的？（生：是行駛120千米之后的那一段路程，因?yàn)榍?20千米是原速行駛，不產(chǎn)生時(shí)間差。）師：很好。設(shè)120千米后的路程為S'。原速行駛S'的時(shí)間與提速25%后行駛S'的時(shí)間差是40分鐘，即2/3小時(shí)。師：這一段路程S'，原速與提速25%后的速度比是多少？（生：v:1.25v=4:5）師：路程S'一定，時(shí)間比與速度比成反比，所以時(shí)間比是5:4。師：時(shí)間差是1份，對(duì)應(yīng)2/3小時(shí)，所以原計(jì)劃行駛S'的時(shí)間是5份，即5×(2/3)=10/3小時(shí)。4.求出原速，計(jì)算總路程：師：我們已經(jīng)知道全程原定時(shí)間是6小時(shí)，那么行駛前120千米所用的時(shí)間就是總原定時(shí)間減去原計(jì)劃行駛S'的時(shí)間。（生：6-10/3=8/3小時(shí)）師：原速v=120千米÷(8/3小時(shí))=120×3/8=45千米/小時(shí)。師：所以甲乙兩地相距S=v×t=45×6=270千米。5.規(guī)范解答（簡(jiǎn)要板書關(guān)鍵步驟）：（略，強(qiáng)調(diào)分步計(jì)算，清晰呈現(xiàn)每一步的邏輯）6.方法提煉：師：解決這類變速問題，關(guān)鍵是找到不變的路程段，利用速度變化前后的比例關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)路程段的原定時(shí)間或?qū)嶋H時(shí)間，進(jìn)而求出原速度或總路程。（三）鞏固練習(xí)，能力提升(約10分鐘)練習(xí)1：甲、乙兩車的速度比是4:5，兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，在離中點(diǎn)12千米處相遇。求A、B兩地的距離。（提示：相遇時(shí)時(shí)間相同，路程比等于速度比4:5，乙比甲多行了24千米對(duì)應(yīng)1份。）練習(xí)2：一輛汽車從A地到B地，原計(jì)劃每小時(shí)行60千米，實(shí)際每小時(shí)多行15千米，結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)。A、B兩地相距多少千米？（提示：速度比60:75=4:5，時(shí)間比5:4，差1份對(duì)應(yīng)1小時(shí)，原計(jì)劃時(shí)間5小時(shí)。）*學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，關(guān)注有困難的學(xué)生。*選取1-2名學(xué)生上臺(tái)板演，師生共同點(diǎn)評(píng)。（四）課堂總結(jié)，回顧反思(約3分鐘)1.知識(shí)梳理：師：今天我們學(xué)習(xí)了用比例法解決行程問題，大家回顧一下，主要運(yùn)用了哪些比例關(guān)系？（生：路程一定，速度與時(shí)間成反比；速度一定，路程與時(shí)間成正比；時(shí)間一定，路程與速度成正比。）2.方法總結(jié)：師：在解決問題時(shí)，我們首先要判斷題目中哪個(gè)量是不變的，從而確定另外兩個(gè)量成正比例還是反比例關(guān)系，再根據(jù)比例關(guān)系列出相應(yīng)的比例式進(jìn)行求解。對(duì)于復(fù)雜問題，可以分段分析，抓住關(guān)鍵不變量。3.強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵：師：找準(zhǔn)“不變量”是用比例法解決行程問題的核心?。ㄎ澹┳鳂I(yè)布置，拓展延伸(約2分鐘)1.基礎(chǔ)作業(yè)：甲、乙兩人步行速度比是5:4，從A到B，甲走了12分鐘，乙要走多少分鐘？?jī)绍囃瑫r(shí)從同一地點(diǎn)向相反方向開出，甲車速度是乙車的2/3，3小時(shí)后兩車相距300千米，求甲、乙兩車的速度各是多少？2.提高作業(yè)（選做）：一輛車從甲地開往乙地，若車速提高1/5，可提前1小時(shí)到達(dá)；若以原速行駛120千米后，再將車速提高1/4，則可提前40分鐘到達(dá)。甲乙兩地相距多少千米？（與例題3類似，檢驗(yàn)學(xué)生是否真正理解）五、板書設(shè)計(jì)用比例法解決行程問題核心關(guān)系：路程=速度×?xí)r間(S=v×t)*路程一定(S一定)：v與t成反比，v?/v?=t?/t?*速度一定(v一定)：S與t成正比，S?/S?=t?/t?*時(shí)間一定(t一定)：S與v成正比，S?/S?=v?/v?例題1：(路程一定，速度與時(shí)間成反比)v甲:v乙=3:2t甲:t乙=2:3(反比)例題2：(相遇，時(shí)間一定，路程與速度成正比)v甲:v乙=40:60=2:3S甲:S乙=2:3S甲=120km→1份=60km→S乙=180km總路程：120+180=300km例題3關(guān)鍵步驟：1.全程提速20%：v原:v提=5:6→t原:t提=6:5→差1份=1h→原定總時(shí)間t=6h2.行120km后提速25%：v原:v提=4:5→t原:t提=5:4→差1份=2/3h→后段原定時(shí)間=10/3h3.前120km用時(shí)：6-10/3=8/3h→v原=120÷8/3=45km/h4.總路程S=45×6=270km六、教學(xué)反思1.學(xué)情把握：六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)掌握了比例的基本性質(zhì)和行程問題的基礎(chǔ)公式，但將兩者結(jié)合靈活運(yùn)用仍有難度。例題的選取應(yīng)由淺入深，逐步增加復(fù)雜度，幫助學(xué)生建立信心。2.方法指導(dǎo)：“找不變量”是用比例法解決行程問題的關(guān)鍵，應(yīng)在教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，并引導(dǎo)學(xué)生在不同題型中主動(dòng)尋找不變的路程、速度或時(shí)間。3.直觀輔助：對(duì)于相遇、追及等問題，線段圖是非常有效的輔助工具，能夠幫助學(xué)生清晰理解題意和各量之間的關(guān)系，應(yīng)鼓