中考幾何模型專題預(yù)測試題集幾何是中考數(shù)學(xué)的重要組成部分，而幾何模型則是解開復(fù)雜幾何題的"金鑰匙"。熟練掌握各類幾何模型，能幫助同學(xué)們在考場上快速識別圖形特征，找到解題突破口，從而高效準(zhǔn)確地完成答題。本專題預(yù)測試題集，精選中考高頻幾何模型，通過典型例題解析與預(yù)測性練習(xí)，助力同學(xué)們深化理解，提升解題能力。一、一線三垂直模型一線三垂直模型，又稱"K"型圖，是中考幾何中極為常見的模型，常與直角三角形、全等三角形、相似三角形等知識點(diǎn)結(jié)合考查，尤其在坐標(biāo)系背景下的幾何問題中應(yīng)用廣泛。核心結(jié)構(gòu)特征一條直線上有三個直角頂點(diǎn)，形成三個兩兩垂直的直角邊，通常包含兩個全等或相似的直角三角形。其核心在于利用直角相等以及同角（或等角）的余角相等來構(gòu)造相等的角，從而為全等或相似提供條件。主要結(jié)論與常用輔助線1.全等型：當(dāng)三個垂直關(guān)系中，有兩組對應(yīng)直角邊相等時，可證得兩個直角三角形全等。2.相似型：當(dāng)三個垂直關(guān)系中，直角邊對應(yīng)成比例時，可證得兩個直角三角形相似。3.輔助線：當(dāng)圖形中未直接呈現(xiàn)完整的一線三垂直結(jié)構(gòu)時，常通過作垂線（通常是向這條"一線"作垂線）來補(bǔ)全模型。典型例題精講例題1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且AB=2。點(diǎn)C在直線x=2上，若∠ABC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。分析：此題背景是坐標(biāo)系，出現(xiàn)了直角∠ABC，點(diǎn)C在定直線x=2上。我們可以嘗試構(gòu)造一線三垂直模型來解決。已知點(diǎn)A在x軸，點(diǎn)B在y軸，點(diǎn)C在直線x=2上，這三個點(diǎn)的位置特征為構(gòu)造垂線提供了便利。解析：過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D。因?yàn)辄c(diǎn)C在直線x=2上，所以CD的長度即為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的絕對值，即CD=2。已知點(diǎn)A(1,0)，設(shè)點(diǎn)B(0,b)，其中b>0。則OA=1，OB=b。因?yàn)椤螦BC=90°，所以∠ABO+∠CBD=90°。在Rt△ABO中，∠ABO+∠BAO=90°，故∠BAO=∠CBD。又因?yàn)椤螦OB=∠BDC=90°，所以△ABO∽△BCD（AA相似）。根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，有：OA/BD=OB/CD。即1/(b-OD)=b/2。這里需要注意，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C相同，設(shè)點(diǎn)C(2,c)，則OD=|c|。由于點(diǎn)B在y軸正半軸，若點(diǎn)C在第一象限，則OD=c，BD=b-c；若點(diǎn)C在第四象限，則BD=b+|c|。我們先假設(shè)點(diǎn)C在第一象限，則BD=b-c。所以1/(b-c)=b/2，即b(b-c)=2。①在Rt△ABO中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即12+b2=22，解得b2=3，因?yàn)閎>0，所以b=√3。將b=√3代入①式：√3(√3-c)=2→3-√3c=2→√3c=1→c=1/√3=√3/3。所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,√3/3)。（思考：若點(diǎn)C在第四象限，是否成立？同學(xué)們可自行驗(yàn)證，此時BD=√3+|c|，代入比例式會發(fā)現(xiàn)解出的c為負(fù)值，但線段長度為正，最終結(jié)果是否合理，需結(jié)合圖形判斷。通常情況下，此類問題的解具有唯一性或有限個，此處暫取第一象限解。）預(yù)測性練習(xí)題練習(xí)1：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥CP交CP的延長線于點(diǎn)E。若AD=3，BE=1，求DE的長。（提示：此為一線三垂直模型的典型變體，直角頂點(diǎn)在中間直線上，可證△ACD≌△CBE。）二、手拉手模型手拉手模型是基于兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形（或等邊三角形、等腰直角三角形）構(gòu)成的幾何模型。其核心是旋轉(zhuǎn)全等或旋轉(zhuǎn)相似，通過構(gòu)造輔助線，能產(chǎn)生許多相等的線段和角，是證明線段相等、角相等以及線段和差關(guān)系的有力工具。核心結(jié)構(gòu)特征兩個等腰三角形△ABC和△ADE，其中AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE。點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)。將其中一個三角形繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接對應(yīng)點(diǎn)BD、CE，則可形成全等或相似三角形。主要結(jié)論與常用輔助線1.旋轉(zhuǎn)全等：當(dāng)AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE時，△ABD≌△ACE（SAS）。2.旋轉(zhuǎn)相似：當(dāng)AB/AC=AD/AE=k，且∠BAC=∠DAE時，△ABD∽△ACE。3.輔助線：通常連接對應(yīng)頂點(diǎn)，如BD、CE，從而構(gòu)造出全等或相似三角形。此外，還會涉及到由此產(chǎn)生的夾角相等（如BD與CE的夾角等于頂角∠BAC或其補(bǔ)角）。典型例題精講例題2：已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，連接CE。（1）求證：BD=CE；（2）求∠ACE的度數(shù)。分析：此題中，△ABC和△ADE均為等邊三角形，具備公共頂點(diǎn)A，且∠BAC=∠DAE=60°，符合手拉手模型的基本特征。我們可以嘗試通過證明三角形全等來解決問題。解析：（1）證明：因?yàn)椤鰽BC和△ADE均為等邊三角形，所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°。所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）。因此，BD=CE。（2）因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠B=∠ACB=60°。由（1）知△ABD≌△ACE，所以∠ACE=∠B=60°。預(yù)測性練習(xí)題練習(xí)2：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，以CD為邊作等腰直角△CDE，∠DCE=90°，連接AE、BD。求證：AE⊥BD。（提示：此為等腰直角三角形構(gòu)成的手拉手模型，可證△BCD≌△ACE，進(jìn)而通過倒角證明垂直。）三、半角模型半角模型通常指的是一個角的度數(shù)是另一個角的一半，且這兩個角有公共頂點(diǎn)和一條公共邊。最常見的是90°角內(nèi)含45°角，或120°角內(nèi)含60°角的模型。解決此類問題的關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)思想，將分散的條件集中，構(gòu)造全等三角形。核心結(jié)構(gòu)特征在一個含有∠A=2α的圖形中，存在一個以A為頂點(diǎn)的∠DAE=α，且∠DAE的兩邊分別與∠A的兩邊相交于點(diǎn)D、E。通過旋轉(zhuǎn)△ABD（或△ACE），可使AD與AE重合，從而將半角“補(bǔ)齊”，構(gòu)造出新的全等三角形。主要結(jié)論與常用輔助線1.線段關(guān)系：通過旋轉(zhuǎn)全等，可得到DE=BD+CE（或其他類似的線段和差關(guān)系）。2.角度關(guān)系：旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等，可將分散的角集中。3.輔助線：旋轉(zhuǎn)是半角模型的靈魂。通常將△ABD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，使AB與AC重合。典型例題精講例題3：已知正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°。求證：EF=BE+DF。分析：正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠EAF=45°，恰好是半角模型。我們可以考慮將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AD與AB重合，構(gòu)造全等三角形。解析：證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD=AB，∠ADF=∠ABE=∠BAD=90°。旋轉(zhuǎn)后，AD與AB重合，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG。因?yàn)椤螦BG=90°，∠ABE=90°，所以點(diǎn)G、B、E在同一條直線上（即G、B、E三點(diǎn)共線）。因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°。所以∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°，即∠GAE=∠EAF。在△GAE和△FAE中，AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，所以△GAE≌△FAE（SAS）。因此，EF=GE=GB+BE=DF+BE，即EF=BE+DF。預(yù)測性練習(xí)題練習(xí)3：在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)F。連接CF，若∠AFC=120°，求證：BF=2AF。（提示：此題為60°角背景下的角度關(guān)系問題，可嘗試?yán)冒虢悄Ｐ偷乃枷耄蛲ㄟ^構(gòu)造等邊三角形轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。）四、中點(diǎn)相關(guān)模型與中點(diǎn)相關(guān)的幾何模型是中考的?？?，主要包括“倍長中線”、“中位線定理”、“直角三角形斜邊中線”等。這類模型的核心在于利用中點(diǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形，從而實(shí)現(xiàn)線段的平移、轉(zhuǎn)化和等量代換。核心結(jié)構(gòu)特征題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”、“中位線”等關(guān)鍵詞，或圖形中隱含中點(diǎn)條件（如等腰三角形底邊中線、直角三角形斜邊中點(diǎn)等）。主要結(jié)論與常用輔助線1.倍長中線：延長中線至兩倍長度，構(gòu)造全等三角形（△ADC≌△EDB），從而實(shí)現(xiàn)邊或角的轉(zhuǎn)移。2.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。3.直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4.等腰三角形三線合一：等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角平分線互相重合。典型例題精講例題4：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于點(diǎn)F。求證：AF=EF。分析：題目中明確給出AD是中線，即D是BC中點(diǎn)。要證AF=EF，即證∠FAE=∠FEA。已知BE=AC，如何將這兩條看似不相關(guān)的線段聯(lián)系起來？倍長中線是處理中線問題的常用策略。解析：延長AD至點(diǎn)G，使DG=AD，連接BG。因?yàn)锳D是BC邊上的中線，所以BD=CD。在△ADC和△GDB中，AD=GD，∠ADC=∠GDB（對頂角相等），CD=BD，所以△ADC≌△GDB（SAS）。因此，AC=GB，∠CAD=∠G。已知BE=AC，所以BE=GB。所以△GBE是等腰三角形，∠G=∠BEG。因?yàn)椤螧EG=∠AEF（對頂角相等），且∠G=∠CAD，所以∠CAD=∠AEF。因此，在△AEF中，AF=EF（等角對等邊）。預(yù)測性練習(xí)題練習(xí)4：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，延長BA、CD分別交EF的延長線于點(diǎn)G、H。求證：∠BGF=∠CHF。（提示：中點(diǎn)連線，考慮構(gòu)造中位線?？蛇B接BD，取BD中點(diǎn)M，連接EM、FM，利用中位線性質(zhì)證明EM=FM，再通過平行線性質(zhì)倒角。）五、截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短模型主要用于證明幾條線段之間的和差關(guān)系，如“a+b=c”或“a-b=c”的形式。截長法是在較長線段上截取一段等于其中一條較短線段，再證剩余部分等于另一條較短線段；補(bǔ)短法則是將其中一條較短線段延長，使延長部分等于另一條較短線段，再證延長后的線段等于較長線段。核心結(jié)構(gòu)特征題目中出現(xiàn)線段的和差倍分關(guān)系的證明要求，且通常伴有角平分線、垂線等條件，或圖形中存在軸對稱關(guān)系。主要結(jié)論與常用輔助線1.截長：在長線段上取一段等于短線段，構(gòu)造全等或等腰三角形。2.補(bǔ)短：延長短線段至與另一條短線段相等，構(gòu)造全等或等腰三角形。3.輔助線語言：“在XX上截取XX=XX”或“延長XX至點(diǎn)X，使XX=XX，連接XX”。典型例題精講例題5：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D。求證：AB+BD=AC。分析：要證AB+BD=AC，符合“a+b=c”的形式，考慮使用截長補(bǔ)短法。已知AD是角平分線，∠B=2∠C，角的關(guān)系提示我們可以通過構(gòu)造等腰三角形來轉(zhuǎn)化。解析：（截長法）在AC上截取AE=AB，連接DE。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，所以△ABD≌△AED（SAS）。因此，BD=ED，∠B=∠AED。已知∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C。又因?yàn)椤螦ED=∠C+∠EDC（三角形外角性質(zhì)），所以2∠C=∠C+∠EDC，即∠EDC=∠C。所以△EDC是等腰三角形，ED=EC。因?yàn)锽D=ED，所以BD=EC。因此，AC=AE+EC=AB+BD，即AB+BD=AC。（補(bǔ)短法亦可：延長AB至點(diǎn)F，使BF=BD，連接DF。則∠F=∠BDF，∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F，由∠ABC=2∠C得∠F=∠C，再證△AFD≌△ACD即可。同學(xué)們可自行嘗試。）預(yù)測性練習(xí)題練習(xí)5：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接AP，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AP于點(diǎn)F。求證：BE+DF=