10/10模塊二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則m＝（

）A．5 B．4 C． D．1【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，則，而不恒為0，因此，所以．故選：C2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，故需滿足，解得.故選：B.3．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由求導(dǎo)，可得，則，又，則曲線在點處的切線為，則切線與兩坐標(biāo)軸的交點分別為，，故三角形的面積為.故選：D.4．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，關(guān)于原點對稱，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，可得排除A、D項；當(dāng)時，可得，所以，此時；當(dāng)時，可得，所以，此時，所以選項B符合函數(shù)的圖象的形狀．故選：B．5．若函數(shù)有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域為，且，因為函數(shù)有極值，所以在上有變號零點，即在上有解（若有兩個解，則兩個解不能相等），因為二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A6．已知，：函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且.若在區(qū)間上存在最大值，則該區(qū)間須包含極大值點，且極大值不小于區(qū)間右端點的函數(shù)值（否則函數(shù)在該區(qū)間沒有最大值），即，由得，即，分解因式得，解得，聯(lián)立，解得，又因為是的真子集，是的必要不充分條件.故選：C.7．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為、、、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，設(shè)，則函數(shù)的定義域為，因為，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)、的圖象的交點也關(guān)于點對稱，不妨設(shè)，則，，，，令，則，故，故，由對稱性知，，，，令，則，故，故，因此，故選：C.8．若實數(shù)滿足，則下列結(jié)論不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，得，由選項知只需要討論及兩種情況.當(dāng)時，，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，得成立，故A正確；又因為，所以，即，得，所以，故B正確；當(dāng)時，，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，得成立，故C正確；因為，所以，所以，得，即，故D錯誤，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（??）A．在上單調(diào)遞減B．的極大值為2C．有三個零點D．曲線在處的切線斜率為【答案】ABCD【詳解】由題設(shè)，則，D對，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A對，所以極大值為，極小值為，時，時，所以在、、上各有一個零點，共有3個零點，B、C對.故選：ABCD10．函數(shù)，則（

）A．是的一條對稱軸 B．是的最小正周期C． D．的最小值為【答案】BC【詳解】對于A，因為，而，故，故的圖象不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，設(shè)為的最小正周期，則對任意恒成立，令，則，故，故或，故，若，因為，而，，故不是最小正周期.當(dāng)時，，故是最小正周期，故B正確；對于C，因為，即，故C正確；對于D，由B，C項可知為奇函數(shù)且是最小正周期，故只需研究在上的最值，此時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，，因為奇函數(shù)，則在上的最小值為，又是函數(shù)的最小正周期，故在上的最小值為，即D錯誤.故選：BC.11．南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻(xiàn)，后人將“這個精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”.已知圓周率，定義函數(shù)，下列有關(guān)函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．方程的解集為B．，使得，都有C．當(dāng)時，D．若，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則的最小值為7【答案】AD【詳解】因為，且，所以函數(shù)的值域為.對于A，由題意得，，，考慮到當(dāng)時，，則方程的解集為，故A正確.對于B，當(dāng)時，，從而，都有，故B錯誤，對于C，因為，所以，由對勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)或時，取得最小值7，故C錯誤，對于D，由題意得，若要使函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則，對于任意的，則，又由題意得，，，，則的最小值為7，故D正確.故選：AD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的圖象在處的切線方程為．【答案】【詳解】設(shè)，則，又為上的奇函數(shù)，所以，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的圖象在處的切線方程為，即．故答案為：13．如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為

【答案】【詳解】由圖象得在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，則當(dāng)時，或當(dāng)時，，當(dāng)，時，解得，當(dāng)，時，解得，綜上可得不等式的解集為.故答案為：14．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得關(guān)于x的方程恰有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】因為，所以，所以是的一個解，則存在實數(shù)，使得有四個不同的解，即當(dāng)時，有三個不同的解.，令，當(dāng)時，，且.當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖：由圖知：當(dāng)時，的圖象與直線至多有兩個交點，不符合題意；當(dāng)時，的圖象與直線有三個交點，符合題意；當(dāng)時，的圖象與直線有三個交點，符合題意；當(dāng)時，的圖象與直線至多有兩個交點，不符合題意；當(dāng)時，存在實數(shù)，使得的圖象與直線有三個交點，符合題意.綜上，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知定義域為的函數(shù)滿足對任意，都有．(1)求證：是偶函數(shù)；(2)設(shè)時，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集．【詳解】（1）取得，即，取得，即， 2分取，得，即是偶函數(shù)； 4分（2）①設(shè)，則，由時，得，則，即在上為減函數(shù)， 8分②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，則不等式等價為， 10分即得，得得，即或或，即不等式的解集為或或.. 13分16．（15分）汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間），當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車.某種算法（如下圖所示）將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間、人的反應(yīng)時間、系統(tǒng)反應(yīng)時間、制動時間，相應(yīng)的距離分別為、、、.當(dāng)車速為v（米/秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）階段0、準(zhǔn)備1、人的反應(yīng)2、系統(tǒng)反應(yīng)3、制動時間秒秒距離米米(1)請寫出報警距離d（米）與車速v（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時，若汽車達(dá)到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間.（精確到0.1秒）(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時〈精確到1千米/小時〉？【詳解】（1）由題意得，， 3分當(dāng)時，，若汽車達(dá)到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的時間（秒），即最短時間為3.1秒； 7分（2）根據(jù)題意，要求對于任意，恒成立，即對于任意，，即恒成立， 9分由得，，即， 11分解得，（米/秒），（千米/小時），汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下，合72千米/小時． 15分17．（15分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)若函數(shù)的極小值點為，求的值；(2)若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時，若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因，則，易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 3分故函數(shù)的極小值點為，得； 5分（2）在時恒成立，等價于在時恒成立，令，則，因，則在上單調(diào)遞減， 7分則，，則實數(shù)的取值范圍是； 9分（3）當(dāng)時，，則，令，則，令，則，因，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 11分故，易知，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)且時，， 13分作出的大致圖象（如圖）：因在上恰有兩個不同的零點，即在上有兩個不同的交點，故，故實數(shù)的取值范圍為. 15分18．（17分）已知函數(shù)．（其中是自然對數(shù)的底，，）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若直線是函數(shù)圖像的切線，求a的值；(3)當(dāng)時，若恒成立，求整數(shù)a的最大值．【詳解】（1）函數(shù)的定義域，求導(dǎo)得， 2分當(dāng)時，，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞減， 5分因此，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減. 6分（2）設(shè)切點為，則，直線的斜率為，因此，由得，解得，由于切點在直線上，故， 8分因此，，將代入上式，得：，令，則，對于，因此，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，將代入，因此，的值為. 11分（3）當(dāng)時，，即：，令，則，令，則，由于，且，故，因此在上單調(diào)遞增， 13分因為，，因為，因此，存在，使得，即，對于，，故，單調(diào)遞減；對于，，故，單調(diào)遞增； 15分因此，在處取得最小值：，令，則，所以，又，，所以，因此整數(shù)的最大值為1. 17分19．（17分）已知函數(shù)，．（1）若在