2023年全國高考數(shù)學(xué)重點難題詳解（山東卷）高考數(shù)學(xué)作為檢驗學(xué)生邏輯思維與綜合應(yīng)用能力的重要科目，其難題部分往往成為考生拉開差距的關(guān)鍵。2023年全國高考數(shù)學(xué)山東卷在延續(xù)往年命題風(fēng)格的基礎(chǔ)上，更加注重對核心素養(yǎng)和實際應(yīng)用能力的考查。本文旨在對本年度山東卷數(shù)學(xué)科目中的重點難題進行深度剖析，希望能為廣大師生提供有益的參考與啟示。一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題——思維的深度與廣度并存函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，歷來是高考難題的“重災(zāi)區(qū)”。今年山東卷的函數(shù)導(dǎo)數(shù)題，在考查常規(guī)知識點的同時，更側(cè)重于對函數(shù)性質(zhì)的綜合運用、分類討論思想的精準(zhǔn)把握以及導(dǎo)數(shù)工具的靈活應(yīng)用。典型例題分析：（此處選取一道具有代表性的函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題，涉及單調(diào)性、極值、不等式證明等核心考點）審題關(guān)鍵：本題通常會給出一個含有參數(shù)的復(fù)雜函數(shù)表達式，并提出諸如討論函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)極值或最值、證明與函數(shù)相關(guān)的不等式等要求?？忌紫刃枰鞔_各小問之間的內(nèi)在聯(lián)系，往往前一問的結(jié)論或方法會為后續(xù)問題提供鋪墊。解題思路與方法：1.定義域優(yōu)先：求解函數(shù)問題，首先要考慮函數(shù)的定義域，這是后續(xù)所有運算和推理的基礎(chǔ)。2.求導(dǎo)與通分：對給定函數(shù)進行求導(dǎo)，將導(dǎo)函數(shù)整理化簡，通常需要通分，以便于分析導(dǎo)函數(shù)的符號變化。3.分類討論的標(biāo)準(zhǔn)：導(dǎo)函數(shù)的零點是劃分函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵。當(dāng)導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)時，需要對參數(shù)進行分類討論。分類的標(biāo)準(zhǔn)通常是基于參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)零點的存在性、零點的個數(shù)以及零點大小關(guān)系的影響。這一步需要考生具備清晰的邏輯和條理性，避免重復(fù)或遺漏。4.單調(diào)性與極值：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號變化，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的極值點和極值。在求極值時，務(wù)必注意驗證導(dǎo)函數(shù)在極值點兩側(cè)的符號是否異號。5.不等式證明的轉(zhuǎn)化：對于函數(shù)不等式的證明，常見的策略有構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問題；或者利用已有的函數(shù)單調(diào)性、極值等性質(zhì)進行放縮證明。有時也會用到隱零點的處理技巧，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點不易求出時，通過設(shè)而不求的方式，利用零點滿足的方程進行代換，從而簡化運算。難點突破：此類問題的難點主要體現(xiàn)在：*復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)化簡的準(zhǔn)確性。*分類討論時，分類標(biāo)準(zhǔn)的合理選擇與討論過程的完整性。*將不等式證明等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的橋梁搭建。*面對冗長計算或復(fù)雜表達式時的心理承受能力與耐心。反思與總結(jié)：解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題，需要考生扎實掌握函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本概念和性質(zhì)，熟練運用求導(dǎo)法則。同時，要強化分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。平時練習(xí)中，應(yīng)注重對解題思路的梳理和歸納，積累處理各類“陷阱”和“難點”的經(jīng)驗。二、立體幾何綜合問題——空間想象與邏輯推理的雙重考驗立體幾何題目在考查學(xué)生空間想象能力的同時，也對邏輯推理和運算求解能力提出了較高要求。今年的山東卷立體幾何題，可能會以不規(guī)則幾何體為載體，考查線面位置關(guān)系的證明、空間角與距離的計算等。典型例題分析：（此處選取一道以三棱錐或四棱錐為背景，涉及線面垂直/平行證明、二面角或線面角計算的題目）審題關(guān)鍵：準(zhǔn)確理解幾何體的結(jié)構(gòu)特征，特別是題目中給出的面面垂直、棱長、角度等關(guān)鍵條件。能夠根據(jù)文字描述或簡單圖示，在腦海中構(gòu)建出清晰的空間模型，或畫出有助于分析的輔助圖形。解題思路與方法：1.幾何法（綜合法）：*線面位置關(guān)系證明：證明線面平行，通常利用線線平行（三角形中位線、平行四邊形對邊等）或面面平行的性質(zhì)定理；證明線面垂直，則需利用線線垂直（通常要找到兩條相交直線），再結(jié)合線面垂直判定定理。面面垂直的證明則多依賴于線面垂直。*空間角計算：傳統(tǒng)方法求角，需要“作、證、算”三步。即作出（或找出）所求的角，證明所作的角即為所求角，然后構(gòu)造直角三角形進行計算。例如，求線面角，需找到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線與射影所成的角即為線面角；求二面角，則需找到（或作出）二面角的平面角。2.向量法：*建系：根據(jù)幾何體的特點，選擇合適的坐標(biāo)系。通常優(yōu)先考慮具有較多垂直關(guān)系的頂點或棱作為坐標(biāo)原點和坐標(biāo)軸，以簡化點的坐標(biāo)表示。*求點坐標(biāo)與向量：準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，并由此求出所需直線的方向向量和平面的法向量。求平面法向量是向量法的核心步驟，需解一個三元一次方程組（令其中一個變量為1或其他特殊值）。*利用向量計算：線面平行可轉(zhuǎn)化為直線方向向量與平面法向量垂直；線面垂直可轉(zhuǎn)化為直線方向向量與平面法向量平行?？臻g角的計算則可通過向量的夾角公式求得，需注意向量夾角與所求空間角（線面角、二面角）之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)換（例如，線面角的正弦值等于直線方向向量與平面法向量夾角余弦值的絕對值）。難點突破：立體幾何題的難點在于：*空間想象能力的不足，難以準(zhǔn)確把握線面、面面之間的位置關(guān)系。*輔助線（面）的添加，這需要一定的經(jīng)驗積累和對題目條件的深刻理解。*向量法中，坐標(biāo)系建立的合理性、點坐標(biāo)的準(zhǔn)確性以及法向量計算的正確性，都會直接影響最終結(jié)果。*幾何法中，“作角”的技巧和證明的嚴(yán)謹性。反思與總結(jié)：對于立體幾何問題，建議考生：*熟練掌握兩種方法（幾何法和向量法），并根據(jù)題目特點靈活選擇。對于證明題，幾何法有時更為簡潔；對于計算題，尤其是空間角的計算，向量法往往更具普適性，過程相對程序化。*加強空間想象能力的訓(xùn)練，多觀察、多畫圖、多動手制作模型（初期）。*向量法的關(guān)鍵在于計算的準(zhǔn)確性，平時要養(yǎng)成良好的計算習(xí)慣。三、解析幾何綜合問題——代數(shù)運算與幾何直觀的完美結(jié)合解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，其核心在于將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，并通過方程的求解來解決幾何問題。此類題目往往運算量大，對考生的代數(shù)變形能力、方程思想和數(shù)形結(jié)合能力要求極高。典型例題分析：（此處選取一道以橢圓或拋物線為背景，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系、定點定值、范圍最值等問題的綜合題）審題關(guān)鍵：明確圓錐曲線的類型及其標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握其幾何性質(zhì)（焦點、離心率、準(zhǔn)線等）。理解直線與圓錐曲線相交的含義，以及題目中所涉及的幾何量（如弦長、面積、斜率、距離等）。解題思路與方法：1.求曲線方程：若題目涉及求圓錐曲線方程，通常利用待定系數(shù)法，根據(jù)已知條件（如焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程、曲線上點的坐標(biāo)等）列出方程（組）求解。2.直線與圓錐曲線位置關(guān)系：*聯(lián)立方程：設(shè)出直線方程（注意考慮斜率不存在的情況），與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量（通常是y或x），得到一個關(guān)于x（或y）的一元二次方程。*判別式與韋達定理：當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，判別式Δ>0是前提（用于參數(shù)范圍的限制）。韋達定理是解決弦中點、弦長、斜率關(guān)系等問題的有力工具，要熟練掌握并靈活運用。設(shè)而不求的思想在此處體現(xiàn)得淋漓盡致。3.弦長與面積計算：利用弦長公式（結(jié)合韋達定理）計算弦長；對于與面積相關(guān)的問題，要選擇合適的底和高，或利用分割、補形等方法轉(zhuǎn)化。4.定點與定值問題：解決定點定值問題，通常有兩種思路：一是從特殊情況入手，先猜出定點或定值，再進行一般性證明；二是直接進行代數(shù)推理，將所求表達式用參數(shù)表示出來，通過化簡、整理，消去參數(shù)，得到定值或定點坐標(biāo)。在化簡過程中，要耐心細致，注意代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征。5.范圍與最值問題：這類問題往往與函數(shù)、不等式知識相結(jié)合。通過建立目標(biāo)函數(shù)（通常是關(guān)于某個參數(shù)的函數(shù)），利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、二次函數(shù)的最值等方法求出范圍或最值。有時也會利用幾何意義，如兩點間距離、點到直線距離等求最值。難點突破：解析幾何題的難點主要集中在：*運算量巨大，對考生的代數(shù)運算能力、耐心和細心程度是極大的考驗。稍有不慎，便會功虧一簣。*解題思路的尋找，尤其是在面對定點、定值、最值等較為抽象的問題時，如何構(gòu)建合適的代數(shù)模型。*對題目中隱含條件的挖掘，如判別式的限制、變量的取值范圍等。*多種數(shù)學(xué)思想的綜合運用，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等。反思與總結(jié)：攻克解析幾何難題，需要：*熟記圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及常用公式（弦長公式、點到直線距離公式等）。*強化代數(shù)運算訓(xùn)練，提高運算速度和準(zhǔn)確性，掌握一些常見的代數(shù)變形技巧。*注重數(shù)形結(jié)合，畫圖是理解題意、尋找思路的重要手段。*積累常見題型的解題策略和技巧，善于總結(jié)歸納，如“設(shè)而不求”、“韋達定理應(yīng)用”、“參數(shù)法”等。在解題過程中，要時刻關(guān)注運算的合理性，及時檢查，避免不必要的復(fù)雜運算。四、概率統(tǒng)計綜合應(yīng)用——實際問題的數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析隨著高考改革的深入，概率統(tǒng)計題越來越注重與實際生活的聯(lián)系，考查學(xué)生從實際問題中提取信息、建立數(shù)學(xué)模型、進行數(shù)據(jù)分析和解決問題的能力。題目往往文字信息量大，背景新穎。典型例題分析：（此處選取一道以現(xiàn)實生活、科研實驗等為背景，涉及隨機變量分布列、期望、方差、獨立性檢驗、回歸分析等知識點的綜合題）審題關(guān)鍵：這是解決概率統(tǒng)計問題的首要步驟，也是難點之一。需要考生耐心閱讀題目，準(zhǔn)確理解題意，理清事件之間的關(guān)系，明確問題的核心是什么。要能夠從大量的文字信息中提取出關(guān)鍵數(shù)據(jù)和條件。解題思路與方法：1.確定模型：根據(jù)題目描述，判斷該問題屬于哪種概率模型（古典概型、幾何概型、獨立重復(fù)試驗、超幾何分布、二項分布等），或者需要進行哪種統(tǒng)計分析（用樣本估計總體、獨立性檢驗、線性回歸分析等）。2.求解概率：*對于古典概型，關(guān)鍵是確定基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，常用列舉法、樹狀圖法、排列組合知識等。*對于涉及互斥事件、對立事件、獨立事件的概率計算，要準(zhǔn)確運用相應(yīng)的概率公式。*對于隨機變量的分布列、期望和方差，首先要確定隨機變量的所有可能取值，然后求出每個取值對應(yīng)的概率，列出分布列，再根據(jù)公式計算期望和方差。要特別注意二項分布、超幾何分布等特殊分布的期望和方差公式，可以簡化計算。3.統(tǒng)計分析：*頻率分布：會繪制頻率分布直方圖、莖葉圖等，并能從中獲取信息，計算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等數(shù)字特征。*獨立性檢驗：理解2×2列聯(lián)表，掌握獨立性檢驗的基本思想和步驟，會根據(jù)觀測值K2的大小判斷兩個分類變量是否有關(guān)聯(lián)。*回歸分析：了解線性回歸模型，會求線性回歸方程（通常題目會給出公式或數(shù)據(jù)，重點在于代入計算的準(zhǔn)確性），并能利用回歸方程進行預(yù)測。難點突破：概率統(tǒng)計題的難點在于：*審題不清：未能準(zhǔn)確理解題意，導(dǎo)致模型判斷錯誤或關(guān)鍵信息遺漏。*信息量大：處理大量文字和數(shù)據(jù)時容易產(chǎn)生混亂。*實際背景陌生：對題目所涉及的實際背景不熟悉，影響對問題本質(zhì)的把握。*計算繁瑣：尤其是在求期望、方差，或進行回歸系數(shù)計算時，數(shù)據(jù)可能較大或為小數(shù)，容易出錯。反思與總結(jié)：解答概率統(tǒng)計問題，考生應(yīng)：*耐心細致：認真閱讀題目，逐字逐句理解，圈點關(guān)鍵信息，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。*注重基礎(chǔ)：熟練掌握各種概率模型的特點、計算公式以及統(tǒng)計分析的基本方法。*規(guī)范表達：在書寫分布列、進行檢驗或回歸分析時，要步驟清晰，格式規(guī)范。*聯(lián)系實際：理解概率統(tǒng)計的實際意義，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察和分析現(xiàn)實問題的能力。計算時務(wù)必細心，可通過估算或反向驗證等方式檢查結(jié)果的合理性。五、總結(jié)與備考建議2023年山東卷數(shù)學(xué)的重點難題，依然圍繞著函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計等核心模塊展開，著重考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力以及綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。給未來考生的備考啟示：1.夯實基礎(chǔ)，回歸教材：難題的解決離不開扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能。要吃透教材中的概念、定理、公式及其內(nèi)在聯(lián)系，不留知識盲點。2.強化思維，掌握方法：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維能力的培養(yǎng)。要深刻理解數(shù)學(xué)思想方法（如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等），并能在解題中靈活運用。3.重視運算，力求精準(zhǔn)：運算能力是數(shù)學(xué)的基本能力，也是高考考查的重點。平時練習(xí)要養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣，提高運算速度和準(zhǔn)確性，避免因“會而不對”、“對而不全”而失分。4.