有理數(shù)乘除法應用題專項訓練在數(shù)學的學習旅程中，有理數(shù)的乘除法是連接小學數(shù)學與初中代數(shù)的重要橋梁。它不僅是數(shù)與式運算的基礎，更在解決實際問題中有著廣泛的應用。掌握有理數(shù)乘除法的應用題，關鍵在于深刻理解運算的意義，特別是符號法則在實際情境中的體現(xiàn)，并能準確地將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學算式。本專項訓練旨在幫助同學們梳理常見的應用類型，掌握解題思路，提升解決實際問題的能力。一、夯實基礎：有理數(shù)乘除法的核心法則回顧在著手解決應用題之前，我們必須對有理數(shù)乘除法的基本法則了然于胸，這是正確解題的前提。1.乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)與零相乘，都得零。*引申：幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定。當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零。2.除法法則：除以一個不等于零的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不等于零的數(shù)，都得零。*注意：除法運算中，除數(shù)不能為零。核心提示：在應用問題中，“負號”往往代表著與規(guī)定正方向或預期相反的意義，這是理解題意并正確列出算式的關鍵。二、典型應用情境與解題策略有理數(shù)乘除法的應用問題千變?nèi)f化，但常見的情境可以歸納為以下幾類：（一）涉及“倍數(shù)關系”與“平均分”的問題這類問題與小學階段的乘除法應用類似，但引入了負數(shù)，使得“倍數(shù)”和“平均分”的概念得以擴展。*例題1：某商店一周內(nèi)的盈虧情況如下（盈余為正，虧損為負）：周一虧損a元，周二的虧損額是周一的1.5倍。問周二虧損了多少元？如果a是一個具體的數(shù)值，例如a=100元，那么周二的虧損額又是多少？*分析：周二虧損額是周一的1.5倍，周一虧損a元（虧損記為負，所以周一的盈虧值為-a元），則周二的虧損額為(-a)×1.5。這里，倍數(shù)1.5是正數(shù)，表示虧損程度的放大。*解答：周二虧損了(-a)×1.5=-1.5a元。若a=100元，則周二虧損了-1.5×100=-150元，即虧損150元。*例題2：將一份總量為-36千克的貨物（此處“負號”可能表示某種特定含義，如消耗或出庫）平均分配到6個運輸單元中，每個單元分配到多少千克？*分析：“平均分配”對應除法運算?？偭繛?36千克，平均分成6份。*解答：每個單元分配到(-36)÷6=-6千克。根據(jù)題目中“負號”的定義，這表示每個單元分配到6千克的出庫量或消耗量。（二）涉及“具有相反意義的量”的問題這類問題中，通常會規(guī)定一個正方向，與之相反的方向則用負數(shù)表示。乘除法運算在這里用于計算這些量的累積或比率。*例題3：一只蝸牛在數(shù)軸上爬行，它從原點出發(fā)，先向右爬行2個單位長度，再向左爬行3個單位長度，然后又向右爬行1.5個單位長度。問蝸牛最終停在數(shù)軸上的哪個位置？如果蝸牛的爬行速度是每分鐘0.5個單位長度，那么它爬行全程用了多少分鐘？（此問主要涉及加法，但為下一問鋪墊）*若將問題修改為：一只蝸牛在數(shù)軸上爬行，它的初始位置在原點。如果它連續(xù)爬行3次，每次都向左爬行2.5個單位長度，那么它最終的位置在哪里？*分析：向左為負方向，每次爬行-2.5，共3次，即求3個-2.5的和，用乘法：3×(-2.5)。*解答：最終位置為3×(-2.5)=-7.5，即停在數(shù)軸上表示-7.5的位置。*例題4：某水庫的水位在某段時間內(nèi)發(fā)生了變化。如果水位平均每小時下降0.3米，那么經(jīng)過4小時，水位共下降了多少米？如果初始水位為100米，那么4小時后水位是多少米？*分析：下降記為負，每小時下降0.3米，即變化率為-0.3米/小時。4小時后的總變化量為(-0.3)×4。*解答：水位共下降了(-0.3)×4=-1.2米，即下降了1.2米。4小時后水位為100+(-1.2)=98.8米。*例題5：某股票在一個交易日內(nèi)，上午下跌了5%，下午在上午收盤價的基礎上又上漲了5%。問這一天該股票的最終漲跌情況相對于開盤價是上漲了還是下跌了？幅度是多少？（假設開盤價為單位“1”）*分析：設開盤價為1。上午下跌5%，則上午收盤價為1×(1-5%)=1×0.95。下午上漲5%，是以上午收盤價為基數(shù)，所以下午收盤價為0.95×(1+5%)=0.95×1.05。這里，“下跌”和“上漲”是相反意義的量，分別對應乘以(1-百分比)和(1+百分比)。*解答：最終收盤價為1×0.95×1.05=0.9975。相對于開盤價1，0.9975-1=-0.0025，即下跌了0.25%。（三）涉及“連乘、連除或乘除混合”的復雜問題這類問題需要綜合運用有理數(shù)的乘除法法則，特別是注意運算順序和符號的確定。*例題6：計算一個數(shù)，它是-2、3/4和-4這三個數(shù)的乘積。*分析：直接進行連乘運算，注意負因數(shù)的個數(shù)。*解答：(-2)×(3/4)×(-4)=[(-2)×(-4)]×(3/4)=8×(3/4)=6。（可以先確定符號：兩個負因數(shù)，積為正；再計算絕對值：2×3/4×4=6）*例題7：一段路程，某人先以每小時4千米的速度行走了1.5小時，然后又以每小時-3千米的速度行走了0.5小時（此處“負速度”表示方向相反）。問此人最終相對于出發(fā)點的位置在哪里？*分析：路程=速度×時間。第一段路程：4×1.5=6千米（正向）。第二段路程：(-3)×0.5=-1.5千米（反向）。最終位置為兩段路程之和。*解答：6+(-1.5)=4.5千米。即最終在出發(fā)點前方4.5千米處。三、專項練習題以下練習題請同學們獨立完成，注意審題，明確數(shù)量關系，準確運用符號法則。1.一個數(shù)是-5的2.4倍，求這個數(shù)。2.若a=-3，b=-2/3，求a÷b的值。3.每袋大米的標準重量是25千克，超過的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)?，F(xiàn)有5袋大米，其重量記錄分別為：+0.5，-0.3，0，-0.2，+0.4。問這5袋大米的總重量是多少千克？（此題可先用加法求出總偏差，再加上5×25）4.某冷凍庫的溫度初始為-5℃，如果每小時降溫3℃，那么2小時后冷庫的溫度是多少？如果要將溫度降到-20℃，需要多少小時？（第二問：從-5℃降到-20℃，溫度變化了多少？再除以每小時的降溫幅度）5.計算：(-1/2)×(-4)÷(-2/3)6.一艘潛水艇從海平面下100米處開始，先上浮20米，再下潛30米，然后又上浮15米。用有理數(shù)的運算表示潛水艇最終的深度，并求出該深度。（規(guī)定海平面下為負）四、解題策略與建議1.審清題意，明確“+”、“-”的意義：這是解決有理數(shù)應用題的首要步驟。仔細閱讀題目，看題目中是否有明確的“具有相反意義的量”的規(guī)定，如“上升/下降”、“盈利/虧損”、“向東/向西”等，并明確哪個方向或情況為正，哪個為負。2.準確理解數(shù)量關系，列出算式：將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言。是求幾個相同加數(shù)的和（用乘法），還是求一個數(shù)包含幾個另一個數(shù)（用除法），或是其他的倍數(shù)、比率關系。3.正確運用有理數(shù)的乘除法法則：特別是符號法則，“同號得正，異號得負”，并記住任何數(shù)與0相乘都得0，0除以任何非0數(shù)都得0。4.規(guī)范書寫，分步計算：對于復雜問題，分步計算可以減少錯誤。先確定結(jié)果的符號，再計算絕對值的乘除。5.檢驗結(jié)果的合理性：計算完成后，要回顧題目，看結(jié)果的數(shù)值和符號是否符合實際情境的意義。例如，時間、長度等通常不會是負數(shù)，若出現(xiàn)負數(shù)，需檢查是否是表示相反意義。有理數(shù)乘除法的應用題，其核心在于理解符號的實際含義以及乘除法運算在具體情境下的解釋。通過上述典型例題的分析