2026年長(zhǎng)沙高中數(shù)學(xué)建模比賽試題及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年長(zhǎng)沙高中數(shù)學(xué)建模比賽試題及答案考核對(duì)象：高中學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。2.線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解一定在可行域的頂點(diǎn)處取得。3.樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率在每次試驗(yàn)中保持不變。5.數(shù)列的通項(xiàng)公式可以唯一確定其前n項(xiàng)和。6.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）。7.圓錐的體積公式為V=1/3πr2h，其中r為底面半徑，h為高。8.矩陣的乘法滿足交換律。9.統(tǒng)計(jì)中的置信區(qū)間表示參數(shù)真實(shí)值落在該區(qū)間的概率為100%。10.抽樣調(diào)查中，分層抽樣的樣本量在各層中的分配應(yīng)與總體比例相同。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=x3-3x+1的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。A.0B.1C.2D.32.已知A={1,2,3}，B={2,4,6}，則A∪B的元素個(gè)數(shù)為（）。A.3B.4C.5D.63.若事件A的概率為0.6，事件B的概率為0.4，且A與B互斥，則P(A∪B)為（）。A.0.2B.0.4C.0.6D.1.04.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n2-3n，則a_4的值為（）。A.11B.13C.15D.175.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于（）。A.eB.e-1C.1D.ln(e)6.已知圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，則其圓心坐標(biāo)為（）。A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)7.矩陣M=[12;34]的轉(zhuǎn)置矩陣為（）。A.[13;24]B.[24;13]C.[34;12]D.[43;21]8.拋擲一枚均勻硬幣3次，恰好出現(xiàn)2次正面的概率為（）。A.1/8B.3/8C.1/4D.1/29.函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,π/2]上的積分值為（）。A.1B.0C.π/2D.π10.已知樣本數(shù)據(jù)為5,7,9,11,13，則其中位數(shù)為（）。A.7B.9C.10D.11三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的有（）。A.f(x)=x2B.f(x)=ln(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=1/x2.線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件通常表示為（）。A.等式B.不等式C.線性函數(shù)D.非線性函數(shù)3.下列統(tǒng)計(jì)量中，不受極端值影響的有（）。A.均值B.中位數(shù)C.標(biāo)準(zhǔn)差D.方差4.圓錐的側(cè)面積公式為（）。A.πrlB.πr2C.πr√(r2+h2)D.1/2πr25.矩陣乘法滿足的性質(zhì)有（）。A.結(jié)合律B.交換律C.分配律D.單位元存在6.抽樣調(diào)查中，常見(jiàn)的抽樣方法有（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.系統(tǒng)抽樣D.整群抽樣7.函數(shù)f(x)=cos(x)的周期為（）。A.πB.2πC.3πD.4π8.數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的充要條件是（）。A.a_n-a_(n-1)為常數(shù)B.S_n=an2+bnC.a_n=a_1+(n-1)dD.a_n=a_(n-1)+d9.圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，參數(shù)a,b,r的意義為（）。A.a為圓心橫坐標(biāo)B.b為圓心縱坐標(biāo)C.r為半徑D.r為圓心到原點(diǎn)的距離10.統(tǒng)計(jì)分析中，常用的圖表有（）。A.直方圖B.餅圖C.散點(diǎn)圖D.箱線圖四、案例分析（每題6分，共18分）1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為10元，每件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為15元。生產(chǎn)每件產(chǎn)品A需要消耗原材料2kg，生產(chǎn)每件產(chǎn)品B需要消耗原材料3kg，工廠每周可用的原材料總量為100kg。若產(chǎn)品A每周的產(chǎn)量不能超過(guò)30件，產(chǎn)品B的產(chǎn)量不能超過(guò)40件。問(wèn)如何安排兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，才能使工廠每周的利潤(rùn)最大？2.某學(xué)校進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生每天使用手機(jī)的時(shí)間服從正態(tài)分布，均值為60分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為10分鐘。若隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求其每天使用手機(jī)時(shí)間超過(guò)90分鐘的概率。3.某公司需要采購(gòu)一批零件，供應(yīng)商提供兩種包裝方式：大包裝每盒10件，售價(jià)50元；小包裝每盒5件，售價(jià)20元。若公司需要采購(gòu)至少100件零件，且希望總成本最低，問(wèn)應(yīng)如何選擇大包裝和小包裝的數(shù)量？五、論述題（每題11分，共22分）1.試述線性規(guī)劃問(wèn)題的基本概念及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。2.結(jié)合具體例子，說(shuō)明如何利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解其前n項(xiàng)和。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（極值點(diǎn)還可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，如x=0對(duì)f(x)=|x|）2.√（根據(jù)基本定理，最優(yōu)解在頂點(diǎn)處取得）3.√（樣本方差的無(wú)偏估計(jì)量公式證明略）4.√（獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)概率不變）5.×（通項(xiàng)公式不唯一確定前n項(xiàng)和，如a_n=n，S_n=n(n+1)/2）6.√（對(duì)數(shù)函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)）7.√（圓錐體積公式推導(dǎo)過(guò)程略）8.×（矩陣乘法不滿足交換律，如A=[10;01],B=[11;11],AB≠BA）9.×（置信區(qū)間表示參數(shù)真實(shí)值有95%的可能性落在該區(qū)間）10.√（分層抽樣保證各層比例）二、單選題1.C（f'(x)=3x2-3，f'(1)=0且f''(1)=6>0，f'(0)=0且f''(0)=-6<0）2.C（A∪B={1,2,3,4,6}）3.C（P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1.0，但互斥時(shí)P(A∪B)=0.6）4.B（a_4=S_4-S_3=2(4)2-3(4)-(2(3)2-3(3))=13）5.B（f(0)+f(1))/2=(1+e)/2=e-1）6.B（圓心為(1,-2)）7.A（轉(zhuǎn)置矩陣行列互換）8.B（C(3,2)/2^3=3/8）9.A（∫_0^π/2sin(x)dx=1）10.B（排序后為5,7,9,11,13，中位數(shù)為9）三、多選題1.ABC（f(x)=x2單調(diào)遞增，f(x)=ln(x)單調(diào)遞增，f(x)=e^x單調(diào)遞增）2.AB（約束條件為線性等式或不等式）3.BCD（中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差不受極端值影響）4.AC（側(cè)面積=πrl，全面積=πr√(r2+h2)）5.AC（結(jié)合律成立，交換律不成立）6.ABCD（四種常見(jiàn)抽樣方法）7.B（cos(x)周期為2π）8.AC（等差數(shù)列定義）9.ABC（a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，r為半徑）10.ABCD（四種常用統(tǒng)計(jì)圖表）四、案例分析1.解：設(shè)產(chǎn)品A的產(chǎn)量為x件，產(chǎn)品B的產(chǎn)量為y件，利潤(rùn)為z元。目標(biāo)函數(shù)：z=10x+15y約束條件：2x+3y≤100x≤30y≤40x,y≥0最優(yōu)解：x=30,y=20,z=10(30)+15(20)=600元。2.解：正態(tài)分布P(X>90)=P(Z>(90-60)/10)=P(Z>3)=0.0013。3.解：設(shè)大包裝數(shù)量為x盒，小包裝數(shù)量為y盒，成本為