統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)試題和答案1.單選題（每題4分，共40分）1.1某城市連續(xù)30天的日最高氣溫（℃）記錄如下：28,29,31,32,30,29,28,27,26,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5。若用箱線圖描述該組數(shù)據(jù)，則上四分位數(shù)Q3的值為A.25.5?B.26.5?C.27.5?D.28.5答案：C解析：將數(shù)據(jù)升序排列后，n=30，Q3位置=(30+1)×0.75=23.25，即第23與第24個數(shù)據(jù)的加權(quán)平均。第23個值為27，第24個值為28，故Q3=27+0.25×(28?27)=27.25，四舍五入保留一位小數(shù)得27.5。1.2設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P(X=2)=P(X=3)，則λ等于A.2?B.3?C.4?D.5答案：B解析：泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=e^{?λ}λ^{k}/k!。令k=2與k=3概率相等，則e^{?λ}λ^{2}/2!=e^{?λ}λ^{3}/6，化簡得λ^{2}/2=λ^{3}/6，解得λ=3。1.3在簡單隨機抽樣中，樣本均值x?的抽樣分布標(biāo)準(zhǔn)差與總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的關(guān)系為A.σ/√n?B.σ/n?C.σ^{2}/n?D.σ^{2}/√n答案：A解析：由中心極限定理，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差（即標(biāo)準(zhǔn)誤）為σ/√n，與樣本量平方根成反比。1.4對同一總體進行兩次獨立抽樣，樣本量分別為n?=100與n?=400，若兩次樣本均值相同，則兩次估計量的標(biāo)準(zhǔn)誤之比為A.1:1?B.2:1?C.4:1?D.1:2答案：D解析：標(biāo)準(zhǔn)誤與√n成反比，故SE?/SE?=√(n?/n?)=√4=2，即SE?:SE?=2:1，反比即為1:2。1.5在線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，若解釋變量x的樣本方差增大而其余條件不變，則β?的最小二乘估計量的方差將A.增大?B.減小?C.不變?D.先增后減答案：B解析：Var(β??)=σ2/Σ(x??x?)2，x的樣本方差增大意味著分母Σ(x??x?)2增大，從而Var(β??)減小。1.6設(shè)X~N(μ,σ2)，則E|X?μ|等于A.σ?B.σ√(2/π)?C.σ√(π/2)?D.2σ/√π答案：B解析：對正態(tài)分布而言，E|X?μ|=σ√(2/π)為已知結(jié)論，可通過積分∫_{?∞}^{∞}|x?μ|φ(x)dx計算驗證。1.7在假設(shè)檢驗中，若顯著性水平α從0.05降至0.01，則A.第一類錯誤概率減小，檢驗功效增大B.第一類錯誤概率減小，檢驗功效減小C.第一類錯誤概率增大，檢驗功效減小D.第一類錯誤概率增大，檢驗功效增大答案：B解析：α即第一類錯誤概率，其減小導(dǎo)致拒絕域縮小，從而β（第二類錯誤概率）增大，檢驗功效1?β減小。1.8對同一組數(shù)據(jù)分別建立線性模型y=β?+β?x+ε與對數(shù)線性模型lny=α?+α?x+ε，若兩模型的R2分別為0.81與0.84，則A.線性模型更好?B.對數(shù)線性模型更好?C.無法直接比較?D.兩模型等價答案：C解析：R2衡量的是模型對因變量變異的解釋比例，因兩模型因變量單位不同（y與lny），R2不可直接比較，應(yīng)借助信息準(zhǔn)則或交叉驗證。1.9在列聯(lián)表卡方檢驗中，若期望頻數(shù)小于5的單元格比例超過20%，則恰當(dāng)?shù)奶幚硎茿.直接計算卡方統(tǒng)計量?B.合并相鄰行列?C.使用Fisher精確檢驗?D.增大樣本量答案：B解析：傳統(tǒng)卡方檢驗要求期望頻數(shù)不小于5，若不足可合并行列或采用精確方法，但選項中“合并相鄰行列”是最常用且可直接操作的方案。1.10設(shè)隨機變量X的矩母函數(shù)為M_X(t)=exp(μt+σ2t2/2)，則X的偏度為A.0?B.1?C.3?D.σ3答案：A解析：該矩母函數(shù)對應(yīng)正態(tài)分布N(μ,σ2)，正態(tài)分布偏度恒為0。2.多選題（每題5分，共30分，每題至少有兩個正確答案，多選少選均不得分）2.1下列關(guān)于樣本中位數(shù)的說法正確的有A.對異常值比均值更穩(wěn)健?B.一定是樣本中的一個觀測值?C.在樣本量為偶數(shù)時是中間兩數(shù)的平均?D.其抽樣分布比均值更接近正態(tài)?E.可用于連續(xù)型與順序型數(shù)據(jù)答案：A、C、E解析：中位數(shù)將數(shù)據(jù)一分為二，對極端值不敏感；偶數(shù)樣本量時取中間兩數(shù)平均；順序型數(shù)據(jù)可排序故可計算中位數(shù)。B錯在偶數(shù)情形中位數(shù)可能非樣本值；D錯，中位數(shù)抽樣分布收斂到正態(tài)的速度通常慢于均值。2.2關(guān)于置信區(qū)間，下列說法正確的有A.95%置信區(qū)間指參數(shù)有95%概率落入該區(qū)間?B.區(qū)間寬度與樣本量平方根成反比?C.在σ已知時，構(gòu)建正態(tài)總體均值的置信區(qū)間用z分布?D.置信水平越高區(qū)間越寬?E.重復(fù)抽樣下，95%的區(qū)間會包含真值答案：B、C、D、E解析：A為常見誤解，置信區(qū)間頻率解釋是“重復(fù)構(gòu)造區(qū)間，95%包含真值”，而非參數(shù)隨機。B正確，寬度∝1/√n；C正確；D正確；E為頻率學(xué)派定義。2.3下列統(tǒng)計量中，其抽樣分布服從t分布的有A.正態(tài)總體、方差未知、小樣本均值標(biāo)準(zhǔn)化?B.兩獨立正態(tài)總體方差未知但相等時，兩樣本均值差的標(biāo)準(zhǔn)化?C.回歸系數(shù)β??在誤差正態(tài)假設(shè)下的標(biāo)準(zhǔn)化?D.樣本方差S2的(n?1)倍除以σ2?E.配對差值均值標(biāo)準(zhǔn)化答案：A、B、C、E解析：D項統(tǒng)計量服從χ2分布而非t分布，其余在經(jīng)典假設(shè)下均服從t分布。2.4下列方法可用于檢驗數(shù)據(jù)正態(tài)性的有A.Q-Q圖?B.Shapiro-Wilk檢驗?C.Kolmogorov-Smirnov檢驗?D.Anderson-Darling檢驗?E.Jarque-Bera檢驗答案：A、B、C、D、E解析：五種均為常用正態(tài)性檢驗或圖示方法，其中Q-Q圖直觀，Shapiro-Wilk對小樣本功效高，Jarque-Bera基于偏度與峰度。2.5在多元線性回歸中，若出現(xiàn)多重共線性，則可能產(chǎn)生的后果有A.系數(shù)估計標(biāo)準(zhǔn)誤膨脹?B.t檢驗容易不顯著?C.模型R2大幅下降?D.系數(shù)符號反轉(zhuǎn)?E.預(yù)測精度一定下降答案：A、B、D解析：多重共線性使信息矩陣接近奇異，導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)誤增大、t值減小，系數(shù)不穩(wěn)定甚至符號反轉(zhuǎn)；但R2可能依舊很高，預(yù)測精度未必下降，故C、E不選。2.6下列關(guān)于Bootstrap的說法正確的有A.屬于非參數(shù)蒙特卡洛方法?B.可用于構(gòu)造置信區(qū)間?C.要求數(shù)據(jù)必須來自正態(tài)總體?D.重復(fù)采樣次數(shù)B越大，估計越穩(wěn)定?E.可用于偏差修正答案：A、B、D、E解析：Bootstrap通過有放回重抽樣估計分布，不依賴正態(tài)假設(shè)，C錯誤；其余均正確。3.填空題（每題5分，共30分）3.1設(shè)X~B(n=10,p=0.3)，則P(X≥7)=________（保留三位小數(shù)）。答案：0.010解析：P(X≥7)=1?P(X≤6)=1?0.989=0.010（查二項分布累積表或用軟件計算）。3.2若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=2x,0<x<1，則E(X2)=________。答案：2/4=0.5解析：E(X2)=∫?1x2·2xdx=2∫?1x3dx=2·[x?/4]?1=1/2。3.3對某正態(tài)總體N(μ,σ2)抽取n=25的樣本，得x?=102，s=8，則μ的95%置信區(qū)間長度為________（保留兩位小數(shù)）。答案：6.59解析：t_{0.025,24}=2.064，長度=2×2.064×8/√25=2×2.064×1.6=6.59。3.4在單因素方差分析中，組間自由度為3，組內(nèi)自由度為20，則總自由度為________。答案：23解析：總自由度=組間+組內(nèi)=3+20=23。3.5若X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=0.6，σ_X=5，σ_Y=2，則Cov(X,Y)=________。答案：6解析：Cov=ρσ_Xσ_Y=0.6×5×2=6。3.6設(shè)隨機變量T服從自由度為12的t分布，則P(T>2.18)=________（保留三位小數(shù)）。答案：0.025解析：查t分布表，雙側(cè)97.5%分位數(shù)為2.18，故右側(cè)尾部概率0.025。4.計算與證明題（共100分）4.1（15分）某工廠生產(chǎn)螺絲，歷史數(shù)據(jù)表明長度X~N(μ,0.36)。現(xiàn)隨機抽取9只，測得平均長度x?=5.02cm。(1)求μ的99%置信區(qū)間；(2)若要求估計誤差不超過0.1cm，置信水平99%，求所需最小樣本量。答案與解析：(1)σ=0.6，n=9，z_{0.005}=2.576，置信區(qū)間：5.02±2.576×0.6/√9=5.02±0.515→(4.505,5.535)cm。(2)誤差E=z_{α/2}·σ/√n≤0.1，解得n≥(2.576×0.6/0.1)2=239.7→240只。4.2（15分）設(shè)X?,…,X_n獨立同分布于U(0,θ)，令X_{(n)}=max{X?,…,X_n}。(1)求X_{(n)}的密度函數(shù)；(2)證明T=(n+1)X_{(n)}/n是θ的無偏估計；(3)比較T與矩估計θ??=2X?的方差大?。╪≥2）。答案與解析：(1)P(X_{(n)}≤x)=(x/θ)^n,0<x<θ，求導(dǎo)得f_{X_{(n)}}(x)=nx^{n?1}/θ^n。(2)E[X_{(n)}]=∫?^θx·nx^{n?1}/θ^ndx=nθ/(n+1)，故E[T]=(n+1)/n·E[X_{(n)}]=θ，無偏。(3)Var(T)=((n+1)/n)2Var(X_{(n)})，而Var(X_{(n)})=E[X_{(n)}2]?(E[X_{(n)}])2=∫?^θx2·nx^{n?1}/θ^ndx?(nθ/(n+1))2=nθ2/(n+2)?n2θ2/(n+1)2=nθ2/[(n+2)(n+1)2]，故Var(T)=θ2/[n(n+2)]。矩估計θ??=2X?，Var(θ??)=4Var(X?)=4θ2/(12n)=θ2/(3n)。比較：θ2/[n(n+2)]vsθ2/(3n)，當(dāng)n≥2時n+2>3，故Var(T)<Var(θ??)，T更有效。4.3（15分）為比較兩種橡膠配方對輪胎耐磨性影響，隨機抽取各8只輪胎進行路試，得磨損量（mg）如下：配方A：145,142,148,150,154,144,147,151配方B：152,149,155,157,158,153,150,156假設(shè)兩總體獨立且服從正態(tài)分布，方差相等，試在α=0.05下檢驗兩種配方平均磨損量是否顯著差異。答案與解析：計算得x?_A=147.625,s_A2=13.125;x?_B=153.75,s_B2=11.786。合并方差s_p2=[(8?1)(13.125+11.786)]/(8+8?2)=12.455。t=(147.625?153.75)/√[12.455(1/8+1/8)]=?6.125/√3.114=?3.47，df=14。查表得t_{0.025,14}=2.145，|t|>2.145，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩配方磨損量差異顯著。4.4（15分）設(shè)(Y,X)服從二元正態(tài)，已知σ_Y=5,σ_X=2,ρ=0.8。現(xiàn)得樣本n=20，x?=10,?=25，且回歸方程?=β??+β??x已擬合。(1)求β??與β??；(2)求x=12時Y的預(yù)測值及95%預(yù)測區(qū)間；(3)若實際觀測到x=12時y=30，計算其學(xué)生化殘差并判斷是否為異常值（α=0.05）。答案與解析：(1)β??=ρσ_Y/σ_X=0.8×5/2=2;β??=??β??x?=25?2×10=5。(2)?=5+2×12=29。預(yù)測區(qū)間需標(biāo)準(zhǔn)誤：σ?2=σ_Y2(1?ρ2)=52(1?0.64)=9，故σ?=3。預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤=σ?√[1+1/n+(x?x?)2/Σ(x??x?)2]，近似取Σ(x??x?)2≈(n?1)σ_X2=19×4=76，則SE_pred=3√[1+1/20+(12?10)2/76]=3√1.1026≈3.15。t_{0.025,18}=2.101，區(qū)間：29±2.101×3.15→(22.4,35.6)。(3)殘差e=30?29=1，學(xué)生化殘差r=e/SE_pred=1/3.15=0.32，小于臨界值2.101，非異常值。4.5（20分）某電商想分析廣告投入x（萬元）對銷售額y（萬元）影響，收集12個月數(shù)據(jù)，得回歸結(jié)果：?=12.3+2.15x，R2=0.86，殘差標(biāo)準(zhǔn)誤s=4.2，Σ(x??x?)2=120。(1)檢驗H?:β?=0（α=0.05）；(2)求β?的95%置信區(qū)間；(3)若下月計劃投入x=15，求銷售額的95%預(yù)測區(qū)間；(4)已知廣告投入每增加1萬元，運營成本增加0.5萬元，若凈利潤z=y?0.5x?固定成本8萬元，求使期望凈利潤最大的投入水平x*，并計算最大期望凈利潤。答案與解析：(1)t=β??/se(β??)，se(β??)=s/√Σ(x??x?)2=4.2/√120=0.383，t=2.15/0.383=5.61，df=10，t_{0.025,10}=2.228，5.61>2.228，拒絕H?。(2)區(qū)間：2.15±2.228×0.383→(1.30,3.00)。(3)x=15，?=12.3+2.15×15=44.55，SE_pred=s√[1+1/n+(15?x?)2/120]，設(shè)x?≈Σx/12，缺x?值，近似用x?≈10，則(15?10)2/120=0.208，SE_pred=4.2√1.292=4.77，區(qū)間：44.55±2.228×4.77→(33.9,55.2)。(4)E[z]=E[y]?0.5x?8=12.3+2.15x?0.5x?8=4.3+1.65x，為線性增函數(shù)，但需考慮x增加時預(yù)測不確定性上升，實際應(yīng)引入二次懲罰或預(yù)算約束。若僅考慮期望，則x越大越好，但題目未給上限，故理論上無有限x；若考慮預(yù)測區(qū)間下限，可令下限≥0，解不等式，此處略。實際決策需結(jié)合邊際收益與風(fēng)險，給出x=15為當(dāng)前計劃，對應(yīng)E[z]=4.3+1.65×15=29.05萬元。4.6（20分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估計θ?_M；(2)求θ的最大似然估計θ?_{MLE}；(3)計算θ?_{MLE}的Fisher信息量I(θ)；(4)證明θ?_{MLE}為有效估計，并求其Cramér-Rao下界；(5)現(xiàn)得樣本：0.2,0.4,0.5,0.7,0.8，計算θ?_{MLE}與θ?_M，并比較效率。答案與解析：(1)E[X]=∫?1xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)，令樣本均值x?=θ/(θ+1)，解得θ?_M=x?/(1?x?)。(2)似然函數(shù)L=θ^nΠx?^{θ?1}，lnL=nlnθ+(θ?1)Σlnx?，令導(dǎo)數(shù)為0得n/θ+Σlnx?=0，θ?_{MLE}=?n/Σlnx?。(3)對數(shù)似然二階導(dǎo)：?2lnL/?θ2=?n/θ2，故I(θ)=?E[?2lnL/?θ2]=n/θ2。(4)Cramér-Rao下界=1/I(θ)=θ2/n。Var(θ?_{MLE})≈θ2/n（漸近），故達到下界，為有效估計。(5)樣本x?=0.52，Σlnx?=ln0.2+…+ln0.8=?2.9957，n=5，θ?_M=0.52/(1?0.52)=1.083，θ?_{MLE}=?5/(?2.9957)=1.669。比較：θ?_{MLE}漸近方差θ2/n≈1.6692/5=0.557，θ?_M為矩估計，其方差需Delta方法：Var(θ?_M)≈[1/(1?μ)2]2Var(x?)=[1/(1?μ)?]·σ2/n，其中σ2=Var(X)=θ/[(θ+1)2(θ+2)]，代入θ=1.669,μ=0.625，算得Var(θ?_M)≈0.89>0.557，故MLE更有效。5.綜合應(yīng)用題（共100分）5.1（30分）某高校欲評估在線教學(xué)平臺對學(xué)生成績影響，隨機抽取100名學(xué)生，隨機分為兩組：傳統(tǒng)組50人，在線組50人。期末成績?nèi)缦拢ㄒ褏R總）：傳統(tǒng)組：x??=72.4,s?=8.2；在線組：x??=75.1,s?=7.5。(1)檢驗兩組方差是否相等（α=0.1）；(2)在適當(dāng)假設(shè)下檢驗在線教學(xué)是否顯著提高平均成績（α=0.05）；(3)計算在線組平均成績較傳統(tǒng)組提升的95%置信區(qū)間；(4)若定義“顯著提升”為至少提升3分，試在α=0.05下檢驗該假設(shè)；(5)已知學(xué)校想推廣在線教學(xué)，但僅接受錯誤推廣風(fēng)險不超過5%，請結(jié)合檢驗結(jié)果給出統(tǒng)計建議。答案與解析：(1)F檢驗：F=s?2/s?2=8.22/7.52=1.195，df?=df?=49，雙側(cè)臨界值F_{0.05,49,49}≈1.76，1.195<1.76，不拒絕方差齊性。(2)合并方差s_p2=[(49×8.22+49×7.52)/98]=61.645，t=(75.1?72.4)/√[61.645(1/50+1/50)]=2.7/√2.4658=1.72，df=98，t_{0.05,98}=1.66，1.72>1.66，拒絕H?，認(rèn)為在線教學(xué)顯著提高成績。(3)差值置信區(qū)間：2.7±1.984×√2.4658→2.7±3.11→(?0.41,5.81)分。(4)單側(cè)檢驗H?:μ??μ?≤3，H?:>3，t=(2.7?3)/√2.4658=?0.19，t_{0.05,98}=1.66，?0.19<1.66，不拒絕，無充分證據(jù)認(rèn)為提升超過3分。(5)盡管(2)顯示顯著提升，但(4)表明提升幅度未必達3分，且區(qū)間含負(fù)值，建議擴大樣本量進一步驗證，或結(jié)合成本效益分析再決策。5.2（35分）某連鎖咖啡店收集每日溫度x（℃）與熱咖啡銷量y（杯）數(shù)據(jù)30天，得部分結(jié)果：Σx=840,Σy=2700,Σx2=25128,Σy2=256500,Σxy=73800。(1)建立線性回歸模型并求回歸方程；(2)檢驗溫度對銷量線性關(guān)系是否顯著（α=0.05）；(3)計算溫度每升高1℃，銷量平均變化多少杯的95%置信區(qū)間；(4)預(yù)測溫度為5℃時銷量，并給出95%預(yù)測區(qū)間；(5)若咖啡店每日固定成本800元，每杯咖啡毛利4元，求使期望利潤最大的溫度區(qū)間，并計算該區(qū)間內(nèi)的預(yù)期日利潤。答案與解析：(1)x?=28,?=90，S_xx=25128?8402/30=25128?23520=1608，S_xy=73800?840×2700/30=73800?75600=?1800，β??=?1800/1608=?1.119，β??=90?(?1.119)×28=121.3，方程：?=121.3?1.119x。(2)SSE=S_yy?β??S_xy=(256500?27002/30)?(?1.119)(?1800)=13500?2014.2=11485.8，s2=11485.8/28=410.2，s=20.25，se(β??)=s/√S_xx=20.25/√1608=0.505，t=?1.119/0.505=?2.22，|t|>t_{0.025,28}=2.048，顯著。(3)區(qū)間：?1.119±2.048×0.505→(?2.15,?0.09)杯/℃。(4)x=5，?=121.3?1.119×5=115.7，SE_pred=20.25√[1+1/30+(5?28)2/1608]=20.25√1.46=24.5，區(qū)間：115.7±2.048×24.5→(65.5,165.9)杯。(5)期望銷量隨溫度降低而增加，故溫度越低利潤越高，但溫度低于0℃時模型外推不可靠；實際運營需考慮最低溫度限制，若取x∈[0,10]，則銷量區(qū)間[111,121]，預(yù)期日銷量116杯，日利潤=116×4?800=?336元，仍虧損；需提高單價或降低成本，或僅在高需求時段營業(yè)。5.3（35分）某醫(yī)學(xué)研究比較三種治療方案對血壓降低效果，招募45名患者隨機均分三組，治療4周后收縮壓降低值（mmHg）如下：A組：10,8,12