統(tǒng)計(jì)學(xué)原理測(cè)試題及答案1.（單選）某高校欲了解本科生每日手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)，隨機(jī)抽取400人，測(cè)得平均5.8小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差1.2小時(shí)。若將樣本量擴(kuò)大到1600人，則新的標(biāo)準(zhǔn)誤約為A.0.015小時(shí)?B.0.03小時(shí)?C.0.06小時(shí)?D.0.12小時(shí)答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)誤公式σ/√n，原標(biāo)準(zhǔn)誤=1.2/√400=0.06小時(shí)；樣本量擴(kuò)大4倍，標(biāo)準(zhǔn)誤縮小√4=2倍，0.06/2=0.03小時(shí)。2.（單選）設(shè)X~N(μ,σ2)，若將每個(gè)觀測(cè)值先減5再除以2，則新變量Y的方差為A.σ2/2?B.σ2/4?C.(σ-5)2/2?D.(σ-5)2/4答案：B解析：線性變換Y=(X-5)/2，Var(Y)=Var(X)/22=σ2/4。3.（單選）在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，樣本均值作為總體均值的估計(jì)量，其有效性是指A.無(wú)偏性?B.一致性?C.方差最小?D.漸近正態(tài)答案：C解析：有效性（efficiency）指在無(wú)偏估計(jì)量中方差最小。4.（單選）某檢驗(yàn)的p值為0.027，若顯著性水平α=0.05，則A.拒絕原假設(shè)，犯第一類錯(cuò)誤概率為0.027B.拒絕原假設(shè)，犯第一類錯(cuò)誤概率為0.05C.不拒絕原假設(shè)，犯第二類錯(cuò)誤概率為0.027D.不拒絕原假設(shè)，犯第二類錯(cuò)誤概率為0.05答案：B解析：p<α?xí)r拒絕H?，第一類錯(cuò)誤概率由α控制，與p值大小無(wú)關(guān)。5.（單選）對(duì)同一組數(shù)據(jù)分別擬合簡(jiǎn)單線性回歸與二次回歸，若二次項(xiàng)系數(shù)不顯著，則A.二次回歸的R2一定低于線性回歸B.線性回歸的AdjustedR2一定更高C.二次回歸的殘差平方和一定更大D.線性回歸的AIC一定更小答案：B解析：不顯著的二次項(xiàng)只會(huì)增加模型復(fù)雜度，AdjustedR2懲罰額外參數(shù)，故線性模型AdjustedR2更高。6.（單選）設(shè)隨機(jī)變量X的期望為3，方差為2，則E[(X-1)2]等于A.2?B.4?C.6?D.8答案：C解析：E[(X-1)2]=E[X2-2X+1]=E[X2]-2E[X]+1=(Var(X)+E2[X])-6+1=(2+9)-6+1=6。7.（單選）在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中，若組間均方MSB=12，組內(nèi)均方MSE=4，則F統(tǒng)計(jì)量為A.3?B.4?C.8?D.48答案：A解析：F=MSB/MSE=12/4=3。8.（單選）若X與Y的Pearson相關(guān)系數(shù)為-0.85，則下列散點(diǎn)圖最可能呈現(xiàn)A.窄橢圓，長(zhǎng)軸從左上到右下B.窄橢圓，長(zhǎng)軸從左下到右上C.寬橢圓，長(zhǎng)軸從左上到右下D.圓形分布答案：A解析：負(fù)相關(guān)且絕對(duì)值大，點(diǎn)為窄橢圓，斜率為負(fù)。9.（單選）對(duì)二項(xiàng)分布B(n,p)使用正態(tài)近似時(shí)，需滿足A.np>5且n(1-p)>5?B.np>30且n(1-p)>30?C.p≈0.5?D.n>100答案：A解析：經(jīng)驗(yàn)法則np與n(1-p)均大于5即可近似。10.（單選）在貝葉斯框架中，若先驗(yàn)為Beta(2,2)，觀測(cè)到9次成功6次失敗，則后驗(yàn)分布為A.Beta(11,8)?B.Beta(9,6)?C.Beta(2,2)?D.Beta(18,12)答案：A解析：Beta先驗(yàn)共軛，后驗(yàn)參數(shù)=先驗(yàn)+數(shù)據(jù)，Beta(2+9,2+6)=Beta(11,8)。11.（單選）某時(shí)間序列模型為X_t=0.8X_{t-1}+ε_(tái)t，則其平穩(wěn)條件是A.|0.8|<1?B.|0.8|>1?C.0.8=1?D.ε_(tái)t正態(tài)答案：A解析：AR(1)平穩(wěn)要求特征根絕對(duì)值小于1。12.（單選）對(duì)同一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣，樣本中位數(shù)的抽樣分布A.近似正態(tài)，均值等于總體中位數(shù)B.近似t分布，自由度為n-1C.精確正態(tài)，方差等于總體方差D.有偏，但方差小于均值答案：A解析：大樣本下樣本中位數(shù)漸近正態(tài)，中心為總體中位數(shù)。13.（單選）若邏輯回歸的系數(shù)β?=0.4，則自變量每增加1單位，優(yōu)勢(shì)比OR為A.0.4?B.1.4?C.e^0.4≈1.49?D.ln0.4≈-0.92答案：C解析：OR=e^{β?}。14.（單選）在聚類分析中，若使用Ward法，合并兩類的標(biāo)準(zhǔn)是A.最小化組內(nèi)平方和增量B.最大化組間平方和C.最小化歐氏距離D.最大化相關(guān)系數(shù)答案：A解析：Ward法追求合并后組內(nèi)平方和增加最小。15.（單選）設(shè)X~Poisson(λ)，則Var(X)/E(X)等于A.λ?B.1?C.0?D.λ2答案：B解析：泊松分布方差等于期望，故比值為1。16.（單選）對(duì)正態(tài)總體方差進(jìn)行檢驗(yàn)，應(yīng)采用A.z檢驗(yàn)?B.t檢驗(yàn)?C.χ2檢驗(yàn)?D.F檢驗(yàn)答案：C解析：?jiǎn)慰傮w方差用χ2檢驗(yàn)。17.（單選）若隨機(jī)變量X的偏度為0，峰度為3，則其分布最可能是A.均勻?B.正態(tài)?C.指數(shù)?D.二項(xiàng)答案：B解析：正態(tài)偏度0峰度3。18.（單選）在多重共線性診斷中，若某自變量的VIF=8.5，則A.無(wú)共線性?B.輕度共線性?C.中度共線性?D.嚴(yán)重共線性答案：C解析：VIF>10為嚴(yán)重，5<VIF<10為中度。19.（單選）若某檢驗(yàn)功效為0.8，則A.犯第一類錯(cuò)誤概率0.2?B.犯第二類錯(cuò)誤概率0.2?C.顯著性水平0.8?D.p值0.8答案：B解析：功效=1-β，β為第二類錯(cuò)誤概率，故β=0.2。20.（單選）對(duì)同一組數(shù)據(jù)使用K-means與層次聚類，若K-means的Silhouette系數(shù)更高，則A.K-means聚類更緊湊且分離更好B.層次聚類一定錯(cuò)誤C.Silhouette系數(shù)只適用于K-meansD.必須選擇K-means結(jié)果答案：A解析：Silhouette高表示類內(nèi)緊、類間遠(yuǎn)，與算法無(wú)關(guān)，但題干給出比較。21.（多選）下列哪些量可用于描述離散程度A.四分位距?B.變異系數(shù)?C.偏度?D.平均絕對(duì)離差答案：ABD解析：偏度描述對(duì)稱性，非離散。22.（多選）關(guān)于置信區(qū)間，正確的有A.95%置信區(qū)間指95%的隨機(jī)區(qū)間包含真值B.區(qū)間寬度與樣本量平方根成反比C.增加置信水平會(huì)縮小區(qū)間D.區(qū)間不包含0即顯著答案：AB解析：C錯(cuò)誤，置信水平增加區(qū)間變寬；D錯(cuò)誤，需看檢驗(yàn)方式。23.（多選）下列哪些方法可用于檢驗(yàn)正態(tài)性A.Shapiro-Wilk?B.Kolmogorov-Smirnov?C.Q-Q圖?D.方差齊性Levene檢驗(yàn)答案：ABC解析：Levene檢驗(yàn)方差齊性。24.（多選）在簡(jiǎn)單線性回歸中，若殘差圖呈現(xiàn)漏斗形，則A.存在異方差?B.可嘗試加權(quán)最小二乘?C.回歸系數(shù)估計(jì)有偏?D.R2不再可信答案：AB解析：異方差不導(dǎo)致系數(shù)有偏，但標(biāo)準(zhǔn)誤錯(cuò)；R2仍計(jì)算，但推斷失真。25.（多選）關(guān)于Bootstrap，正確的有A.可用于構(gòu)建置信區(qū)間?B.要求數(shù)據(jù)正態(tài)?C.可估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤?D.有放回抽樣答案：ACD解析：Bootstrap非參數(shù)，不依賴正態(tài)。26.（多選）下列哪些情況適合使用非參數(shù)檢驗(yàn)A.總體分布未知?B.Ordinal數(shù)據(jù)?C.方差嚴(yán)重不齊?D.樣本量極大答案：ABC解析：大樣本非參數(shù)也可用，但非“適合”唯一條件。27.（多選）在貝葉斯因子中，若BF??=15，則A.數(shù)據(jù)支持H?強(qiáng)于H??B.后驗(yàn)概率是prior的15倍?C.可認(rèn)為證據(jù)“強(qiáng)”?D.H?一定正確答案：ABC解析：BF為相對(duì)證據(jù)，不保證絕對(duì)正確。28.（多選）若時(shí)間序列的ACF在滯后1處顯著，其余快速落入置信帶，則可能模型A.AR(1)?B.MA(1)?C.ARMA(1,1)?D.白噪聲答案：B解析：僅MA(1)的ACF在滯后1截尾。29.（多選）下列哪些技術(shù)可用于降維A.PCA?B.t-SNE?C.嶺回歸?D.自編碼器答案：ABD解析：嶺回歸用于正則化，非降維。30.（多選）關(guān)于交叉驗(yàn)證，正確的有A.可減小過(guò)擬合風(fēng)險(xiǎn)?B.k折越大，方差越小?C.留一法計(jì)算量大?D.重復(fù)交叉驗(yàn)證可進(jìn)一步穩(wěn)定評(píng)估答案：ACD解析：k折越大，方差反而增大，偏差減小。31.（填空）若X~N(10,4)，則P(X>12)=______。（用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布Φ表示）答案：1-Φ(1)解析：Z=(12-10)/√4=1，P(X>12)=P(Z>1)=1-Φ(1)。32.（填空）某實(shí)驗(yàn)采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，共5個(gè)處理，4個(gè)區(qū)組，則誤差自由度為______。答案：12解析：總自由度=5×4-1=19，處理自由度=5-1=4，區(qū)組自由度=4-1=3，誤差df=19-4-3=12。33.（填空）若樣本量n=100，樣本比例p?=0.18，則99%置信區(qū)間的半寬為______。（保留三位小數(shù)）答案：0.099解析：z?.995≈2.576，SE=√[0.18×0.82/100]=0.0384，半寬=2.576×0.0384≈0.099。34.（填空）設(shè)X的pdf為f(x)=2x,0<x<1，則E[1/X]=______。答案：2解析：E[1/X]=∫?1(1/x)·2xdx=∫?12dx=2。35.（填空）在簡(jiǎn)單線性回歸中，若Sxx=50，Sxy=30，則回歸系數(shù)b?=______。答案：0.6解析：b?=Sxy/Sxx=30/50=0.6。36.（填空）若χ2統(tǒng)計(jì)量為8.3，自由度為3，則右側(cè)p值所在區(qū)間為______。答案：(0.025,0.05)解析：查表χ2?,0.025=9.348，χ2?,0.05=7.815，8.3介于之間。37.（填空）某股票日收益率的GARCH(1,1)模型為σ2_t=0.02+0.08r2_{t-1}+0.85σ2_{t-1}，則長(zhǎng)期無(wú)條件方差為______。答案：0.4解析：無(wú)條件方差=α?/(1-α?-β?)=0.02/(1-0.08-0.85)=0.02/0.07≈0.2857，保留一位小數(shù)0.3，精確值0.2857，若要求百分?jǐn)?shù)則28.57%，題空填0.286。38.（填空）若隨機(jī)變量X的mgf為M(t)=exp(2t+3t2)，則Var(X)=______。答案：6解析：正態(tài)分布mgf形式，μ=2，σ2=6。39.（填空）對(duì)泊松分布進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，合并后共8個(gè)單元，估計(jì)1個(gè)參數(shù)，則χ2自由度為______。答案：6解析：df=8-1-1=6。40.（填空）若F檢驗(yàn)的臨界值為2.45，實(shí)測(cè)F=3.1，則決策結(jié)果為______。答案：拒絕原假設(shè)解析：3.1>2.45。41.（計(jì)算）設(shè)總體X~U(0,θ)，抽取樣本X?,…,X?，令Y?=max(X?,…,X?)。(1)求Y?的pdf；(2)證明Y?是θ的相合估計(jì)；(3)構(gòu)造一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。答案：(1)累積分布F_{Y?}(y)=(y/θ)?，0<y<θ，pdff_{Y?}(y)=ny^{n-1}/θ?。(2)對(duì)任意ε>0，P(|Y?-θ|>ε)=P(Y?<θ-ε)=((θ-ε)/θ)?→0(n→∞)，故相合。(3)令T=(n+1)Y?/n，則E[T]=(n+1)/n·E[Y?]=(n+1)/n·nθ/(n+1)=θ，無(wú)偏。42.（計(jì)算）某電商欲評(píng)估新版頁(yè)面是否提升轉(zhuǎn)化率。隨機(jī)分配1000用戶，舊版轉(zhuǎn)化40人，新版轉(zhuǎn)化55人。(1)構(gòu)建兩組轉(zhuǎn)化率差的95%置信區(qū)間；(2)在α=0.05下檢驗(yàn)H?:p?=p?；(3)計(jì)算檢驗(yàn)功效，假設(shè)真實(shí)差為0.03。答案：(1)p??=0.04，p??=0.055，差d=0.015，SE=√[0.04×0.96/1000+0.055×0.945/1000]=0.0093，95%CI:0.015±1.96×0.0093→(-0.003,0.033)。(2)z=0.015/0.0093≈1.61<1.96，不拒絕H?。(3)合并p?=95/2000=0.0475，SE?=√[0.0475×0.9525×(1/1000+1/1000)]=0.0095，臨界差Δ=1.96×0.0095=0.0186，真實(shí)差δ=0.03，功效=Φ[(0.03-0.0186)/0.0095]=Φ(1.2)≈0.885。43.（計(jì)算）對(duì)某城市房?jī)r(jià)建立多元回歸，樣本n=120，得到SSR=46.8，SSE=23.4，預(yù)測(cè)變量k=4。(1)計(jì)算R2與AdjustedR2；(2)檢驗(yàn)整體顯著性；(3)若某變量X?的VIF=9.2，標(biāo)準(zhǔn)誤為0.8，求其容忍度。答案：(1)SST=SSR+SSE=70.2，R2=46.8/70.2≈0.667，AdjR2=1-(SSE/(n-k-1))/(SST/(n-1))=1-(23.4/115)/(70.2/119)=0.643。(2)F=(SSR/k)/(SSE/(n-k-1))=(46.8/4)/(23.4/115)=57.5，F(xiàn)?,115,0.95≈2.45，57.5>2.45，顯著。(3)容忍度=1/VIF=1/9.2≈0.109。44.（計(jì)算）設(shè)X?,…,X?來(lái)自Exp(λ)，pdff(x)=λe^{-λx}，x>0。(1)求λ的矩估計(jì)；(2)求最大似然估計(jì)；(3)比較二者均方誤差。答案：(1)E[X]=1/λ，令樣本均值X?=1/λ?，得λ?=1/X?。(2)似然L=λ?exp(-λΣX?)，lnL=nlnλ-λΣX?，導(dǎo)數(shù)0→λ?=1/X?，與矩估計(jì)相同。(3)對(duì)指數(shù)分布，1/X?是UMVUE，MSE=Var(λ?)=λ2/(n-2)（n>2），矩估計(jì)與MLE一致，故MSE相同。45.（計(jì)算）某工廠生產(chǎn)螺絲，歷史標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.05mm?，F(xiàn)抽取n=9，測(cè)得x?=2.48mm，假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=2.5vsH?:μ≠2.5，α=0.05。(1)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；(2)求p值；(3)若真實(shí)μ=2.47，求第二類錯(cuò)誤概率。答案：(1)z=(2.48-2.5)/(0.05/√9)=-1.2。(2)p=2×Φ(-1.2)=2×0.115=0.23。(3)臨界值±1.96，對(duì)應(yīng)x?區(qū)間2.5±1.96×0.05/3→(2.467,2.533)，β=P(2.467<x?<2.533|μ=2.47)=Φ[(2.533-2.47)/(0.05/3)]-Φ[(2.467-2.47)/(0.05/3)]=Φ(3.78)-Φ(-0.18)=0.9999-0.4285≈0.571。46.（綜合）某醫(yī)療研究關(guān)注鍛煉對(duì)血壓的影響，招募90名志愿者，隨機(jī)分為三組：高強(qiáng)度、低強(qiáng)度、對(duì)照，各30人。干預(yù)12周后測(cè)量收縮壓下降值（mmHg），數(shù)據(jù)如下：高強(qiáng)度：均值-12.4，標(biāo)準(zhǔn)差4.8低強(qiáng)度：均值-8.2，標(biāo)準(zhǔn)差5.1對(duì)照：均值-2.1，標(biāo)準(zhǔn)差4.5（負(fù)號(hào)表示下降）(1)給出合適的統(tǒng)計(jì)模型；(2)檢驗(yàn)三組差異是否顯著；(3)若顯著，進(jìn)行多重比較并控制FWER=0.05；(4)計(jì)算高強(qiáng)度與對(duì)照的效應(yīng)量(Cohen’sd)；(5)討論可能的混雜及設(shè)計(jì)改進(jìn)。答案：(1)單因素方差分析模型：Y_ij=μ+α_i+ε_(tái)ij，ε_(tái)ij~N(0,σ2)，i=1,2,3，j=1,…,30。(2)組間SSB=30[(-12.4+7.57)2+(-8.2+7.57)2+(-2.1+7.57)2]=30[23.5+0.4+30.0]=1617，組內(nèi)SSW=29×(4.82+5.12+4.52)=29×(23.04+26.01+20.25)=2037.9，F(xiàn)=(1617/2)/(2037.9/87)=34.5，F(xiàn)?,87,0.95≈3.1，34.5>3.1，p<0.001，顯著。(3)采用TukeyHSD，q?.05,3,87≈3.37，標(biāo)準(zhǔn)誤=√[2037.9/87×(1/30+1/30)]=1.18，臨界差異=3.37×1.18=3.98，高強(qiáng)度-低強(qiáng)度=4.2>3.98，高強(qiáng)度-對(duì)照=10.3>3.98，低強(qiáng)度-對(duì)照=6.1>3.98，皆顯著。(4)Cohen’sd=(-12.4-(-2.1))/√[(4.82+4.52)/2]=10.3/4.65≈2.21，大效應(yīng)。(5)混雜包括基線血壓、藥物使用、飲食；可采用隨機(jī)區(qū)組（按基線分層）、雙盲、記錄協(xié)變量（ANCOVA）提高精度。47.（綜合）某金融機(jī)構(gòu)建立信用卡違約預(yù)測(cè)模型，樣本15000，其中違約1500。采用邏輯回歸，變量包括年齡、收入、歷史逾期次數(shù)、額度使用率、信用卡數(shù)量。經(jīng)逐步回歸保留5變量，結(jié)果如下：截距：-2.8年齡：-0.04（SE=0.01）收入：-0.0002（SE=0.00005）逾期次數(shù)：0.35（SE=0.02）額度使用率：1.2（SE=0.05）卡數(shù)量：0.08（SE=0.03）(1)解釋額度使用率系數(shù)；(2)計(jì)算逾期次數(shù)的OR及95%CI；(3)評(píng)估模型擬合優(yōu)度；(4)討論類別不平衡處理；(5)若采用隨機(jī)森林，如何評(píng)估變量重要性。答案：(1)額度使用率每增加1單位，違約對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)增加1.2，即OR=e^1.2≈3.32，使用率翻倍風(fēng)險(xiǎn)增三倍。(2)OR=e^0.35≈1.42，95%CI:0.35±1.96×0.02→(0.311,0.389)，ORCI:(e^0.311,e^0.389)≈(1.36,1.48)。(3)采用Hosmer-Lemeshow檢驗(yàn)，將數(shù)據(jù)按預(yù)測(cè)概率分10組，計(jì)算χ2，若p>0.05則擬合可接受；另可看AUC，若>0.8則區(qū)分度好。(4)不平衡可導(dǎo)致模型偏向多數(shù)類，可采用欠采樣、過(guò)采樣（SMOTE）、調(diào)整類權(quán)重、使用F1或AUC評(píng)價(jià)。(5)隨機(jī)森林可通過(guò)平均降低Gini指數(shù)或平均降低準(zhǔn)確率度量重要性；對(duì)每棵樹計(jì)算每個(gè)變量分裂帶來(lái)的不純度減少，再平均，值越大越重要。48.（綜合）某市交通部門欲評(píng)估限行政策對(duì)PM2.5的影響，收集政策前后各90天數(shù)據(jù)，采用差分-in-差分模型：Y_it=α+β?Post_t+β?Treat_i+δ(Post_t×Treat_i)+γX_it+ε_(tái)it其中Treat=1表示該市，=0表示鄰市對(duì)照；Post=1表示政策后。估計(jì)得δ=-8.5，SE=2.1，R2=0.68。(1)解釋?duì)模?2)構(gòu)建δ的95%CI；(3)檢驗(yàn)政策效應(yīng)是否顯著；(4)討論平行趨勢(shì)假設(shè)及檢驗(yàn)方法；(5)若存在季節(jié)性，如何改進(jìn)。答案：(1)δ=-8.5表示政策使該市PM2.5平均比對(duì)照市多下降8.5μg/m3。(2)CI:-8.5±1.96×2.1→(-12.6,-4.4)。(3)t=-8.5/2.1≈-4.05，|t|>1.96，p<0.001，顯著。(4)平行趨勢(shì)假設(shè)指若無(wú)政策，處理組與對(duì)照組時(shí)間趨勢(shì)相同；可通過(guò)政策前交互項(xiàng)Treat×Month檢驗(yàn)，若系數(shù)不顯著則支持平行趨勢(shì)；或畫事前趨勢(shì)圖。(5)加入月份固定效應(yīng)或季節(jié)虛擬變量，或使用季節(jié)性差分，亦可采用Tramo-Seats調(diào)整。49.（綜合）某電商平臺(tái)研究用戶點(diǎn)擊流，記錄每日PV與UV，時(shí)間跨度兩年（730天）。建立VAR(2)模型：PV_t=a??PV_{t-1}+a??UV_{t-1}+b??PV_{t-2}+b??UV_{t-2}+c?+ε?tUV_t=a??