2026年線性代數(shù)矩陣逆的公式應(yīng)用考核試題及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026年線性代數(shù)矩陣逆的公式應(yīng)用考核試題考核對象：高等院校理工科專業(yè)學(xué)生題型分值分布：-單選題（10題，每題2分，共20分）-填空題（10題，每題2分，共20分）-判斷題（10題，每題2分，共20分）-簡答題（3題，每題4分，共12分）-應(yīng)用題（2題，每題9分，共18分）總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.若矩陣A為3階方陣，且|A|=2，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于（）A.2B.4C.8D.162.下列哪個矩陣是可逆的？A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)3.若矩陣A可逆，且B為與A同階的矩陣，則矩陣AB的逆矩陣為（）A.A^-1B^-1B.B^-1A^-1C.AB^-1D.A^-1B4.矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-1.5&0.5\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-1&2\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-1.5&0.5\end{pmatrix}\)5.若矩陣A的秩為2，且A可逆，則矩陣A的伴隨矩陣A的秩為（）A.0B.1C.2D.36.若矩陣A和B都可逆，則矩陣\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的逆矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}A^-1&0\\0&B^-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&A\\B&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&A^-1\\B^-1&0\end{pmatrix}\)7.若矩陣A的逆矩陣為A^-1=\(\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\)，則矩陣A的行列式|A|等于（）A.1B.-1C.2D.-28.若矩陣A和B的逆矩陣分別為A^-1和B^-1，則矩陣AB的逆矩陣為（）A.A^-1B^-1B.B^-1A^-1C.AB^-1D.A^-1B9.若矩陣A為n階方陣，且|A|=5，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于（）A.5B.5^(n-1)C.5^nD.5^(n+1)10.若矩陣A為2階方陣，且A^-1=\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則矩陣A的行列式|A|等于（）A.a+dB.ad-bcC.a-bD.c+d二、填空題（每題2分，共20分）1.若矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則A的伴隨矩陣A為__________。2.若矩陣A可逆，且A^-1=\(\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\)，則|A|__________。3.若矩陣A=\(\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\)，則A的逆矩陣A^-1為__________。4.若矩陣A的秩為3，且A可逆，則矩陣A的伴隨矩陣A的秩為__________。5.若矩陣A和B都可逆，則矩陣\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的行列式|AB|等于__________。6.若矩陣A的逆矩陣為A^-1=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則矩陣A的行列式|A|等于__________。7.若矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則A的伴隨矩陣A為__________。8.若矩陣A和B的逆矩陣分別為A^-1和B^-1，則矩陣AB的逆矩陣為__________。9.若矩陣A為3階方陣，且|A|=3，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于__________。10.若矩陣A為2階方陣，且A^-1=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則矩陣A的行列式|A|等于__________。三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣A可逆，則矩陣A的伴隨矩陣A也可逆。（）2.若矩陣A和B的逆矩陣分別為A^-1和B^-1，則矩陣AB的逆矩陣為A^-1B^-1。（）3.若矩陣A的秩為n-1，則矩陣A不可逆。（）4.若矩陣A可逆，則矩陣A的行列式|A|不為0。（）5.若矩陣A和B都可逆，則矩陣\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)也可逆。（）6.若矩陣A的逆矩陣為A^-1，則矩陣A的伴隨矩陣A等于|A|A^-1。（）7.若矩陣A為2階方陣，且A^-1=\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則|A|=ad-bc。（）8.若矩陣A和B的逆矩陣分別為A^-1和B^-1，則矩陣BA的逆矩陣為B^-1A^-1。（）9.若矩陣A為n階方陣，且|A|=0，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|也為0。（）10.若矩陣A可逆，則矩陣A的伴隨矩陣A也可逆，且|A|=|A|^(n-1)。（）四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述矩陣A可逆的充要條件。2.簡述矩陣A的伴隨矩陣A的性質(zhì)。3.簡述矩陣\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的逆矩陣的計算方法。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.已知矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求矩陣A的逆矩陣A^-1，并驗證結(jié)果。2.已知矩陣A=\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，求矩陣A的伴隨矩陣A，并計算|A|。標準答案及解析---一、單選題1.B解析：伴隨矩陣A的行列式|A|=|A|^(n-1)=2^(3-1)=4。2.B解析：矩陣可逆的條件是行列式不為0，B的行列式為9≠0，其他矩陣行列式為0或相等。3.B解析：矩陣乘法逆矩陣的性質(zhì)，(AB)^-1=B^-1A^-1。4.A解析：逆矩陣公式A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)adj(A)，計算得A^-1=\(\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)。5.C解析：伴隨矩陣A的秩為n-1，n=2時秩為1。6.B解析：分塊對角矩陣的逆矩陣為對角分塊逆矩陣，即\(\begin{pmatrix}A^-1&0\\0&B^-1\end{pmatrix}\)。7.A解析：|A|=|A^-1|=1。8.A解析：矩陣乘法逆矩陣的性質(zhì)，(AB)^-1=B^-1A^-1。9.B解析：伴隨矩陣A的行列式|A|=|A|^(n-1)=5^(3-1)=5^2=25。10.B解析：|A|=ad-bc，由A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)adj(A)得|A|=ad-bc。---二、填空題1.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)解析：伴隨矩陣A為代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置，即\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。2.1解析：|A|=|A^-1|=1。3.\(\begin{pmatrix}0.5&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)解析：對角矩陣逆矩陣為對角元素倒數(shù)，即\(\begin{pmatrix}0.5&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)。4.2解析：伴隨矩陣A的秩為n-1，n=3時秩為2。5.|A||B|解析：分塊對角矩陣行列式為對角塊行列式乘積。6.-2解析：|A|=|A^-1|=1，由|A|=ad-bc=-2。7.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)解析：伴隨矩陣A為代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置，即\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。8.A^-1B^-1解析：矩陣乘法逆矩陣的性質(zhì)，(AB)^-1=B^-1A^-1。9.9解析：伴隨矩陣A的行列式|A|=|A|^(n-1)=3^(3-1)=9。10.-2解析：|A|=|A^-1|=1，由|A|=ad-bc=-2。---三、判斷題1.√解析：可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆。2.√解析：矩陣乘法逆矩陣的性質(zhì)，(AB)^-1=B^-1A^-1。3.×解析：秩為n-1時，矩陣可逆當且僅當行列式不為0。4.√解析：可逆矩陣的行列式不為0。5.√解析：分塊對角矩陣可逆當且僅當對角塊可逆。6.√解析：伴隨矩陣A等于|A|A^-1。7.√解析：|A|=ad-bc，由A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)adj(A)得|A|=ad-bc。8.√解析：矩陣乘法逆矩陣的性質(zhì)，(BA)^-1=A^-1B^-1。9.√解析：伴隨矩陣A的行列式|A|=|A|^(n-1)，|A|=0時|A|=0。10.√解析：伴隨矩陣A的行列式|A|=|A|^(n-1)。---四、簡答題1.矩陣A可逆的充要條件是：-行列式|A|≠0；-A的秩為n（滿秩）；-A的行（列）向量組線性無關(guān)；-A可表示為初等矩陣的乘積。2.矩陣A的伴隨矩陣A的性質(zhì)：-|A|=|A|^(n-1)；-AA=(|A|I)；-A的秩為1或n（n>1時為1）；-A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)A。3.矩陣\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的逆矩陣計算方法：-逆矩陣為\(\begin{pmatrix}A^-1&0\\0&B^-1\end{pmatrix}\)；-需要A和B都可逆。---五、應(yīng)用題1.已知矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&2\\