試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)高2023級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則（

）A．62 B．64 C．79 D．814．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．48 B．72 C．96 D．1925．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．1 C．2 D．46．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．15 D．607．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為1 B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增8．三棱錐的底面為正三角形，側(cè)棱底面，若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知兩組樣本數(shù)據(jù)和，其中是的中位數(shù)，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．極差不相等 B．中位數(shù)相等C．平均數(shù)相等 D．標(biāo)準(zhǔn)差可能相等10．在銳角中，角的對(duì)邊分別是，已知，則（

）A． B．C． D．11．過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A．與一定有兩個(gè)交點(diǎn)B．點(diǎn)在的一條漸近線上C．若，則的離心率為D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量，若，則實(shí)數(shù)．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的值為．14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．乘著文旅融合的東風(fēng)、借著線上推廣的熱潮，某非遺工坊生產(chǎn)的油紙傘銷量逐年增長(zhǎng)．該工坊為了科學(xué)規(guī)劃生產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)了2021-2025年油紙傘的銷量數(shù)據(jù)如下表：年份t/年20212022202320242025年份代碼12345銷量/萬(wàn)把78101114(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該工坊油紙傘的銷量最早在哪一年能超過(guò)20萬(wàn)把：(2)已知該工坊2023年售出的油紙傘中，有6萬(wàn)把通過(guò)線上售出，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從2023年售出的油紙傘中隨機(jī)抽取3把，求其中線上售出數(shù)量的分布列．附：為回歸直線方程，．17．如圖，四棱錐的底面為正方形，平面平面，已知，是棱上的點(diǎn)．(1)若是棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成的角的最大值．18．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，且．證明：（i）在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)；（ii）對(duì)于（i）中的．19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)若的傾斜角為，求；(2)探究直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若線段的中點(diǎn)分別為，求的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】根據(jù)集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)槿?，集合，則，又因?yàn)榧希?故選：B.2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3．A【分析】先應(yīng)用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化得出，再平方化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則.故選：A4．C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，所以.故選：C5．C【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍?，即，所?故選：C6．D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，解得，且展開式的通項(xiàng)為，，令，解得，可得，所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為60.故選：D.7．D【分析】對(duì)于A：根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：利用誘導(dǎo)公式整理可得，進(jìn)而判斷奇偶性；對(duì)于C：根據(jù)對(duì)稱軸與函數(shù)最值之間的關(guān)系分析判斷；對(duì)于D：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)于選項(xiàng)A：的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，不為最值，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，且正弦函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.8．C【分析】設(shè)，可得的外接圓半徑，，根據(jù)直棱柱的外接球半徑公式結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)，則正的外接圓半徑，因?yàn)?，則，則該三棱錐外接球半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該三棱錐外接球表面積的最小值為.故選：C.9．BD【分析】不妨設(shè)，則，即可得新數(shù)據(jù)，結(jié)合極差、中位數(shù)的定義分析判斷AB；舉反例判斷CD.【詳解】不妨設(shè)，則，新數(shù)據(jù)按升序排列可得，對(duì)于選項(xiàng)A：兩組數(shù)據(jù)的極差均為，即極差相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，即中位數(shù)相等，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，顯然，所以平均數(shù)不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，顯然其標(biāo)準(zhǔn)差為0，新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差也為0，兩者相等，故D正確；故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，可判定A正確；由，得到，根據(jù)正弦定理得到，可判定B錯(cuò)誤；由余弦定理和已知條件，化簡(jiǎn)得到，將，代入求得，可判定C正確；化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，可得，所以，即，可得，因?yàn)?，所以或，即或（舍去），所以A正確；對(duì)于B，由，可得，由正弦定理得，因?yàn)椋裕?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由余弦定理得，因?yàn)椋肟傻?，整理得，即，又因?yàn)?，可得，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D，由，可得，則，因?yàn)?，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，令，可得在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋猿闪?，所以D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】對(duì)于B：分析可知，，進(jìn)而分析斜率即可；對(duì)于A：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線定義可得，，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)題意可得，，即可得面積.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B：由題意可知：，，，可得，則直線的斜率，可知直線即為雙曲線的其中一條漸近線，所以點(diǎn)在的一條漸近線上，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)A：若，則直線的斜率，且漸近線的斜率為，可知直線與雙曲線的一條漸近線平行，此時(shí)與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，若，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則，，可得，由勾股定理可得：，即，可得，所以雙曲線的離心率為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，，所以，故D正確.故選：BCD.12．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的數(shù)量積和垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)?，所以，解?故答案為：.13．3【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，，設(shè)，則，，若，則，解得，可得，，所以.故答案為：3.14．【分析】分析可知為奇函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可得函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造，，整理可得與在內(nèi)恰有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性和極值，結(jié)合函數(shù)圖象分析求解.【詳解】由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，可知為奇函?shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，則，可得，令，可得，構(gòu)造，，則與在內(nèi)恰有2個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)趨近0時(shí)，趨近于1；當(dāng)趨近時(shí)，趨近于；作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象可得：，所以的取值范圍為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，得到和，聯(lián)立求得的值，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，可得，即，即，因?yàn)?，所以，代入，可得，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知：，可得，所以.16．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題中公式求出關(guān)于的線性回歸方程，再運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用二項(xiàng)分布的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為；當(dāng)，所以預(yù)測(cè)該工坊油紙傘的銷量最早在年能超過(guò)20萬(wàn)把.（2）該工坊2023年售出的油紙傘中，有6萬(wàn)把通過(guò)線上售出，用頻率估計(jì)概率，所以2023年售出的油紙傘中，通過(guò)線上售出的概率為，由題意可知：，所以，，，，所以其中線上售出數(shù)量的分布列為：17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量公式轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.【詳解】（1）由平面平面，且底面為正方形，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面，因?yàn)?，是中點(diǎn)，由等腰三角形三線合一，得，又，結(jié)合平面，得平面，因?yàn)槠矫妫?，由于，根?jù)線面垂直的判定定理，可得平面；（2）由二面角的大小為，結(jié)合平面，可知，如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，得各點(diǎn)坐標(biāo)：，設(shè)（），則，故的坐標(biāo)為，向量，設(shè)平面的法向量為，由得；由得，令，則，故法向量，直線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，二次函數(shù)（開口向上），其最小值在頂點(diǎn)處取得，最小值為，故的最小值為，代入得的最大值為：，因此，.18．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性，需要對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論；（2）（i）先求出的表達(dá)式，再對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而證明存在唯一的極值點(diǎn)；（ii）根據(jù)（i）中得到的極值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明.【詳解】（1）已知函數(shù)，其定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）已知，定義域，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，而也單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；求導(dǎo)得，設(shè)，，因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，而，，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，，時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，即，時(shí)，即，所以在區(qū)間上存在唯一的極值點(diǎn).（ii）由（i）得，即，則，令，，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，整理得因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即.19．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，結(jié)合拋物線關(guān)系化簡(jiǎn)出直線的方程，由于直線過(guò)，代入得，由的傾斜角得出斜率關(guān)系，得，結(jié)合拋物線定義求弦長(zhǎng)；（2）結(jié)合（1），設(shè)，得出，，，得出直線所過(guò)