2025年大學(xué)數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)）上學(xué)期期末測(cè)試卷

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題4分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處（）A.有定義B.極限存在C.連續(xù)D.以上都不對(duì)2.設(shè)函數(shù)$y=f(u)$，$u=g(x)$都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)$y=f(g(x))$的導(dǎo)數(shù)為（）A.$f^\prime(g(x))$B.$f^\prime(u)g^\prime(x)$C.$f^\prime(g(x))g^\prime(x)$D.$f^\prime(u)$3.已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)f(b)<0$，則在$(a,b)$內(nèi)（）A.至少存在一個(gè)零點(diǎn)B.至多存在一個(gè)零點(diǎn)C.沒(méi)有零點(diǎn)D.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)4.曲線$y=x^3-3x^2+1$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,1)$B.$(1,-1)$C.$(2,-3)$D.$(3,1)$5.設(shè)$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，則$F^\prime(x)$等于（）A.$f(x)$B.$f(x)-f(a)$C.$f(x)+f(a)$D.06.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}$等于（）A.0B.1C.2D.47.函數(shù)$f(x)=\ln(1+x^2)$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.不存在8.設(shè)向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec=(x_2,y_2,z_2)$，則$\vec{a}\cdot\vec$等于（）A.$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$B.$x_1y_2+x_2y_1$C.$x_1z_2+x_2z_1$D.$y_1z_2+y_2z_1$9.已知函數(shù)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，且$f(0)=0$，則$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$等于（）A.$f(0)$B.$f^\prime(0)$C.0D.不存在10.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=-x+1$C.$y=x-1$D.$y=-x-1$二、填空題（總共5題，每題4分）1.函數(shù)$y=\sqrt{x+1}$的定義域是______。2.已知$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\2x,x>0\end{cases}$，則$f(0)=$______。3.若函數(shù)$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，則$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=$______。4.設(shè)函數(shù)$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$F(x)$，則$\intf(x)dx=$______。5.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,1,0)$，則$\vec{a}\times\vec=$______。三、判斷題（總共5題，每題3分，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)1.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)>0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立。（）2.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）3.若$\int_{a}^f(x)dx=0$，則$f(x)$在$[a,b]$上恒為零。（）4.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量。（）5.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)是$y^\prime=\cosx$。（）四、簡(jiǎn)答題（總共3題，每題10分）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-９x+5$的單調(diào)區(qū)間和極值。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。3.已知向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec=(0,1,1)$，求向量$\vec{c}$，使得$\vec{a}+\vec+\vec{c}=\vec{0}$。五、證明題（總共1題，10分）證明：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一點(diǎn)$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=0$。答案：一、選擇題1.D2.C3.A4.B5.A6.B7.A8.A9.B10.A二、填空題1.$[-1,+\infty)$2.13.$f^\prime(a)$4.$F(x)+C$5.$(-3,6,-1)$三、判斷題1.×2.×3.×4.×5.√四、簡(jiǎn)答題1.解：$f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=3$或$x=-1$。當(dāng)$x<-1$時(shí)，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$-1<x<3$時(shí)，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x>3$時(shí)，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。所以極大值為$f(-1)=10$，極小值為$f(3)=-22$。2.解：$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$。3.解：因?yàn)?\vec{a}+\vec+\vec{c}=\vec{0}$，所以$\vec{c}=-\vec{a}-\vec=-(1,1,0)-(0,1,1)=(-1,-2,-1)$。五、證明題證明：由羅爾定理可知，因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a