第一章三角形的證明及其應(yīng)用1三角形內(nèi)角和定理第1課時

三角形內(nèi)角和定理學(xué)習(xí)目標1．通過操作與探究，發(fā)現(xiàn)并理解三角形內(nèi)角和等于180°.2．掌握至少兩種證明三角形內(nèi)角和定理的方法(拼接法與平行線法)．3．能運用定理解決簡單的角度計算問題．4．利用相關(guān)的基本事實和已經(jīng)學(xué)過的定理證明“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等”這個結(jié)論，并掌握全等三角形的性質(zhì)．學(xué)習(xí)目標▲重點探索三角形的內(nèi)角和．▲難點三角形內(nèi)角和定理及“AAS”定理的推導(dǎo)和論證．導(dǎo)入新課問題:在八年級上冊“證明”一章中,給出了八條基本事實,并從其中的幾條基本事實出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論.七年級時,是如何探索三角形三個內(nèi)角的和的?通過撕角拼圖導(dǎo)入新課如圖,如果只把∠A移動到∠1的位置,那么你能說明三角形三個內(nèi)角的和等于180°嗎?根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補能說明三角形三個內(nèi)角的和等于180°.導(dǎo)入新課如果不移動∠A,那么還有什么方法可以達到同樣的效果?導(dǎo)入新課通過撕角拼圖活動,我們得出了三角形三個內(nèi)角的和等于180°的直觀結(jié)論,但尚未進行嚴謹?shù)倪壿嬜C明.今天我們就運用已學(xué)的基本事實、定義和定理來證明三角形內(nèi)角和定理及其應(yīng)用.新知探究環(huán)節(jié)一:證明三角形內(nèi)角和定理問題:我們知道,三角形三個內(nèi)角的和等于180°.你能證明這個結(jié)論嗎?已知:如圖,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.從上面的操作過程中,你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?新知探究已知:如圖,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.證明:如圖,延長BC至點D,過點C作射線CE,使CE∥BA,則∠1=∠A,∠2=∠B.∵點B,C,D在同一條直線上,∴∠1+∠2+∠ACB=180°.∴∠A+∠B+∠ACB=180°.在這里,為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.新知探究三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.對于三角形內(nèi)角和定理,還有其他證明方法嗎?證明:(方法一)如圖,過點A作PQ∥BC.∵PQ∥BC,∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°,∴∠B+∠BAC+∠C=180°.新知探究三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.證明:(方法二)如圖,過點A作AD∥BC.∴∠C=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠B+∠BAD=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補).∴∠B+∠BAC+∠1=180°.∴∠B+∠BAC+∠C=180°.ABC對于三角形內(nèi)角和定理，你還有其他證明方法嗎？與同伴進行交流。123DEF證法三證明：如圖，過點D作DE//

AC交AB于點E，DF//

AB交AC于點F，則∠1=∠C，∠3=∠B，∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°?！唷螦=∠2?！唿cB，D，C在同一條直線上，∴∠1+∠2+∠3=180°。∴∠A+∠B+∠C=180°。除了在三角形頂點或邊上構(gòu)造平角外，還可以在三角形內(nèi)部或外部構(gòu)造平角。思考：除了構(gòu)造平角得到180°外，還有其他方式嗎？兩直線平行，同旁內(nèi)角互補討論：如何構(gòu)造平行線得到同旁內(nèi)角呢？ABCABC根據(jù)給出的輔助線提示，請同學(xué)們課后完成這兩種證明方法。lDEFABCEDABClABCDEFABClABCDEF思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和定理的核心是什么？轉(zhuǎn)化思想添加輔助線（平行線）利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角轉(zhuǎn)化為平角或同旁內(nèi)角新知探究多種方法證明三角形內(nèi)角和定理的核心是什么?為了證明三角形三個內(nèi)角的和等于180°,可將其轉(zhuǎn)化為一個平角或一組互補的同旁內(nèi)角,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中常用的方法.例1如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).BCAD

環(huán)節(jié)二:運用三角形內(nèi)角和定理解決問題

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新知探究環(huán)節(jié)三:嘗試·思考——推導(dǎo)全等三角形定理“AAS”我們學(xué)過的三角形全等的判定定理有哪些?SSS,SAS,ASA,AAS.我們已經(jīng)探索過“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(AAS)”這個結(jié)論,你能用有關(guān)的基本事實和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定理證明它嗎?新知探究已知:如圖,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證:△ABC≌△DEF.分析:①由三角形內(nèi)角和定理,得∠C=∠F;②結(jié)合BC=EF,用“ASA”證明兩個三角形全等.證明：在△ABC和△DEF中,∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°.因為∠A=∠D,∠B=∠E,所以∠C=∠F.又BC=EF,所以△ABC≌△DEF（ASA）.根據(jù)全等三角形的定義,我們可以得到,全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(AAS)

全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.變式練習(xí)

如圖，AB∥CD，E為BD上一點，AB＝ED，連接CE，且∠1＝∠C.(1)求證：△ABD≌△EDC；【方法指導(dǎo)】(1)根據(jù)AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，結(jié)合已知條件，根據(jù)AAS即可證明．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.又∵AB＝ED，∠1＝∠C，∴△ABD≌△EDC(AAS).(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度數(shù)．(2)解：∵△ABD≌△EDC，(2)根據(jù)△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.

B

課堂練習(xí)

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D

A

C

6.

如圖，在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，點D在邊AC

上，AE和BD相交于點O.

（1）若∠2＝42°，求∠AEB的度數(shù)；解：（1）∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B，∴∠AEB＝∠2＝42°.（2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求證：△AEC≌△BED.

6.

如圖，在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，點D在邊AC

上，AE和BD相交于點O.

課堂總結(jié)1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?2