第一章三角形的證明及其應用5角平分線第1課時角平分線的性質和判定素養(yǎng)目標1.復習角平分線的相關知識，探究歸納角平分線的性質和判定定理．2.能夠運用角平分線的性質和判定定理解決問題．3.通過探索角平分線的判定定理的過程，提高綜合運用數(shù)學知識和方法解決問題的能力．教學重難點重點：角平分線的性質與判定的證明及運用．難點：靈活應用角平分線的性質和判定解決問題．導入新課思路一:【生活偵探】問題:警方發(fā)現(xiàn)一個可疑信號源,它到兩條公路的距離始終保持相等.如果你是偵探,你能在地圖上圈出這個信號源所有可能的位置嗎?導入新課思路二:【魔術折紙】請拿出一張彩紙,任意畫一個角,然后把它對折,讓角的兩條邊完全重合.這條折痕就是角平分線.現(xiàn)在,在折痕上任選一點,給它做個“標記”,然后通過這個點分別向兩邊“引垂線”.猜一猜,這兩條垂線段有什么關系?用直尺量一量,驗證一下吧!這兩條垂線段相等.新知探究任務一:操作探究，發(fā)現(xiàn)與證明角平分線的性質問題:角平分線有什么性質呢?猜想:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:PD=PE.要證明PD=PE,可以轉化為證明什么?需證明兩個三角形全等.新知探究已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:PD=PE.證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對應邊相等).定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的性質：應用所具備的條件：①角的平分線；②點在該平分線上；③垂直距離。定理的作用：證明線段相等OABPDE定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。幾何語言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn)，∴PE=PF角平分線的性質：OABPDE如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E.

若

AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝

?.[變式]如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB

于點E，DF⊥AC于點F，S△ABC＝96

cm2，AB＝20

cm，AC

＝12

cm，則DE的長為

?.1

6

cm

跟蹤練習新知探究任務二:逆向思考，探究與證明角平分線的判定角平分線的性質定理:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.問題:你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?嘗試·思考定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。逆命題：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。逆命題它是真命題嗎？角平分線是角內部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點。假命題在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。如何證明？任務二:逆向思考，探究與證明角平分線的判定新知探究已知:如圖,點P為∠AOB內一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.求證:OP平分∠AOB.證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對應角相等).∴OP平分∠AOB.定理在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。角平分線的判定：應用所具備的條件：①位置關系：點在角的內部；②數(shù)量關系：該點到角的兩邊距離相等。定理的作用：判斷點是否在角平分線上OABPDE定理在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。角平分線的判定：OABPDE幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴點P在∠AOB的平分線上例

如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，點D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，求DE的長．ABCDEF

任務三:例題講解解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，ABCDEF∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，

1.

在△ABC中，AB＝BC，兩個完全一樣的三角尺按如圖所示

的方式擺放，較短的直角邊分別在AB，BC上，較長的直角邊

的頂點重合于點P，連接BP并延長，交AC于點D，則下列結

論不一定正確的是（

D

）DA.

BP平分∠ABCB.

AD＝CDC.

BD垂直平分ACD.

AB＝AC跟蹤練習2.

如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF.

求證：AD是△ABC

的角平分線.證明：∵D是邊BC的中點，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD是△ABC的角平分線.新知探究任務四:對比辨析，構建知識體系問題:角平分線的性質定理與判定定理有什么異同?新知探究課堂總結1.我們今天學習了關于角平分線的哪兩個重要定理?2.我們是怎樣發(fā)現(xiàn)并證明這兩個定理的?其中蘊含了什么重要的數(shù)學思想?3.使用這兩個定理的關鍵分別是什么?它們有什么區(qū)別?

BA.8

B.6

C.5

D.4

課堂練習

D

4.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分

∠BAC，交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E.

若DE＝1，則

BC的長為（

A

）A.2＋

B.

＋

C.2＋

D.3A

7.

如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，且DM平分

∠ADC.

（1）求證：AM平分∠DAB；解：（1）證明：如圖，過點M作ME⊥AD于點E.

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.

∵M為BC的中點，∴BM＝MC＝ME.

又∵∠B＝90°，∴AM平分∠DAB.

（2）試說明線段DM與AM有怎樣的位置關系，