第一章三角形的證明及其應(yīng)用2等腰三角形第3課時(shí)

等邊三角形的判定和含30°角的

直角三角形的性質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)1.學(xué)習(xí)并掌握等邊三角形的判定方法，能夠運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題．2.理解并掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問(wèn)題．3.通過(guò)探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)特殊直角三角形的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．重點(diǎn)：等邊三角形的判定．難點(diǎn)：等邊三角形的判定；含30°角的直角三角形的性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用．導(dǎo)入新課問(wèn)題:等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質(zhì)呢?等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每個(gè)角都等于60°.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的判定方法,那如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形呢?一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?這節(jié)課我們就來(lái)探究這些問(wèn)題.新知探究活動(dòng)一:探究等邊三角形的判定定理問(wèn)題:如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形?活動(dòng):小組討論,回顧等邊三角形的定義,并嘗試從“邊”和“角”的角度提出等邊三角形的判定方法的猜想.猜想1,三邊相等的三角形是等邊三角形;猜想2,三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;猜想3,有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.定義新知探究(1)證明:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.已知:如圖,∠A=∠B=∠C.求證:△ABC是等邊三角形.證明:∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.∴△ABC是等邊三角形.定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.新知探究(2)證明:有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,且有一個(gè)角等于60°.求證:△ABC是等邊三角形.新知探究

幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等邊三角形等邊三角形的判定等邊三角形與等腰三角形的判定定理歸納：等腰三角形等邊三角形邊角三條邊都相等的三角形是等邊三角形兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形兩條邊相等的三角形是等腰三角形有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.證明等邊三角形的思路：三角形等邊三角形等腰三角形有一個(gè)角等于60°等腰三角形的判定思路1：三邊相等思路2：三角相等例1如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，若OA=OB，∠A=60°，且AB//CD，求證：△OCD是等邊三角形.證明：∵∠A=60°,OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠B=60°.∵AB//CD，∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，∴∠COD=60°，∴∠D=∠C=∠COD，∴△OCD是等邊三角形.

在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一個(gè)條件后，仍不能判

定△ABC為等邊三角形的是（

C

）A.

AB＝ACB.

∠A＝∠BC.

AD⊥BCD.

∠B＝∠CC跟蹤練習(xí)（教材P23習(xí)題T13變式）如圖，△ABC是等邊三角形，

DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC.

求證：△DEF是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等邊三角形.新知探究活動(dòng)二:探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)問(wèn)題1:用兩個(gè)完全相同的含30°角的三角尺,你能拼成怎樣的三角形?能拼成一個(gè)等邊三角形嗎?如圖,兩個(gè)完全相同的含30°角的三角尺,能拼成一個(gè)等腰三角形,也可以拼成一個(gè)等邊三角形.新知探究問(wèn)題2:在上述拼接過(guò)程中,你得到了什么結(jié)論?在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系?30°角的對(duì)邊等于三角尺斜邊的一半.你能證明你的結(jié)論嗎?新知探究

新知探究

新知探究

ABCD活動(dòng)三:運(yùn)用新知，深化理解

ABCD∴∠ADC=90°.

（教材P18“嘗試·思考”變式）一個(gè)含30°角的直角三角尺

ABC如圖1所示，用兩個(gè)完全相同的這種三角尺恰好能拼成一

個(gè)如圖2所示的等邊三角形.若BC＝6，則AB的長(zhǎng)為（

C

）A.3B.

6

C.12D.9C跟蹤練習(xí)（教材P20隨堂練習(xí)T2變式）如圖，在△ABC中，∠ACB＝

90°，∠A＝30°，CD⊥AB.

若AB＝4，求△ACD的周長(zhǎng).

D

課堂練習(xí)

C圖

1圖

2

BA.6米

B.9米

C.12米

D.15米

B

5.

（教材P23習(xí)題T13變式）如圖，△ABC是等邊三角形，

DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC.

求證：△DEF是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等邊三角形.6.

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，

AD⊥BC于點(diǎn)D，BF平分∠ABC，分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).

（1）求證：△AEF是等邊三角形；解：（1）證明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF＝30°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠AEF＝∠BED＝90°－∠CBF＝60°.∵∠AFB＝90°－∠ABF＝60°，∴∠AFE＝∠AEF＝60°，∴△AEF是等邊三角形.6.

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，

AD⊥BC于點(diǎn)D，BF平分∠ABC，分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).

（2）若AF＝2，求AD的長(zhǎng).

課堂總結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)到了哪些判