北師版-數(shù)學(xué)-八年級下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用3直角三角形第1課時直角三角形的性質(zhì)與判定1.什么是勾股定理？定理：______三角形___________的平方和等于____的平方．直角兩條直角邊斜邊復(fù)習(xí)導(dǎo)入

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B古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：

將一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后按如圖所示的方法用樁釘釘成一個三角形，他們認為其中一個角便是直角．你知道這是什么道理嗎？命題角度1判定直角三角形問題：直角三角形的兩銳角互余，為什么？根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得到“直角三角形的兩銳角互余”.如果一個三角形中有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？探究新知判斷直角三角形的方法：(1)有一個角為直角；(2)兩個銳角互余；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．例1滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()A．三內(nèi)角之比為1∶2∶3B．三邊長分別為5，12，14C．三邊長之比為3∶4∶5D．三角形三個內(nèi)角中有兩個角互余例2

若三角形的三邊長分別為6，8，10，則它的最長邊上的高為____．B4.8應(yīng)用舉例定理直角三角形的兩個銳角互余.定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.ABC∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.歸納總結(jié)性質(zhì)定理1：直角三角形的兩個銳角互余．證明：在△ABC中，已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求證：∠A＋∠B＝90°.ACB∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.∠A＋∠B＋∠C＝180°，探究新知性質(zhì)定理1逆定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形．證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.已知：如圖，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求證：△ABC是直角三角形．ACB∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°∴△ABC是直角三角形．利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.

勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.歸納總結(jié)命題角度2折疊問題理解折疊前后的圖形全等，找準相等的角和邊，利用方程思想，結(jié)合勾股定理算出要求的線段或角．EFGHIABCabc如圖，在△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.分別以Rt△ABC

的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG.連接EB，CH.勾股定理的證明DMN過點C

作

AB的垂線，分別交

AB

和HI

于點M，N.EFGHIABCabcD∵EA=CA,∠EAB

=∠CAH=90°+∠CAB，

AB=AH，∴△EAB≌△CAH（SAS）.又∵S正方形ACDE=2S△EAB，EFGMNHIABCabcDS長方形AHNM

=2S△CAH，∴b2=S長方形AHNM.同理a2=S長方形MNIB.∴c2=a2+b2.

D應(yīng)用舉例例4如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊的點F處．已知AB＝8cm，BC＝10cm，則EC＝___cm.3命題角度3勾股定理的應(yīng)用探究【勾股定理及其逆定理】問題1：直角三角形的三條邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系？問題2：在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，它是直角三角形嗎？已知：如圖1-24（1），在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求證：△ABC是直角三角形．分析：要從邊的關(guān)系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC與一個直角三角形全等，而得到∠A與對應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證．ABCA’B’C’圖1-24（1）（2）證明：如圖1-24（2），作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC，∵AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對應(yīng)角相等)．因此，△ABC是直角三角形．則A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．A’B’C’圖1-24ABC（1）（2）定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.歸納總結(jié)例5如圖，在高為3m，斜坡長為5m的樓梯上鋪地毯，則地毯的長度至少是()A．5mB．7mC．8mD．9mB應(yīng)用舉例例6如圖是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝4m，AB＝8m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD約為____m(結(jié)果精確到0.1)．2.9命題角度4最短路程此類問題一般將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短，確定最短路程．求解過程中常構(gòu)建直角三角形，用勾股定理求出相關(guān)線段的長．例7圖①所示的正方體木塊的棱長為4cm，沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為_____________cm.

應(yīng)用舉例例8

如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面半徑等于3cm，在圓柱的底面點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)

∴需要爬行的最短路程是15cm.命題角度5互逆命題(定理)的識別交換命題的條件部分與結(jié)論部分，則得到的新命題與原命題為互逆命題，但互逆命題不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命題．探究【互逆命題和互逆定理】觀察下面三組命題，它們的條件和結(jié)論之間有什么關(guān)系？如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.想一想：如果原命題是真命題，那么逆命題一定是真命題嗎？互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理．應(yīng)用舉例例9下列說法正確的是()A．每個命題都有逆命題B．每個定理都有逆定理C．真命題的逆命題是真命題D．假命題的逆命題是假命題例10下列定理中，沒有逆定理的是()A．等腰三角形的兩個底角相等B．對頂角相等C．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．直角三角形兩個銳角的和等于90°AB隨堂練習(xí)1.填空．(1)每個命題都是由________、________兩部分組成，命題“對頂角相等”的條件是__________，結(jié)論是______；(2)“對頂角相等”是______命題；“我們是小學(xué)生”是______命題；(選填“真”或“假”)(3)把“等腰三角形兩底角相等”改寫成“如果……那么……”的形式：______________________________________________；條件結(jié)論對頂角相等真假如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩底角相等(4)直角三角形的兩個銳角_____；有兩個角互余的三角形是___________；(5)說出你知道的勾股數(shù)，勾股定理的內(nèi)容是：____________________________________________．互余直角三角形直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方2．已知兩條線段的長為3cm和4cm，當?shù)谌龡l線段的長為________cm時，這三條線段能組成一個直角三角形．3．如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，則四邊形ABCD的面積為_______．

1444.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E

為

BC上的一點，且∠BAE=25°，∠CDE=65°，AE=2，DE=3，求AD

的長.解：∵AB∥CD，∴

∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BAE=25°，∠CDE=65°，∴∠EAD+∠

ADE=90°，根據(jù)勾股定理，AD2=AE2

+DE2

=22+3