專題14立體幾何內(nèi)外接球歸類目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01正方體、長方體模型題型02正四面體模型題型03對(duì)棱相等模型題型04直棱柱外接球題型05直棱錐外接球題型06內(nèi)切球問題第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01正方體、長方體模型【例1-1】（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測）一個(gè)正方體的棱長為，若一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，此球的體積是，則.【答案】2【分析】正方體內(nèi)切球的直徑即為正方體的棱長，即可得到內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而結(jié)合球的體積公式列方程求解即可.【詳解】依題意，正方體內(nèi)切球的直徑即為正方體的棱長，則內(nèi)切球的半徑為，所以，解得.故答案為：2.【例1-2】（2025·天津·模擬預(yù)測）已知棱長為的正方體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)球的半徑為，則該正方體的體對(duì)角線長即為，求出的值，結(jié)合球體表面積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則該正方體的體對(duì)角線長即為，即，故球的表面積為.故選：B.1．正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．2．長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．3．補(bǔ)成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4【變式1-1】（2024·天津南開·一模）在長方體中，，，其外接球體積為，則其外接球被平面截得圖形面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出底面為正方形，長方體外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線且球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)，由外接球的體積求出，從而求出底面邊長，再利用向量法求出球心到平面的距離，即可求出截面圓的半徑，從而求出其面積.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)、，則，，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即為正方形，又長方體的外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長，外接球的球心為體對(duì)角線的中點(diǎn)不妨設(shè)為，由外接球體積為，所以，解得，又，解得（負(fù)值舍去），所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以點(diǎn)到平面的距離，所以外接球被平面截得的截面圓的半徑，所以截面圓的面積，即外接球被平面截得圖形面積為.故選：B

【變式1-2】（2025·天津河西·一模）長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且，，，則球的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)已知求出長方體的體對(duì)角線的長，即可得出外接球的半徑，進(jìn)而根據(jù)球的表面積公式得出答案.【詳解】因?yàn)?，長方體外接球的直徑即等于長方體的體對(duì)角線，且，所以，，所以，，所以，外接球的半徑，表面積為.

故答案為：.【變式1-3】（2025·天津靜海·月考）已知長方體中，，，若與平面所成的角的余弦值為，則該長方體外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)線面夾角的定義分析可得與平面所成的角的余弦值為，進(jìn)而可得，再根據(jù)長方體的外接球以及球的表面積公式運(yùn)算求解.【詳解】連接，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，則與平面所成的角的余弦值為，由題意可得，解得，設(shè)長方體外接球的外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.

題型02正四面體模型【例2-1】（2026·天津和平·調(diào)研）已知正四面體（四個(gè)面都是正三角形）的體積為，若能裝下它的最小正方體的體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為，外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正四面體的性質(zhì)，即內(nèi)切球半徑為高的四分之一，外接球半徑為高的四分之三，再結(jié)合勾股定理進(jìn)行求高，再利用球的表面積公式和體積公式，即可求解.【詳解】

如圖能裝下正四面體的最小正方體，其體積為，可知正方體邊長為，從而可得正四面體的棱長為正方體的面對(duì)角線長，

利用正四面體的性質(zhì)可知，正四面體的內(nèi)切球球心位于正四面體的高線上，且內(nèi)切球半徑為高的四分之一；正四面體的外接球球心位于正四面體的高線上，且外接球半徑為高的四分之三；由球與底面的切點(diǎn)為底面中心，可知，而，所以，即內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，所以有正四面體的體積為，即，故選：A.【例2-2】（2025·天津河北·二模）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】若正八面體的棱長為2，根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征易得外接球半徑，應(yīng)用等體積法求得內(nèi)切球半徑，最后由面積比為即可得.【詳解】若正八面體的棱長為2，令其外接球、內(nèi)切球半徑分別為，且，由各側(cè)面的面積，且構(gòu)成八面體的兩個(gè)正四棱錐的高為，則正八面體的體積，所以，所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：C如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．【變式2-1】（2025·天津和平·一模）已知正四面體（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為，設(shè)能裝下正四面體的最小正方體的體積為，正四面體的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正四面體的棱長為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，由等體積法求出，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，即可求出，設(shè)正四面體的外接球的半徑，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體的表面積為，由題設(shè)底面的外接圓半徑，則所以正四面體的高為，其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，解得：，所以，解得：，將該正四面體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，正四面體的最小正方體的邊長為，如下圖，即，所以，體積為，設(shè)正四面體的外接球半徑為，則正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為，所以，所以外接球的體積為，.故選：A.【變式2-2】（2025·天津·模擬預(yù)測）如圖，這是某零件的結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球、正四面體的三個(gè)面均相切.若AB＝12，則該模型中一個(gè)小球的體積為.

【答案】【分析】根據(jù)題干信息畫出示意圖，根據(jù)正四面體的特征分別計(jì)算出大小球半徑即可求出小球的體積.【詳解】如圖所示，設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長為，高為，的中點(diǎn)為，連接，則，，∵，∴，∴，設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，∴，∴小球的體積為：，故答案為：.【變式2-3】半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個(gè)球，則該球表面積的最大值為.【答案】【分析】分析出球心的位置，得出半正多面體所在的正四面體的高，求出點(diǎn)到正六邊形所在平面的距離，到正三角形所在平面的距離，即可求出當(dāng)球的表面積最大時(shí)，該球的半徑，進(jìn)而得出表面積.【詳解】由題意，半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，，當(dāng)球的表面積最大時(shí)，該球的球心即為半正多面體所在正四面體的外接球的球心，記球心為.在中，，,該半正多面體所在的正四面體的高為：，設(shè)點(diǎn)到正六邊形所在平面的距離為，過點(diǎn)作于，由幾何知識(shí)得，∴，即，解得：，∴當(dāng)球的表面積最大時(shí)，該球的半徑為，表面積為.故答案為：.題型03對(duì)棱相等模型【例3-1】（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測）四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，，，，則其外接球的表面積為；過BD的中點(diǎn)作直線與球O相交的最短弦長為．【答案】64π6【分析】記四邊形的外接圓的圓心為，由條件可得平面，故四棱錐的外接球的球心在直線上，求四邊形的外接圓半徑和，根據(jù)球心在的垂直平分線上可求四棱錐的外接球的半徑，根據(jù)球的表面積公式可求四棱錐的外接球的表面積，設(shè)的中點(diǎn)為，由條件求，由球的性質(zhì)可求過的球的最短弦長.【詳解】記四邊形的外接圓的圓心為，因?yàn)?，所以平面，記四棱錐的外接球的球心為，則平面，所以四棱錐的外接球的球心在直線上，設(shè)，因?yàn)樗倪呅蔚耐饨訄A圓心就是的外接圓，設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，又，所以，由已知球心在的垂直平分線上，所以，所以四棱錐的外接球的半徑的半徑，所以四棱錐的外接球的表面積，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?，，所以，又，所以，又，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，所以過BD的中點(diǎn)作直線與球O相交的最短弦長為，故答案為：，.

【例3-2】（2025·天津武清·模擬預(yù)測）蹴鞠（如圖所示），類似今日的足球運(yùn)動(dòng)，被列入第一批國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠表面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足cm，cm，cm，則該鞠的表面積為（

）A．cm2 B．371πcm2 C．742πcm2 D．cm2【答案】A【分析】根據(jù)空間四面體棱長的特點(diǎn)，放到長方體中，利用長方體的性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槟尘媳砻嫔系乃膫€(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足cm，cm，cm，所以可以把空間四面體放到如下圖所示的長方體中，設(shè)長方體的棱長分別為，則有，于是該長方體的對(duì)角線長為，所以蹴鞠的半徑為，于是該鞠的表面積為，故選：A四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．【變式3-1】（2025·天津·二模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，將三棱錐補(bǔ)成長方體，再利用長方體的性質(zhì)求出外接球的半徑，即可求解.【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，又，則，，，將三式相加得，因?yàn)槿忮F的頂點(diǎn)全在長方體的頂點(diǎn)上，所以長方體的外接球也是三棱錐的外接球，由長方體的性質(zhì)知，長方體的外接球球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)處，且體對(duì)角線長為，所以三棱錐的外接球的半徑為，則球的表面積為.故選：D.【變式3-2】（2025·天津南開·模擬預(yù)測）在四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)棱相等的特征，可以將四面體放入長方體中，再求其外接球半徑即可.【詳解】如圖所示，該四面體的各頂點(diǎn)恰好是一個(gè)長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，每條棱為長方體各面的對(duì)角線，設(shè)這個(gè)長方體各棱長分別為，則有，各式相加得，設(shè)外接球半徑為，則有，外接球表面積.故選：C．【變式3-3】（2025·天津河北·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三棱錐中的對(duì)棱相等模型將三棱錐補(bǔ)成長方體，求出半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長方體，則三棱錐的外接球等價(jià)于長方體的外接球，設(shè)長方體的長寬高分別為，則，可得，所以長方體的外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.

故選：.題型04直棱柱外接球【例4-1】（2026·天津紅橋·調(diào)研）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若則此球的表面積為（

）A．10π B．12π C．16π D．20π【答案】D【分析】通過已知條件求出底面外接圓的半徑,設(shè)此圓圓心為,球心為,在中,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【詳解】解:在中,可得，所以,由正弦定理,可得外接圓半徑,設(shè)此圓圓心為,球心為，球的半徑為，由球的性質(zhì)可知：平面，在平面內(nèi)，所以，在中,，所以球半徑,故此球的表面積為故選：D【例4-2】（2025·天津武清·模擬預(yù)測）已知直三棱柱的頂點(diǎn)均在球面上，且，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理求得外接圓的半徑，利用勾股定理求得外接球的半徑，可求表面積.【詳解】在中，，利用正弦定理可得外接圓的半徑，又，所以直三棱柱的外接球的半徑為，所以該球的表面積為.故選：A.如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【變式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面邊長為4，側(cè)棱長為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為上底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，的軌跡把該正四棱柱截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，由題意易得平面平面，從而可得，進(jìn)而可得體積較小的部分為三棱錐，進(jìn)而可求得其外接球的體積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接由題意可得，又，所以，所以平面即為平面，又，平面，平面，所以平面，易得，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又為上底面?nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，所以，由圖易知的軌跡把該正四棱柱截成兩部分中體積較小的部分為三棱錐，又，所以三棱錐的外接球的半徑，較小部分的外接球的體積為.故選：D.【變式4-2】（2025·天津·調(diào)研）所有棱長均為2的正三棱柱，它的頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為.【答案】/【分析】如圖，確定為的中點(diǎn)，根據(jù)正弦定理和勾股定理求出球的半徑，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)正三棱柱上、下底面的外接圓的圓心分別為，如圖，連接，則為的中點(diǎn)，連接，則為球的半徑，設(shè)圓的半徑為，在中，由正弦定理得，解得，又，所以，所以球的表面積為.故答案為：【變式4-3】（2025·天津·一模）一個(gè)底面邊長和側(cè)棱長均為4的正三棱柱密閉容器，其中盛有一定體積的水，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為.當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)（如圖），容器內(nèi)的水形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用棱柱的體積可得面積之比，進(jìn)而得長度比例關(guān)系，結(jié)合勾股定理，聯(lián)立方程可求解半徑，由表面積公式求解，或者利用余弦定理求解長度，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可利用勾股定理求解球半徑得解.【詳解】方法一：，如圖，，而，，，即，由于到距離，則到距離，設(shè)正方形外接圓圓心，則設(shè)矩形外接圓圓心，則，設(shè)外接球半徑，，故外接球表面積為，故選;A.方法二：由當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為可知容器內(nèi)的空氣占容器體積的，于是側(cè)放時(shí)，圖中的空氣區(qū)域的“小三棱柱”的體積為容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面積為大三角形的，則邊長之比為，即“小三角形”邊長為1.然后如圖：設(shè)圓的半徑為，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：A.題型05直棱錐外接球【例5-1】（2026·天津和平·月考）已知三棱錐中，平面ABC，是邊長為3的等邊三角形，若此三棱錐外接球的體積為，那么三棱錐的體積為.【答案】/【分析】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，進(jìn)而求出外接球半徑，得出三棱錐的高，最后利用體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，則三棱錐和直三棱柱的外接球相同，又直三棱柱的外接球球心為的外接圓圓心連線的中點(diǎn)，且的外接圓半徑為，故三棱錐的外接球半徑為,因?yàn)槿忮F外接球的體積為，所以外接球半徑為，故，得，故三棱錐的體積為.故答案為：【例5-2】（2026·天津?yàn)I海新·調(diào)研）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐的體積為；三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)平面得為三棱錐的高，從而利用三棱錐的體積公式求解即可；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得兩兩垂直，得到三棱錐的外接球，也是以的長為三條相鄰棱長的長方體外接球，即可求球體半徑，進(jìn)而求其表面積.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以為三棱錐的高，又，，所以三棱錐的體積為；由平面，平面，平面，則，，又，則，即兩兩垂直，所以三棱錐的外接球，也是以的長為三條相鄰棱長的長方體外接球，所以外接球半徑為，故外接球O的表面積為.故答案為：，如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【變式5-1】（2026·天津?yàn)I海新·月考）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上且平面，，，且底面的面積為，則此三棱錐外接球的表面積是.【答案】【分析】由的面積計(jì)算邊，利用正弦定理得外接圓的半徑，最后利用勾股定理求得外接球的半徑，進(jìn)而得球的表面積.【詳解】由題意有：，所以，又，所以，所以（為外接圓半徑），設(shè)外接圓的圓心為，即，過點(diǎn)作平面，作的中垂線交于點(diǎn)，即，所以點(diǎn)為三棱錐的球心，設(shè)外接球半徑為，所以，所以此三棱錐外接球的表面積為,故答案為：.【變式5-2】（2025·天津·模擬預(yù)測）已知三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造如圖所示的長方體，易知三棱錐的外接球就是長方體的外接球，可得，結(jié)合球的表面積計(jì)算公式即可.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為，易知三棱錐的外接球就是長方體的外接球，則，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.【變式5-3】（2025·天津·模擬預(yù)測）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】找到三棱錐的外接球的球心，在三角形中求得球半徑，從而求得表面積.【詳解】取的外接圓圓心為，過點(diǎn)作底面，為三棱錐外接球球心，設(shè)該球半徑為，由平面，則，連接、、，由是正三角形，，故，由，，則，故有，故該球的表面積.故選：D.題型06內(nèi)切球問題【例6-1】（2025·天津·模擬預(yù)測）若某正四面體的內(nèi)切球的表面積為，則該正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征，再求出其外接球的半徑即可.【詳解】正四面體的內(nèi)切球與其外接球球心重合，如圖，正四面體內(nèi)切球與外接球球心在其高上，則是正四面體內(nèi)切球半徑，是正四面體外接球半徑，由正四面體的內(nèi)切球的表面積為，得，令，，，，在中，，解得，，所以該正四面體的外接球的體積.故選：C【例6-2】（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為5，底面正方形的邊長為6，從而可得正四棱錐的高，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，高線與斜高的夾角為，則易得，，從而可得，再代入球的體積公式，即可求解．【詳解】作出四棱錐如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，正四棱錐的高為，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：B．錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即棱切球方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形【變式6-1】（2025·天津·調(diào)研）阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為36π，則圓柱的表面積為.【答案】【分析】先根據(jù)球的體積得出球的半徑，再根據(jù)圓柱的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】可設(shè)球的半徑為，則根據(jù)題意可知圓柱的底面半徑也為，圓柱的高等于直徑，即為，由球的體積為，利用球的體積公式可得：，解得：，再由圓柱的表面積公式得：，故答案為：.【變式6-2】（2025·天津·模擬預(yù)測）已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為；此三棱錐的內(nèi)切球的表面積為.【答案】/【分析】由題意可知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，首先求得三條側(cè)棱的棱長，然后計(jì)算外接球的半徑，最后計(jì)算其體積即可；等體積法計(jì)算三棱錐內(nèi)切球的半徑，從而求出內(nèi)切球的表面積.【詳解】解：設(shè)三棱錐中，面，面，面兩兩垂直，則三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可設(shè)三條側(cè)棱的長度分別為a，b，c，由題意可得：，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，即，外接球的體積；設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，由勾股定理可知：，則，則有，解得：，則表面積為：.

故答案為：；【變式6-3】（2025·天津·模擬預(yù)測）如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為V1，它的內(nèi)切球的體積為V2，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】軸截面四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，求出半徑，再根據(jù)球的體積公式和圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，則四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由，得，則，，所以.故選：D.1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）如圖，在四面體PABC中，D，E分別為PC，AB的中點(diǎn)，且，，，則該四面體的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出，即可求出體積.【詳解】連接，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，，則，又為線段的中點(diǎn)，，，則，則，則該四面體的外接球球心為，半徑為，體積為.故選：C2．（2025·天津·二模）圖①是底面邊長為的正三棱柱，直線經(jīng)過上下底面的中心，將圖①中三棱柱的上底面繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得上底面繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)對(duì)稱的六面體，建立空間直角坐標(biāo)系，求出旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積求出棱柱的高，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，進(jìn)而求出表面積即可.【詳解】初始幾何體為底面邊長為的正三棱柱，設(shè)高為H，上底面繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)對(duì)稱的六面體，其外接球球心必在旋轉(zhuǎn)軸上，正三棱柱底面正三角形的外接圓半徑，設(shè)球心到任一底面的距離為d，則球半徑滿足：由于幾何體對(duì)稱，球心在正中間，故，如圖，以下底面ABC的重心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以，長度，所以數(shù)量積為;，由夾角，所以，球心在中間，高度，半徑,所以表面積,故選；C3．（2025·天津·一模）已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓，若的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的半徑，再由正弦定理求出，設(shè)球的半徑為，所以，最后由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)的半徑為，則，解得，又，所以為等邊三角形，則，所以，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的表面積.故選：C4．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）四棱錐的底面為正方形，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四棱錐的體積為B．四棱錐的表面積為C．在中，當(dāng)時(shí)，D．四棱錐的外接球表面積為【答案】C【分析】對(duì)于A：根據(jù)錐體體積公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)表面積公式分析運(yùn)算求解；對(duì)于C：由條件確定點(diǎn)的位置，結(jié)合錐體體積公式分析判斷；對(duì)于D：利用補(bǔ)形法，結(jié)合長方體的外接球的求四棱錐的外接球半徑，進(jìn)而可得球的表面積.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，，平面，所以平面，可知四棱錐的高，所以四棱錐的體積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，，平面，可得平面，且平面，可知，同理可知：，則，所以四棱錐的表面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以為直角三角形，又因?yàn)?，則，且，，，可得，所以，即，可知點(diǎn)到平面的距離為，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：將四棱錐補(bǔ)形為長方體，如圖所示可知四棱錐的外接球的半徑為，所以四棱錐的外接球的表面積，故D錯(cuò)誤；故選：C.5．（2024·天津·二模）天津包子是一道古老的傳統(tǒng)面食小吃，是經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的大眾化食品，在中國北方，在全國，乃至世界許多國家都享有極高的聲譽(yù).某天津包子鋪商家為了將天津包子銷往全國，學(xué)習(xí)了“小罐茶”的銷售經(jīng)驗(yàn)，決定走少而精的售賣方式，爭取讓天津包子走上高端路線，定制了如圖所示由底面圓半徑為的圓柱體和球缺（球的一部分）組成的單獨(dú)包裝盒，球缺的體積（為球缺所在球的半徑，為球缺的高）.若，球心與圓柱下底面圓心重合，則包裝盒的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓柱的高，可得球半徑，根據(jù)球缺的體積公式以及圓柱的體積公式即可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)圓柱的高為，，則，即，解得，故圓柱高為，故包裝盒的體積為，故選：B.6．（2024·天津紅橋·二模）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線長為，結(jié)合題意面積比得到，再計(jì)算二者的體積比即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線長為，則母線長為，所以圓錐的側(cè)面積是，半球的面積，由題意可得，解得，所以圓錐的體積為，半球的體積為，所以此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為，故選：B.7．（2024·天津薊州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A．若在線段上，則的最小值為B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為C．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D．對(duì)于給定的點(diǎn)，過有且僅有3條直線與直線所成角為【答案】C【分析】把矩形與正方形置于同一平面，求出長判斷A；求出內(nèi)切球球心到平面，求出截面小圓半徑判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角建立方程判斷C；利用異面直線所成角的意義轉(zhuǎn)化判斷D.【詳解】對(duì)于A，正方體的對(duì)角面是矩形，把矩形與正方形置于同一平面，且在直線兩側(cè)，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，令正方體內(nèi)切球球心為，連接，為正方體的中心，，，正半徑，正三棱錐底面上的高，又球的半徑為，則被截得的圓的半徑為，面積為，B正確；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，有，則，整理得，則的軌跡是雙曲線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然過的滿足條件的直線數(shù)目等于過的滿足條件的直線的數(shù)目，，在直線上取點(diǎn)，使，不妨設(shè)，則，則四面體是正四面體，有兩種可能，直線也有兩種可能，若，則只有一種可能，就是與的角平分線垂直的直線，所以直線有三種可能，D正確.故選：C8．（2024·天津·二模）已知正方體的外接球的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計(jì)算正方體棱長，再根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，所以，所以.故選：B9．（2024·天津?yàn)I海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時(shí)并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積問題.我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，利用球和圓柱的表面積、體積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面圓半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的表面積，體積，球的表面積，體積，所以圓柱的表面積與球的表面積之比，圓柱體積與球體積之比，故選：C10．（2024·天津河北·一模）一個(gè)體積為的球在一個(gè)正三棱柱的內(nèi)部，且球面與該正三棱柱的所有面都相切，則此正三棱柱的體積為（

）A．18 B．27 C．36 D．54【答案】D【分析】先根據(jù)球的體積公式，求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求出正三棱柱的高；再根據(jù)內(nèi)切球的半徑等于底面正三角形內(nèi)切圓半徑求出正三角形的邊長，進(jìn)而利用公式求出結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則由球