平方差和完全平方公式經典例題在代數(shù)學習的旅程中，乘法公式無疑是我們處理多項式運算的“利器”。其中，平方差公式與完全平方公式更是基礎中的基礎，它們不僅能簡化計算，更在后續(xù)的因式分解、方程求解等內容中扮演著至關重要的角色。掌握這兩個公式的結構特征、靈活運用以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，對提升代數(shù)運算能力至關重要。本文將通過一系列經典例題，與大家一同深入理解這兩個公式的精髓，并探討其在解題中的應用技巧。一、平方差公式平方差公式是我們遇到的第一個重要乘法公式，其表達式為：(a+b)(a-b)=a2-b2這個公式的文字表述為：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。（一）公式的結構特征與應用要點要熟練運用平方差公式，首先要深刻理解其結構特征。公式左邊是兩個二項式的乘積，這兩個二項式中，一項完全相同（我們稱之為“相同項”或“a”），另一項互為相反數(shù)（我們稱之為“相反項”或“b”與“-b”）。公式右邊則是“相同項”的平方減去“相反項”的平方。值得注意的是，這里的“a”和“b”不僅可以是具體的數(shù)字，也可以是單項式、多項式等代數(shù)式。（二）經典例題解析例題1：直接應用公式計算計算：(x+3)(x-3)思路分析：觀察題目，我們發(fā)現(xiàn)兩個因式中，“x”是相同項，“3”和“-3”是互為相反數(shù)的項。這完全符合平方差公式的結構。解答過程：原式=x2-32=x2-9例題2：數(shù)字運算中的應用計算：102×98思路分析：直接計算也可得出結果，但運用平方差公式能更快捷。我們可以將102看作100+2，98看作100-2。解答過程：原式=(100+2)(100-2)=1002-22=____-4=9996例題3：含單項式的應用計算：(2a2b-5c)(2a2b+5c)思路分析：這里，“2a2b”是相同項，“-5c”和“5c”是相反項。套用平方差公式即可。解答過程：原式=(2a2b)2-(5c)2=4a?b2-25c2例題4：公式的靈活變形與應用計算：(a+b-c)(a-b+c)思路分析：初看之下，似乎不符合平方差公式。但我們可以通過添括號的方式，將其變形。把(b-c)看作一個整體，那么原式就變成了[a+(b-c)][a-(b-c)]，這樣就符合平方差公式的結構了，其中“a”是相同項，“(b-c)”是相反項。解答過程：原式=[a+(b-c)][a-(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)（這里用到了后面的完全平方公式）=a2-b2+2bc-c2二、完全平方公式完全平方公式包括兩部分：兩數(shù)和的平方與兩數(shù)差的平方。它們的表達式分別為：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字表述為：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們積的兩倍。（一）公式的結構特征與應用要點完全平方公式的左邊是一個二項式的平方，右邊是一個二次三項式。這個三項式包含：左邊二項式中每一項的平方，以及這兩項乘積的兩倍（其符號與左邊二項式中間的符號相同）。同樣，公式中的“a”和“b”可以是數(shù)字、單項式或多項式。在應用時，尤其要注意中間項“2ab”的系數(shù)和符號，這是初學者容易出錯的地方。（二）經典例題解析例題5：直接應用公式計算計算：(3m+2n)2思路分析：直接套用兩數(shù)和的完全平方公式，“3m”是a，“2n”是b。解答過程：原式=(3m)2+2×(3m)×(2n)+(2n)2=9m2+12mn+4n2例題6：含負號的應用計算：(4x-5y)2思路分析：這里是兩數(shù)差的平方，“4x”是a，“5y”是b。注意中間項的符號是負的。解答過程：原式=(4x)2-2×(4x)×(5y)+(5y)2=16x2-40xy+25y2例題7：公式的逆用（因式分解初步）已知x2+6x+9是一個完全平方式，將其表示成(a+b)2的形式。思路分析：這是完全平方公式的逆應用。觀察x2+6x+9，x2是x的平方，9是3的平方，而6x正好是2×x×3。所以符合(a+b)2的結構。解答過程：x2+6x+9=x2+2×x×3+32=(x+3)2例題8：整體思想的應用計算：(a+b+c)2思路分析：我們可以將(a+b)看作一個整體，然后應用完全平方公式展開。解答過程：原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（此結果也可作為三數(shù)和的完全平方公式記憶：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc）例題9：公式的綜合應用與辨析計算：(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2思路分析：本題需要先分別應用平方差公式和完全平方公式計算前面的乘積和后面的平方，然后再進行整式的加減運算。解答過程：原式=[x2-(2y)2]-[x2-4xy+(2y)2]=x2-4y2-(x2-4xy+4y2)=x2-4y2-x2+4xy-4y2=4xy-8y2三、總結與提升平方差公式和完全平方公式是代數(shù)運算的基礎，能否熟練掌握并靈活運用，直接影響到后續(xù)更復雜代數(shù)式的化簡、求值、因式分解乃至方程求解等問題的解決。核心要點回顧：1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。關鍵在于識別“相同項”和“相反項”。2.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2。關鍵在于記住“首平方，尾平方，首尾兩倍放中央，符號看前方”。3.“整體思想”：將一個多項式視為一個整體（如例題4、例題8），是擴展公式應用范圍的重要技巧。4.公式的逆用：不僅要會正向展開，也要能根據(jù)多項式的特征，逆向運用公式進行因式分解或化簡（如例題7）。學習建議：*深刻理解公式的推導過程，而不是死記硬背。*多做練習，注重變式，通過不同形式的題目來鞏固對公式結構的認識和應用能力。*注意符號問題，這是應用公式時最