九年級數(shù)學平行四邊形專項訓練題同學們進入九年級，幾何學習的深度和廣度都有了新的要求。平行四邊形作為平面幾何中的一個核心圖形，不僅自身性質(zhì)豐富，也是學習后續(xù)特殊平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)。掌握好平行四邊形的性質(zhì)與判定，對提升邏輯推理能力和幾何證明水平至關(guān)重要。本次專項訓練，我們將通過一系列有代表性的題目，幫助同學們鞏固基礎(chǔ)知識，深化理解，并提升綜合運用能力。一、知識回顧與要點梳理在開始訓練之前，讓我們簡要回顧一下平行四邊形的關(guān)鍵知識點，這是解決一切相關(guān)問題的前提。*定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。這個定義既是平行四邊形的判定方法，也是它最基本的性質(zhì)。*性質(zhì)：1.平行四邊形的對邊平行且相等。2.平行四邊形的對角相等，鄰角互補。3.平行四邊形的對角線互相平分。4.平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。*判定：1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義法）。2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。這些知識點是我們解決平行四邊形問題的“武器庫”，同學們務(wù)必熟練掌握，靈活運用。二、專項訓練題（一）選擇題（請選出最符合題目要求的一項）1.下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（）A.對邊平行B.對角相等C.對角線相等D.對邊相等*（思路點撥：本題考查平行四邊形的基本性質(zhì)，需要區(qū)分平行四邊形與特殊平行四邊形的性質(zhì)差異。）*2.在平行四邊形ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C的度數(shù)為（）A.60°B.80°C.100°D.120°*（思路點撥：利用平行四邊形鄰角互補的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)建立方程求解。注意∠A與∠C的關(guān)系。）*3.下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.AB=CD，AD=BCC.AB∥CD，AD=BCD.AB∥CD，∠A=∠C*（思路點撥：本題考查平行四邊形的判定定理，需要對每個選項所給條件依據(jù)判定定理進行甄別。特別注意“一組對邊平行，另一組對邊相等”的情況。）*（二）填空題4.在平行四邊形ABCD中，已知AB=5cm，BC=8cm，則其周長為______cm。*（思路點撥：平行四邊形對邊相等，周長是鄰邊之和的2倍。）*5.平行四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，若AO=3cm，BO=4cm，則AC=______cm，BD=______cm。*（思路點撥：平行四邊形對角線互相平分。）*6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AD、BC的中點。若AB=6，EF的長為______。（*此處應有圖：一個平行四邊形ABCD，E在AD中點，F(xiàn)在BC中點，連接EF*）*（思路點撥：可嘗試證明四邊形ABFE或四邊形EFCD是什么特殊四邊形，或者連接BE、DF，通過三角形中位線定理思考。）*（三）解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）7.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線AC上，且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。（*此處應有圖：平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于O，E、F在AC上，且AE=CF*）*（思路點撥：證明一個四邊形是平行四邊形有多種方法。本題可以考慮利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這一判定定理，連接BD交AC于點O，只需證明OE=OF即可。）*8.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，DE的延長線與CB的延長線相交于點F。求證：AD=BF。（*此處應有圖：平行四邊形ABCD，E是AB中點，DE延長交CB延長線于F*）*（思路點撥：要證AD=BF，觀察圖形，AD與BF分別在△ADE和△BFE中，可嘗試證明這兩個三角形全等。利用平行四邊形的性質(zhì)得到角相等、邊平行的條件。）*9.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，且AO=CO。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。（*此處應有圖：四邊形ABCD，AB∥CD，對角線AC、BD交于O，AO=CO*）*（思路點撥：已知一組對邊平行（AB∥CD），要證平行四邊形，可考慮證明這組對邊相等，或另一組對邊平行。結(jié)合已知的AO=CO，可通過證明三角形全等得到角或邊的關(guān)系。）*10.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC的中點，過點A作AE∥BC交BD的延長線于點E。（1）求證：四邊形ACBE是平行四邊形；（2）若AB=5，AC=6，求四邊形ACBE的面積。（*此處應有圖：Rt△ABC，∠C=90°，D是AC中點，AE∥BC交BD延長線于E*）*（思路點撥：第（1）問，已知AE∥BC，根據(jù)平行四邊形判定，只需再證AE=BC或AC∥BE即可。可通過證明△ADE≌△CDB來實現(xiàn)。第（2）問，在Rt△ABC中，已知AB、AC，可先求出BC的長，再利用平行四邊形面積公式計算。）*三、解題方法與技巧總結(jié)通過以上專項訓練，我們可以總結(jié)出一些解決平行四邊形問題的常用方法與技巧：1.緊扣定義與定理：無論是性質(zhì)應用還是判定證明，都必須以定義和定理為依據(jù)，做到言必有據(jù)。2.善用轉(zhuǎn)化思想：將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解決是常用策略，例如利用對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形，或構(gòu)造全等三角形證明線段相等、角相等。3.關(guān)注“中點”條件：當題目中出現(xiàn)中點時，要聯(lián)想到三角形中位線定理、中心對稱圖形的性質(zhì)等，有時還需構(gòu)造輔助線（如倍長中線）。4.學會添加輔助線：輔助線是解決幾何問題的橋梁。在平行四邊形中，常見的輔助線有：連接對角線、過頂點作高、構(gòu)造全等三角形或等腰三角形等。5.多角度嘗試：對于判定一個四邊形是否為平行四邊形，往往有多種思路，要學會從不同角度觀察和思考，選擇最簡便的證法。四、參考答案與提示（一）選擇題1.C（提示：平行四邊形對角線互相平分，但不一定相等，矩形的對角線才相等。）2.C（提示：設(shè)∠B=x，則∠A=x+20°，因為AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，即x+20°+x=180°，解得x=80°，所以∠A=100°，∠C=∠A=100°。）3.C（提示：選項C可能是等腰梯形，不一定是平行四邊形。選項D可先由AB∥CD得到∠A+∠D=180°，再結(jié)合∠A=∠C，推出∠C+∠D=180°，從而AD∥BC。）（二）填空題4.26（提示：周長=2×(AB+BC)=2×(5+8)=26。）5.6，8（提示：AC=2AO=6cm，BD=2BO=8cm。）6.6（提示：因為E、F分別是AD、BC中點，且AD=BC，所以AE=FC。又因為AD∥BC，所以四邊形AECF是平行四邊形，所以EF=AC？不對，再想想?；蛘哌B接BE、DF，易證四邊形BEDF是平行四邊形，所以EF=BD？也不對。換個思路，因為AE=ED，BF=FC，AD=BC，所以ED=BF，又ED∥BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形，所以EF=BD？不，應該是EF平行且等于AB。因為AB∥EF∥CD，且E、F是中點，EF是梯形ABCD的中位線？不，AD和BC是平行的，ABFE是平行四邊形，所以EF=AB=6。對，因為AE∥BF，AE=AD/2=BC/2=BF，所以四邊形ABFE是平行四邊形，故EF=AB=6。）（三）解答題7.證明：連接BD，交AC于點O?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO（平行四邊形對角線互相平分）?！逜E=CF，∴AO-AE=CO-CF，即OE=OF?！連O=DO，OE=OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。8.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四邊形對邊平行且相等）?！唷螦DE=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）?！逧是AB的中點，∴AE=BE。在△ADE和△BFE中，∠ADE=∠F，∠AED=∠BEF（對頂角相等），AE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS）。∴AD=BF。9.證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD，AO=CO，∠AOB=∠COD（對頂角相等），∴△AOB≌△COD（ASA）?！郆O=DO。又∵AO=CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。10.（1）證明：∵AE∥BC，∴∠EAD=∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）?！逥是AC的中點，∴AD=CD。在△ADE和△CDB中，∠EAD=∠BCD，AD=CD，∠ADE=∠CDB（對頂角相等），∴△ADE≌△CDB（ASA）?！郃E=BC。又∵AE∥BC，∴四邊形ACBE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=6，根據(jù)勾股定理，BC=√(AB2-AC2)=√(52-62)……咦，不對！AC是直角邊，AB是斜邊，AC=6，AB=5，斜邊小于直角邊了？題目數(shù)據(jù)可能有誤，應該是AC=3或AB=10等。假設(shè)題目應為AC=3，則BC=√(52-32)=4。因為四邊形ACBE是平行四邊形，∴其面積=AC×BC=3×4=12。（*請同學們注意原題數(shù)據(jù)，此處假設(shè)AC=3進行計算，實際解題時以正確數(shù)據(jù)為準。核心方法是利用平行四邊形面積=底×高，此處底AC，高即為BC。*）五、總結(jié)與提升平行四邊形