小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練習(xí)題集（提示：“思”代表的數(shù)字是1）*分析與解答：*已知“思”代表1。由于是兩個(gè)兩位數(shù)相加，和是三位數(shù)，因此“喜”+“數(shù)”必須進(jìn)位，且進(jìn)位只能是1（因?yàn)閮蓚€(gè)最大的兩位數(shù)99+99=198，百位也只是1），所以“喜”+“數(shù)”=10+“維”（這里的“維”是和的十位數(shù)字），而和的百位“思”已經(jīng)確定是1。個(gè)位上，“歡”+“學(xué)”=“樂”或者“歡”+“學(xué)”=10+“樂”（如果個(gè)位相加也進(jìn)位的話）。我們嘗試從“喜”和“數(shù)”入手，它們都是1-9的數(shù)字，且互不相同，且它們的和至少是10（因?yàn)橐M(jìn)位）。假設(shè)“喜”=9，則“數(shù)”可以是2（9+2=11，此時(shí)“維”=1，但“思”已經(jīng)是1，數(shù)字不能重復(fù)，所以排除）；“數(shù)”=3，則“維”=2；以此類推?；蛘摺跋病?8，“數(shù)”=3（8+3=11，“維”=1，重復(fù)，排除）；“數(shù)”=4，“維”=2。經(jīng)過嘗試，可能的一種答案是：87+36---------123即：喜=8，歡=7，數(shù)=3，學(xué)=6，思=1，維=2，樂=3。但這里“樂”和“數(shù)”都是3，重復(fù)了，不行。再試：95+27---------122“維”和“樂”都是2，重復(fù)。繼續(xù)嘗試：93+45---------138“喜”=9，“數(shù)”=4，“維”=3；“歡”=3，“學(xué)”=5，“樂”=8。這里“歡”和“維”都是3，重復(fù)。關(guān)鍵在于個(gè)位相加是否進(jìn)位。如果個(gè)位相加也進(jìn)位，那么十位上的和就是“喜”+“數(shù)”+1（進(jìn)位的1）=10+“維”。假設(shè)個(gè)位相加進(jìn)位，即“歡”+“學(xué)”=10+“樂”。設(shè)“喜”=9，“數(shù)”=2，則“喜”+“數(shù)”=11，若個(gè)位進(jìn)位1，則十位和為11+1=12，所以“維”=2。但“數(shù)”已經(jīng)是2，重復(fù)?！跋病?9，“數(shù)”=5，則“喜”+“數(shù)”=14，若個(gè)位進(jìn)位1，十位和為15，“維”=5，與“數(shù)”重復(fù)。“喜”=7，“數(shù)”=5，則“喜”+“數(shù)”=12，若個(gè)位進(jìn)位1，十位和為13，“維”=3。個(gè)位：“歡”+“學(xué)”=10+“樂”。剩下的數(shù)字有0,2,4,6,8（因?yàn)?,5,7,3已用）。嘗試“歡”=8，“學(xué)”=6，則“樂”=4（8+6=14）。于是算式為：78+56---------134檢查數(shù)字：喜=7，歡=8，數(shù)=5，學(xué)=6，思=1，維=3，樂=4。所有數(shù)字互不相同，且滿足條件。這是一個(gè)valid的解。（答案不唯一，還有其他可能，同學(xué)們可以繼續(xù)探索）*思路點(diǎn)睛：*解決這類數(shù)字謎題，要善于利用已知條件，從關(guān)鍵位置（如最高位、進(jìn)位）入手，通過假設(shè)、嘗試和排除矛盾來找到正確答案。第二節(jié)：圖形推理與空間想象1.找規(guī)律填圖觀察下面圖形的排列規(guī)律，想一想“？”處應(yīng)該選擇哪個(gè)圖形（從A、B、C、D中選擇）。（此處應(yīng)有圖形序列，假設(shè)為：第一個(gè)圖是一個(gè)正方形內(nèi)有一個(gè)黑點(diǎn)，第二個(gè)是正方形內(nèi)有兩個(gè)橫著排列的黑點(diǎn)，第三個(gè)是正方形內(nèi)有三個(gè)呈三角形排列的黑點(diǎn)，第四個(gè)是正方形內(nèi)有四個(gè)呈正方形排列的黑點(diǎn)，？）A.正方形內(nèi)五個(gè)呈十字排列的黑點(diǎn)B.正方形內(nèi)五個(gè)呈正五邊形排列的黑點(diǎn)C.正方形內(nèi)五個(gè)呈一行排列的黑點(diǎn)D.正方形內(nèi)五個(gè)呈金字塔形排列的黑點(diǎn)*分析與解答：*觀察圖形，黑點(diǎn)的數(shù)量依次是1，2，3，4，因此“？”處圖形應(yīng)該有5個(gè)黑點(diǎn)。更重要的是黑點(diǎn)的排列方式：1個(gè)點(diǎn)時(shí)是任意（中心）；2個(gè)點(diǎn)是在一條直線上（水平）；3個(gè)點(diǎn)是三角形（平面圖形中最簡(jiǎn)單的封閉圖形）；4個(gè)點(diǎn)是正方形（四邊形）。因此，規(guī)律是黑點(diǎn)數(shù)量遞增1，排列方式是從直線（1維）到平面多邊形（2維），邊數(shù)依次增加。那么5個(gè)點(diǎn)應(yīng)該排列成正五邊形。所以選擇B。*思路點(diǎn)睛：*圖形推理要關(guān)注圖形的構(gòu)成元素（點(diǎn)、線、面）、數(shù)量變化、位置變化、形狀變化以及它們的組合規(guī)律。2.正方體的對(duì)面一個(gè)正方體的六個(gè)面上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5、6。從不同的角度觀察，看到的情況如下圖所示（假設(shè)給出三個(gè)視角：第一個(gè)視角看到正面1，上面2，右面3；第二個(gè)視角看到正面3，上面4，右面5；第三個(gè)視角看到正面5，上面6，右面1）。請(qǐng)問：數(shù)字1的對(duì)面是哪個(gè)數(shù)字？*分析與解答：*方法一：排除法。與1相鄰的面不可能是它的對(duì)面。從第一個(gè)視角看，1與2、3相鄰；從第三個(gè)視角看，1與5、6相鄰；所以與1相鄰的數(shù)字有2、3、5、6，那么剩下的數(shù)字4就是1的對(duì)面。*思路點(diǎn)睛：*解決正方體對(duì)面問題，關(guān)鍵在于利用“相鄰必不相對(duì)”的原則，通過觀察不同視角，找出與目標(biāo)面相鄰的所有面，剩下的就是對(duì)面。第二章：空間想象與幾何認(rèn)知空間想象能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。本章節(jié)的題目將幫助你構(gòu)建空間概念，提升對(duì)圖形的感知和操作能力。第一節(jié)：圖形的分割與組合1.巧分圖形請(qǐng)將一個(gè)等邊三角形分割成4個(gè)大小形狀完全相同的小三角形。*分析與解答：*取等邊三角形三邊的中點(diǎn)，然后將這三個(gè)中點(diǎn)依次連接起來。這樣就把原來的大等邊三角形分割成了4個(gè)完全相同的小等邊三角形。每個(gè)小三角形的邊長(zhǎng)都是原三角形邊長(zhǎng)的一半。*思路點(diǎn)睛：*對(duì)于規(guī)則圖形的分割，尋找邊的中點(diǎn)、對(duì)角線的交點(diǎn)等特殊點(diǎn)往往是突破口。2.立體圖形計(jì)數(shù)下面是由相同的小正方體堆成的立體圖形（假設(shè)是一個(gè)3x3x3的大正方體，從頂層右上角拿走一個(gè)小正方體，從底層左上角拿走一個(gè)小正方體）。請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，這個(gè)立體圖形一共有多少個(gè)小正方體？*分析與解答：*方法一（分層計(jì)數(shù)）：我們可以按照層數(shù)來數(shù)。假設(shè)這個(gè)立體圖形有三層（上、中、下）。頂層：原本3x3=9個(gè)，拿走1個(gè)，剩下8個(gè)。中層：沒有被拿走的，還是9個(gè)。底層：原本9個(gè)，拿走1個(gè)，剩下8個(gè)?？倲?shù)：8+9+8=25個(gè)。方法二（整體減空缺）：完整的3x3x3大正方體有27個(gè)小正方體?，F(xiàn)在拿走了2個(gè)，所以27-2=25個(gè)。*思路點(diǎn)睛：*計(jì)數(shù)立體圖形中的小正方體，分層計(jì)數(shù)是一種穩(wěn)妥的方法，能有效避免遺漏或重復(fù)。對(duì)于有缺口的圖形，也可以用“整體減空缺”的思路。第二節(jié)：圖形的運(yùn)動(dòng)與變化1.圖形的旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后，得到的新圖形與原圖形相比，哪些元素不變？哪些元素發(fā)生了變化？*分析與解答：*不變的元素：圖形的形狀、大小、對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的度數(shù)。發(fā)生變化的元素：圖形的位置、各點(diǎn)的坐標(biāo)（如果在坐標(biāo)系中）、圖形的朝向。*思路點(diǎn)睛：*理解圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換，關(guān)鍵在于把握“變”與“不變”的要素。第三章：策略優(yōu)化與問題解決數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。本章節(jié)的題目將引導(dǎo)你運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題，培養(yǎng)優(yōu)化意識(shí)和策略性思考能力。第一節(jié)：最優(yōu)方案選擇1.購(gòu)物策略學(xué)校要為運(yùn)動(dòng)會(huì)購(gòu)買一批礦泉水。商店推出兩種促銷方案：方案一：每瓶2元，買十送一。方案二：每瓶1.8元，不打折。學(xué)校需要購(gòu)買100瓶礦泉水，哪種方案更省錢？省多少錢？*分析與解答：*方案一：“買十送一”，即每買10瓶，可以得到11瓶。100÷11=9（組）……1（瓶）。這意味著買9組“買十送一”，可以得到9×11=99瓶，還需要再單買1瓶。所以需要付錢購(gòu)買的瓶數(shù)是：9×10+1=91瓶?？傎M(fèi)用：91×2=182元。方案二：每瓶1.8元，購(gòu)買100瓶。總費(fèi)用：100×1.8=180元。比較：182元>180元，所以方案二更省錢。省的金額：182-180=2元。*思路點(diǎn)睛：*解決這類問題，需要分別計(jì)算出不同方案的實(shí)際花費(fèi)，然后進(jìn)行比較。要特別注意“買十送一”這類促銷的實(shí)際折扣情況，不是簡(jiǎn)單的九折。第二節(jié)：趣味應(yīng)用題1.雞兔同籠雞兔同籠，共有頭35個(gè)，腳94只。問雞和兔各有多少只？*分析與解答：*這是一個(gè)經(jīng)典的雞兔同籠問題。方法一（假設(shè)法）：假設(shè)全是雞。那么腳的總數(shù)應(yīng)該是：35×2=70只。但實(shí)際有94只腳，多出來的腳是因?yàn)榘淹米赢?dāng)成了雞。每只兔子比雞多2只腳。多出來的腳數(shù)：94-70=24只。所以兔子的數(shù)量：24÷(4-2)=12只。雞的數(shù)量：35-12=23只。方法二（方程法）：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只。根據(jù)腳的數(shù)量可列方程：2x+4(35-x)=942x+140-4x=94-2x=94-140-2x=-46x=23兔的數(shù)量：35-23=12只。*思路點(diǎn)睛：*假設(shè)法是解決雞兔同籠問題的常用方法，其核心是通過假設(shè)，找出與實(shí)際數(shù)量的差異，并分析差異產(chǎn)生的原因，從而求出未知量。第四章：巧思妙解與方法拓展有些數(shù)學(xué)問題，用常規(guī)方法解可能比較繁瑣，但若能換個(gè)角度思考，或運(yùn)用一些特殊技巧，就能化繁為簡(jiǎn)，迎刃而解。本章節(jié)將帶你體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性與創(chuàng)造性。第一節(jié)：從不同角度看問題1.反向思考一個(gè)數(shù)加上8，乘以8，減去8，除以8，結(jié)果還是8。這個(gè)數(shù)是多少？*分析與解答：*這道題如果順著思考，設(shè)這個(gè)數(shù)為x，列方程求解也可以，但用反向思考（倒推法）會(huì)更簡(jiǎn)單。從結(jié)果“8”開始倒推：“除以8，結(jié)果還是8”，那么除以8之前的數(shù)字是：8×8=64?！皽p去8”得到64，那么減去8之前的數(shù)字是：64+8=72?！俺艘?”得到72，那么乘以8之前的數(shù)字是：72÷8=9?！凹由?”得到9，那么這個(gè)數(shù)是：9-8=1。所以，這個(gè)數(shù)是1。*思路點(diǎn)睛：*對(duì)于一些按照順序描述運(yùn)算過程，并給出最終結(jié)果的問題，采用倒推法（從結(jié)果一步步反推到最初狀態(tài)）往往能快速找到答案。2.整體代換已知a+b=10，a+c=12，b+c=14。求a、b、c分別是多少？*分析與解答：*如果我們分別解方程組，也能求出a、b、c。但這里我們可以把(a+b)、(a+c)、(b+c)看作一個(gè)整體。將三個(gè)等式相加：(a+b)+(a+c)+(b+c)=10+12+14即：2a+2b+2c=36兩邊