2024年高考數(shù)學(xué)立體幾何專項訓(xùn)練題庫引言：立體幾何的高考定位與復(fù)習(xí)策略立體幾何作為高考數(shù)學(xué)的重要組成部分，不僅考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力，也檢驗其運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。在高考中，立體幾何通常占據(jù)相當(dāng)?shù)姆种?，題型穩(wěn)定且具有一定的區(qū)分度。對于2024屆考生而言，系統(tǒng)梳理立體幾何知識體系，強化各類題型的解題技巧，是提升數(shù)學(xué)成績的關(guān)鍵一環(huán)。本專項訓(xùn)練題庫旨在通過典型例題的剖析與針對性練習(xí)，幫助考生鞏固基礎(chǔ)、突破難點、掌握方法。在復(fù)習(xí)過程中，建議同學(xué)們首先回歸教材，夯實空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、表面積與體積計算等基礎(chǔ)知識點；其次，要深刻理解并熟練運用空間點、線、面的位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，這是解決證明題的核心；再者，要注重空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，特別是在求空間角與距離方面，向量方法往往能起到化繁為簡的效果。同時，培養(yǎng)良好的作圖習(xí)慣，能夠準(zhǔn)確畫出空間圖形并進(jìn)行必要的輔助線添加，也是成功解題的前提。一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖核心考點：棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征；簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征；三視圖的畫法與識別；由三視圖還原直觀圖。例題1：某幾何體的三視圖如圖所示（單位：略），則該幾何體的體積是（）（A）...（B）...（C）...（D）...（*此處因格式限制，略去三視圖圖形。實際出題時需配上標(biāo)準(zhǔn)三視圖*）解析：由三視圖可知，該幾何體為一個...（此處描述幾何體的構(gòu)成，例如：底面為直角三角形的直三棱柱截去一個小三棱錐后剩余的部分）。我們可以通過“長對正、高平齊、寬相等”的原則，還原出原幾何體的直觀圖。首先，確定...（說明如何根據(jù)三視圖的尺寸確定幾何體各部分的棱長或半徑等關(guān)鍵數(shù)據(jù)）。然后，計算其體積。若為組合體，則可采用“分割法”或“補形法”。例如，原幾何體體積=直三棱柱體積-小三棱錐體積。具體計算過程如下：...（列出體積公式及代入數(shù)據(jù)的步驟）。故答案為...（選擇正確選項）。例題2：下列說法正確的是（）A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐C.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺D.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓柱解析：本題考查空間幾何體的基本定義。A選項錯誤，忽略了“其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一關(guān)鍵條件，反例如兩個底面平行但側(cè)面四邊形不滿足對邊平行的幾何體。B選項錯誤，忽略了“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，反例如兩個共底面的棱錐組成的幾何體。C選項錯誤，必須用“平行于棱錐底面”的平面去截，否則截得的幾何體不是棱臺。D選項正確，符合圓柱的定義。故答案為D。解題策略：1.熟悉各類基本幾何體的定義和結(jié)構(gòu)特征，這是解決此類問題的基礎(chǔ)。2.三視圖問題，關(guān)鍵在于“識圖”與“還原”。要牢記三視圖與直觀圖之間的對應(yīng)關(guān)系，特別是“寬相等”在側(cè)視圖和俯視圖中的體現(xiàn)。3.對于復(fù)雜的三視圖，可先確定主體幾何體，再分析是否有切割、挖空等情況。二、空間幾何體的表面積與體積核心考點：柱、錐、臺、球的表面積公式；柱、錐、臺、球的體積公式；簡單組合體的表面積與體積計算；利用體積法求點到面的距離。例題3：已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，求該正四棱錐的表面積和體積。解析：正四棱錐的表面積由底面積和四個側(cè)面面積組成。底面積：S底=a2。側(cè)面為四個全等的等腰三角形，斜高h(yuǎn)'是關(guān)鍵。在側(cè)面等腰三角形中，斜高、側(cè)棱長的一半（或底面邊長的一半）以及棱錐的高可構(gòu)成直角三角形。首先，求棱錐的高h(yuǎn)。連接頂點與底面中心（正方形對角線交點），此即為高h(yuǎn)。底面正方形對角線長為a√2，所以底面中心到頂點的距離（即高h(yuǎn)所在直角三角形的一條直角邊）為(a√2)/2=a/√2。在由高h(yuǎn)、側(cè)棱長b、底面中心到頂點的距離a/√2構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理得：h2+(a/√2)2=b2，解得h=√(b2-a2/2)。然后求斜高h(yuǎn)'。在側(cè)面等腰三角形中，斜高h(yuǎn)'、底面邊長的一半a/2、以及棱錐的高h(yuǎn)并不直接構(gòu)成直角三角形，而是斜高h(yuǎn)'、底面邊長的一半a/2、和側(cè)面三角形的高（即斜高本身）？不，應(yīng)是側(cè)面三角形的高就是斜高h(yuǎn)'。側(cè)面三角形的腰長為側(cè)棱長b，底邊為a。所以，在以斜高h(yuǎn)'、側(cè)棱長b、底面邊長一半a/2構(gòu)成的直角三角形中（側(cè)面的高、側(cè)棱、底面邊的一半）：h'2+(a/2)2=b2，解得h'=√(b2-a2/4)。故一個側(cè)面的面積為(1/2)*a*h'=(1/2)*a*√(b2-a2/4)。所以，表面積S表=S底+4*S側(cè)=a2+4*(1/2)*a*√(b2-a2/4)=a2+2a√(b2-a2/4)。體積V=(1/3)*S底*h=(1/3)*a2*√(b2-a2/2)。解題策略：1.熟記各類基本幾何體的表面積和體積公式，注意區(qū)分側(cè)面積與表面積。2.對于組合體，要分析其構(gòu)成，采用“分解求和”或“整體求差”的思想。3.涉及“動態(tài)”或“最值”問題時，注意結(jié)合函數(shù)思想或不等式知識求解。4.體積法是求點到平面距離的重要方法：d=(3V)/S，其中V是已知幾何體的體積，S是所求距離對應(yīng)的底面面積。三、空間點、線、面的位置關(guān)系判斷與證明核心考點：平面的基本性質(zhì)（三個公理及其推論）；空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（平行、相交、異面）；線線平行、線面平行、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理；線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理。例題4：如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別是棱AB、BC的中點。求證：（1）EF//平面A?B?C?D?；（2）平面A?DC?⊥平面BB?D?D。（*此處因格式限制，略去正方體圖形。實際出題時需配上標(biāo)準(zhǔn)直觀圖*）證明：（1）要證EF//平面A?B?C?D?，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明EF平行于平面A?B?C?D?內(nèi)的一條直線。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別是AB、BC的中點，所以EF是△ABC的中位線。因此，EF//AC。又因為AC//A?C?（正方體中，面對角線平行），所以EF//A?C?。由于A?C??平面A?B?C?D?，EF?平面A?B?C?D?，所以EF//平面A?B?C?D?。（證畢）（2）要證平面A?DC?⊥平面BB?D?D，根據(jù)面面垂直的判定定理，只需證明其中一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面。在正方體中，A?B?C?D?是正方形，所以A?C?⊥B?D?（正方形對角線互相垂直）。又因為BB?⊥平面A?B?C?D?，而A?C??平面A?B?C?D?，所以BB?⊥A?C?。因為B?D?∩BB?=B?，且B?D?、BB??平面BB?D?D，所以A?C?⊥平面BB?D?D。又因為A?C??平面A?DC?，所以平面A?DC?⊥平面BB?D?D。（證畢）解題策略：1.證明平行關(guān)系：*線線平行：利用平行公理（傳遞性）、中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、線面平行性質(zhì)、面面平行性質(zhì)等。*線面平行：判定定理（線線平行推線面平行）；面面平行性質(zhì)（面面平行推線面平行）。*面面平行：判定定理（一個平面內(nèi)兩條相交直線平行于另一個平面）；垂直于同一直線的兩平面平行；平行于同一平面的兩平面平行。2.證明垂直關(guān)系：*線線垂直：利用直角三角形、等腰三角形三線合一、線面垂直性質(zhì)（線面垂直則線線垂直）。*線面垂直：判定定理（一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線）；面面垂直性質(zhì)（在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面）；平行線垂直平面的傳遞性。*面面垂直：判定定理（一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線）。3.輔助線（面）作法：常見的有取中點連線、作平行線、作垂線等，目的是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，或構(gòu)造定理所需的條件。4.證明過程要嚴(yán)謹(jǐn)，定理條件要寫全，邏輯清晰。四、空間角與距離的計算核心考點：異面直線所成的角；直線與平面所成的角；二面角；點到平面的距離；異面直線間的距離（理科要求，文科可能不做要求）。例題5：在棱長為a的正方體ABCD-A?B?C?D?中，求：（1）直線A?B與直線AD?所成角的大小；（2）直線A?B與平面BCC?B?所成角的大??；（3）平面A?BD與平面C?BD所成二面角的余弦值。解析：本題可采用幾何法或空間向量法求解。向量法思路相對固定，易于掌握。（向量法）：以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DD?所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。則各點坐標(biāo)為：D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A?(a,0,a)，B?(a,a,a)，C?(0,a,a)，D?(0,0,a)。（1）求異面直線A?B與AD?所成角：向量A?B=B-A?=(a,a,0)-(a,0,a)=(0,a,-a)。向量AD?=D?-A=(0,0,a)-(a,0,0)=(-a,0,a)。設(shè)異面直線A?B與AD?所成角為θ（θ∈(0°,90°]），則cosθ=|A?B·AD?|/(|A?B||AD?|)A?B·AD?=0*(-a)+a*0+(-a)*a=-a2。A?BAD?所以cosθ=|-a2|/(a√2*a√2)=a2/(2a2)=1/2。故θ=60°。（2）求直線A?B與平面BCC?B?所成角：平面BCC?B?的一個法向量可以取向量BA=A-B=(a,0,0)-(a,a,0)=(0,-a,0)，因為BA垂直于平面BCC?B?（BA垂直于BC和BB?）。向量A?B=(0,a,-a)（同（1））。設(shè)直線A?B與平面BCC?B?所成角為φ（φ∈[0°,90°]），則sinφ=|A?B·n|/(|A?B||n|)，其中n為平面法向量。A?B·n=(0,a,-a)·(0,-a,0)=0*0+a*(-a)+(-a)*0=-a2。n所以sinφ=|-a2|/(a√2*a)=a2/(a2√2)=1/√2=√2/2。故φ=45°。（3）求平面A?BD與平面C?BD所成二面角的余弦值：先求兩個平面的法向量。平面A?BD：點A?(a,0,a)，B(a,a,0)，D(0,0,0)。向量DB=B-D=(a,a,0)，向量DA?=A?-D=(a,0,a)。設(shè)平面A?BD的法向量為n?=(x?,y?,z?)。則n?·DB=0，n?·DA?=0。即：ax?+ay?=0-->x?+y?=0，ax?+az?=0-->x?+z?=0。令x?=1，則y?=-1，z?=-1。所以n?=(1,-1,-1)。平面C?BD：點C?(0,a,a)，B(a,a,0)，D(0,0,0)。向量DB=(a,a,0)（同上），向量DC?=C?-D=(0,a,a)。設(shè)平面C?BD的法向量為n?=(x?,y?,z?)。則n?·DB=0，n?·DC?=0。即：ax?+ay?=0-->x?+y?=0，0x?+ay?+az?=0-->y?+z?=0。令x?=1，則y?=-1，z?=1。所以n?=